[TOC]
- 问题引入：第一宇宙速度
- 一阶微分的定义
$y=f(x), \ \Delta{y}=g(x)\Delta{x}+o(\Delta{x}), \ dy=g(x)\Delta{x}$ 
- （例）
- （例）
- 一阶导函数的定义
对导数的理解：
- 导数是一种特殊的函数，对于任何函数f我们都可以考虑f的导函数；我们对导函数感兴趣是因为它反映了自变量和因变量的变化关系，这在许多场景下都很有用
- 由于导函数只是一种特殊的函数，所以导函数的性质和前面几章中函数的性质是包含与被包含的关系，而不是并列的关系；比如考虑原函数f的导数的存在性时其实是考虑导函数g的连续性，而函数的连续性正是之前一章中讲过的内容，所以他们的定义、证明等都相似。
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=40&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 导数的实际应用（略）
- 物理加速度
- 人口增长快慢
- 割线和切线
- 抛物线和焦点
- 椭圆的导数方程
“导数的存在性”是以原函数f为主语的表述 “导函数g的连续性”是以导函数g为主语的表述 两种不同的表述方式描述的是同一件事情。
这里一个容易混淆的地方就是，原函数f连续不一定有导函数g连续，即所谓的不一定存在导函数；导函数的定义和函数连续性都是对照着定义的：
- 原函数定义：f(x)；f(x)极限；f(x)连续
- 原函数构造新函数：g(f(x),x)=g(x)；g(x)极限：导函数；g(x)连续：导函数存在
另一容易混淆的地方：
- 原函数f在x0处求左/右导函数g
- 原函数f的导函数g在x0处求左/右极限
- 定义： 2. 左导数 3. 右导数
- （例）
- （例）
- （例）
- 有限个一元函数的导数运算
- 有限个一元函数求一阶导
- 基本初等函数的一阶导数运算
- 🔗 https://math.fandom.com/zh/wiki/基本初等函数的导数?variant=zh-hant
- 基本初等函数的一阶导数
$y=C$ -
$y=log_{a}{x}$ -
$y=ln{x}$ - （证）
-
-
$y=a^x$ -
$y=e^x$ - （证）
-
-
$y=x^\alpha, \ \alpha\in{R}, \ x\gt0$ - （证）
-
$y=\sin{x}$ - （证）
$y=\arcsin{x}$
- 基本初等函数的一阶导数的四则运算
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=42&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 加，减，标量乘/ 线性运算
- （例）
- 乘
- （例）
- 除 /乘法逆元
- （例）
- 推论：
- 多元函数求一阶导
- 基本初等函数的一阶导数的反函数运算
7. https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=42&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d&t=3052
8. 反函数求导定理
1. 定义：
1.
2. （证）
1. 
- 基本初等函数的一阶导数的复合函数运算（链式法则）
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=44&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 定义：（注意中间变量u在极限路径上不可以等于零）
- （证）
- 幂指函数求导
- 初等函数的一阶导数运算
- 非初等函数的一阶导数运算
- 基本初等函数的一阶导数运算
- 有限个一元函数求高阶导（见下）
- 有限个一元函数求无限阶导（略）
- 有限个一元函数求一阶导
- 无限个一元函数的导数运算（略）
- 显函数求导
- 隐函数求导 （利用了一阶微分的形式不变性）
2. 【数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)】 https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=45&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
3.
4. （例）
1. 
5. （例）
1. 
