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已知$y^{'}=f(x)$,求y --> 积分问题 已知 y 及其若干阶导数的方程，求y -> 微分方程问题 这里方程的阶是指求导的阶数
- 微分方程
- 含有未知函数的导数或微分的方程称微分方程，简称方程.
- 微分方程的阶
- 微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.
- 微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解.
- 微分方程的通解
- 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解.
- 微分方程的特解
- 微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。其图形称为积分曲线。
- 初始条件 /定解条件
- 确定特解的一组常数称初始条件.
- 微分方程的通解
- 积分曲线
- 方程的一个解在平面上对应一条曲线，称该微分方程的积分曲线.
如果给定的一阶微分方程不属于下述五种标准形式，首先考虑将x, y对调，即认定y为x的函数，再判定新方程的类型;或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解.
-
一阶（线性）常微分方程一般形式：
- $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\begin{cases}Q(x)=0&\text{齐次线性方程}\Q(x)\neq0&\text{非齐次线性方程}\end{cases}$
- 一阶齐次线性常微分方程
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \to \text{通解为}y=Ce^{-\int{P(x)dx}}$ - 可分离变量一阶常微分方程(齐次方程分离变量的情况)
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \to g(y)dy=f(x)dx$ 
- 有时需要做适当代换使得方程可分离变量
-
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \to \frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ , 令$z=ax+by+c$ -
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \to \frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})$ ， 令$u=\frac{y}{x}$ -
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0 \to \frac{dy}{dx}=f(x,y)$ ，令$y=ux$ - 有些情况下还需要将dx和dy的顺序对掉，使方程变为类似$\frac{dx}{dy}$ 的形式。
- （例）
- （例）
- （例）
-
- 分离变量后可能会额外添加分母不能等于零的条件，这在求出通解之后需要手动验证分母为零时是否正确。
- 一阶非齐次线性常微分方程
- 常数变易法
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \to \text{通解为}y=[\int{Q(x)e^{\int{P(x)dx}}dx}+C]\cdot{e^{-\int{P(x)dx}}}$ 
- 一阶线性常微分方程应用
- 要点：建立微分方程，确定定解条件
- $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\begin{cases}Q(x)=0&\text{齐次线性方程}\Q(x)\neq0&\text{非齐次线性方程}\end{cases}$
- 一阶非线性常微分方程
- 伯努利方程
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n, \ (n\neq0,1)$ - 设
$u=y^{1-n}$ ，将原方程化为一阶线性方程 
- 设
- 伯努利方程
线性微分方程解的结构：这里只讨论阶数为2的情况，更高阶的函数类似
-
2阶常微分方程一般形式
- $y^{''}=f(x,y,y^{'}) \sim y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=f(x)\begin{cases}f(x)=0&齐次方程\f(x)\neq0&非齐次方程\end{cases}$
$p(x), \ q(x), \ f(x)\text{均为连续函数}$ 
-
2阶线性微分方程解的结构（线性齐次/ 线性非齐次方程解的结构）
- 线性相关：
- 线性齐次微分方程解的结构
- n阶线性齐次微分方程恰好有n个线性无关特解
- 线性非齐次微分方程解的结构
- （例）
- （例）
- 线性相关：
-
特殊二阶/高阶常微分方程的计算方法
- ==可降阶的高阶常微分方程==
-
$y^{(n)}=f(x)$ 形式- 缺y，缺$y^{'}$
- 依次通过n次不定积分求得原函数
-
$y^{''}=f(x,y^{'})$ 形式- 缺y，设
$y^{'}=p(x)$ 
- 缺y，设
-
$y^{''}=f(y,y^{'})$ 形式- 缺x，设
$y^{'}=p(y)$ 
- 缺x，设
-
$y^{''}=f(y,x)$ 形式- 缺
$y^{'}$ ？
- 缺
-
$y^{''}=f(y^{'})$ 形式- 缺x缺y，具体情况分析，可以使用上述两种设法。下面例子的第三题就使用两种设法比较了求解的困难程度。
- （例 - 3个题）
- ==常系数高阶线性常微分方程==
- 常系数齐次线性微分方程
$y^{''}+py^{'}+qy=0$ - 欧拉公式：$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ 1.
- 设方程的解为
$y=Ce^{rx}, \ C,r\in{Q}$ ，则可得特征方程；由特征方程解出r，再代回$y=Ce^{rx}$得原方程的解。根据特征方程解的不同，代回时的形式也不同。 
- 常系数非齐次线性微分方程
$y^{''}+py^{'}+qy=f(x)$ - 一般解
- $y=Y+y^$, $y^$ 用待定系数法求解
- 某些特殊自由项的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
- 自由项：$$\begin{cases}f(x)=P_m\cdot{e^{\alpha{x}}} & \text{多项式乘幂级数} \ f(x)=P_m\cdot{e^{\alpha{x}}}\cdot{cos{\beta{x}}} \ \vert\vert \ f(x)=P_m\cdot{e^{\alpha{x}}}\cdot{sin{\beta{x}}}& \text{多项式乘幂级数乘三角函数} \ f(x)=e^{\alpha{x}}[P_i(x)\cos{\beta{x}}+P_j(x)\sin{\beta{x}}]\end{cases}$$
-
- 说明：
- 类型一中，若r取复数也成立
- 类型二中，复数解总是共轭出现，即要么有0个复数解，要么有2个复数解。故a+ib只能为单根，此时另一个单根为a-ib（取共轭）
- 对于类型二中的三角函数自由项，他们不一定总是以sinx或cosx的形式出现，如$\sin^2x$ 或$\sin{x}\cos{2x}$。这时将他们通过三角恒等变换化为$\sin{f(x)}$的形式。
- 一种类型三的方程就是上面两种类型方程线性相加。这种方程就分别求类型一、类型二方程，然后线性相加。
- 说明：
- 一般解
- 常系数齐次线性微分方程
- ==欧拉方程==
- ==差分方程==
- ==可降阶的高阶常微分方程==
应用题求解步骤: (1)根据实际要求确定要研究的量(物理量、几何量或经济量); (2)找出这些量所满足的规律(物理的、几何的或经济的); (3)运用这些规律列出方程:如牛顿第二定律或微元法: (4)列出初始条件，往往隐含在题目中。 微分方程在实际中应用广泛，下面举几个例子来简单了解一下.
设 = f(z)为未知函数，含有该曲线的切线斜率，或曲率、弧长、曲边梯形面积、曲边梯 形绕水平(垂直)直线旋转而成的旋转体体积等为已知的函数，那么根据某某等于某某这 一 关系列出相应的等式，便得一个微分方程. 再根据其他一些数值条件，列出初始条件.
由变化率问题引出的微分方程可以是多方面的。例如已知镭随时间的分解率(即变化率)，求镭对时间的变化规律；传染病人随时间的增加(减少)率已知，求传染病人对时间的变化规律等等，都涉及微分方程问题。若某未知函数的变化率的表达式为已知，则据此列出的方程常是一阶微分方程. 建模的关键是，抓住某某对某某的变化率是多少这一条件，用导数来表示，便得微分方程. 在建立微分方程的同时，还必须建立初始条件。有时还应从题中找出确定比例常数的条件。考生应特别注意比例系数前应是正号还是负号。因为这种正、负号，题中不单独写明，而要考生自己根据题意去分析并主动添上.
- 全微分方程
