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Derivate

Derivate come operatore lineare

L'operatore derivata è un operatore lineare, ovvero è possibile:

• "dividere" la derivata di una somma come somma delle singole derivate
• "dividere" la derivata di un prodotto con uno scalare come prodotto tra lo scalare e la derivata

$$(a \cdot f(x) + b \cdot g(x))' = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x)$$

Derivate immediate

Le derivate ovviamente vanno intese nel loro dominio di definizione (CE)

$f(x)$	$f'(x)$
$n \in \mathbb{R}$	$0$
$x$	$1$
$x^a$	$a x^{a-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln(a)$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}, , x > 0$
$\ln(|x|)$	$\frac{1}{x}, , x \neq 0$
$\log_a(x)$	$\frac{1}{x \ln(a)}, , x > 0$
$|x|$	$\frac{|x|}{x}, , x \neq 0$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\frac{1}{\cos^2(x)}, , x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cot(x)$	$-\frac{1}{\sin^2(x)}, , x \neq k\pi$
$\arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, , x \in [-1,1]$
$\arccos(x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, , x \in [-1,1]$
$\arctan(x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

Derivate "avanzate"

$f(x)$	$f'(x)$
$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$f(x) \cdot g(x)$	$f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

Derivata con definizione

Nel caso ci venga richiesto di calcolare la derivata di una funzione $f(x)$ tramite la sua definizione dobbiamo calcolare il limite del rapporto incrementale $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Nel caso ci venga chiesto anche il calcolo della derivata in un punto $x_0$ andiamo a sostituire questo punto nella derivata trovata