- 参数函数求导
- 不同函数表示下求导的对比
一阶微分的形式不变性 
- 引入：瞬时加速度
- 二阶导数定义
- n阶导数定义/记号
- （例）
- （例）
- 有限个一元高阶导数的运算
- 基本初等函数的高阶导数运算
- 基本初等函数的高阶导数
$y=C$ -
$y=log_{a}{x}$ - （例）$y=ln{x}\to y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$
- （例）$y=ln{x}\to y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$
-
$y=a^x$ - （例）$y=e^x$
-
$y=x^\alpha$ - （例）$y=x^\alpha, \alpha\in{N^+}$
- （例）$y=x^\alpha, \ \alpha\in{R}, \ x\gt0$
- （例）$y=x^\alpha, \alpha\in{N^+}$
-
$y=\sin{x}, \ y=\cos{x}, \ y=\tan{x}$ $y=\arcsin{x}$
- 基本初等函数的高阶导数四则运算
- 加，减，标量乘/ 线性运算
- 乘（莱布尼茨公式）
- 回顾：🔗 二项式定理
- （定义）
- （证明）数学归纳法
- （例）
- 除 /乘法逆元
$[\frac{f(x)}{g(x)}]^{(n)}=[f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}]^{(n)}$
- 加，减，标量乘/ 线性运算
- 基本初等函数的高阶导数反函数运算
- 没讲。。
- 基本初等函数的高阶导数复合运算
- 基本初等函数的高阶导数
- 初等函数的高阶导数运算
- 非初等函数的高阶导数运算
- ==高阶导数求导方式总结==
- 公式法
- 归纳法
- 利用已知公式（牛-莱）
- 利用已知等式
- 基本初等函数的高阶导数运算
- 无限个一元高阶导数的运算（略）
- 显函数（见上）
- 隐函数求高阶导数
- 参数函数求高阶导数
- 定义
- 高阶微分不具有形式不变性
- （例）
可导和可微的关系 1. 一元函数中等价 2. 多元函数中不等价
- 极值点判定定理
- 定义
- 由如下等式，可推广到f的n阶导的情况
$$f(x)=f(x_0)+\frac{1}{1!}f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}f^{'''}(x_0)(x-x_0)^3+..+o((x-x_0)^n)$$
- 由如下等式，可推广到f的n阶导的情况
- 证明：
- （例）
- （例）
- 定义
- 最值
- 马尔萨斯人口模型
- 液体过滤问题
- 函数制图的基本步骤
- （例）$y=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
- （例）$y=\frac{(x-1)^2}{3(x+1)}$
- （例）$y=\sqrt[3]{x^3-x^2-x+1}$
- 方程的求解方法
- 解析方法
- 数值方法
- 数值方法近似求解
- 二分法
- 牛顿迭代法 （牛顿切线法）
- 定理5.6.1
- 二分法
- 由连续函数介值定理或连续函数零点定理证
- 由罗尔定理证
- 用单调性
- 用最值
- 用拉格朗日中值定理
- 用拉格朗日余项泰勒公式
一元/多元，有限个/无限个，一阶导/高阶导/无限阶导 四则运算，反函数运算，复合函数运算 显函数，隐函数，参数函数 基本初等函数，初等函数，非初等函数
- 一元函数导数/微分运算
- 有限个一元函数的导数运算
- 有限个一元函数求一阶导
- 基本初等函数的一阶导数运算
- 基本初等函数的一阶导数
- 基本初等函数的一阶导数的四则运算
- 基本初等函数的一阶导数的反函数运算
- 基本初等函数的一阶导数的复合函数运算
- 初等函数的一阶导数运算
- 双曲函数一阶导数
- 非初等函数的一阶导数运算
- 基本初等函数的一阶导数运算
- 有限个一元函数求高阶导
- 基本初等函数的高阶导数运算
- 基本初等函数的高阶导数的四则运算
- 基本初等函数的高导数的反函数运算
- 基本初等函数的高阶导数的复合函数运算
- 初等函数的高阶导数运算
- 非初等函数的高阶导数运算
- 基本初等函数的高阶导数运算
- 有限个一元函数求无限阶导
- 有限个一元函数求一阶导
- 无限个一元函数的导数运算
- 无限个一元函数求一阶导
- 无限个基本初等函数求一阶导
- 无限个一元函数求高阶导
- 无限个基本初等函数求高阶导
- 无限个一元函数求无限阶导
- 无限个基本初等函数求无限阶导
- 无限个一元函数求一阶导
- 有限个一元函数的导数运算
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- 有限个多元函数的导数运算
- 有限个多元函数求一阶导
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- 无限个多元函数的导数运算
- 无限个多元函数求一阶导
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- 无限个多元函数求无限阶导
- 有限个多元函数的导数运算