[TOC]
- 函数的极值和最值
- 如何找极值：验证一阶导数等于0或不存在的点
- 费马引理用于说明导函数零点的存在性。
- 费马引理 (X0是极值点，且f在X0可导，-> f(x0)导数为0)
- Rolle Mean Value Theorem (罗尔中值定理)
- 罗尔定理用于考虑导函数的零点。
- 闭区间连续，开区间可导
- （例）Lagrange Polynomial
- 推论：
- 前提：n重零点
- 若f(x)在[a,b]上有n重零点，且f(x)m重可导，则f(x)的m阶导数至少有n-m个零点。
- 拉格朗日定理作用在于用导数考虑函数增值量，即$f(x+\Delta{x})-f(x)=f^{'}(x+\theta\Delta{x})\cdot{\Delta{x}}, \ \theta\in(0,1)$
- Lagrange Mean Value Theorem (拉格朗日中值定理)
-
- （例）
$y=C \iff y^{'}=0$ 
- （例）
-
- 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一般形式。
- Cauchy 中值定理 （tbd）
- 一阶导数与函数单调性的关系
- 二阶导数与函数凸性的关系
- 拐点
- 【数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)】 https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=52&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 如何找拐点：验证二阶导数等于0或不存在的点
- （例）
- Jason 不等式
- （例）
- （例）
1.
- （例）
1.
- （例）
1.
- （例）
- （例）
- （例）
- 关键：逆向思维，设辅助函数
- 证明恒等式
- 证明不等式
- 证明有关中值问题的结论
🔗 https://math.fandom.com/zh/wiki/积分第一中值定理?variant=zh-hant
- 定义
2.
- （证）（tbd）
- 洛必达法则是充分性定理，必须要保障极限存在的前提下才能用洛必达法则
- 洛必达法则和等价无穷小结合使用
- 熟练掌握不同待定型下的使用技巧
- (例)
2.
- （例）
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=55&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 使用法则的注意
- 目的：用多项式近似表达函数
- 应用：理论分析（联系一个函数f和它的各阶导数）/近似计算/求极限/证明不等式/求渐进性
- 比较：
- 拉格朗日余项要求f(x)在区间上n+1阶可导，皮亚诺余项只要f(x)在x0处的n阶导存在。
- 拉格朗日余项用于误差估计，皮亚诺余项用于求函数的极限
- 拉格朗日余项用在一段固定区间，皮亚诺余项用在x0的充分小领域内。
- 泰勒多项式
- 插值多项式
- 泰勒展开的计算
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=59&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 基本函数的泰勒展开
- 基本函数在0处的泰勒展开（基本函数的麦克劳林公式）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- 基本函数在非0处的泰勒展开（通过等价变换化为在0处的泰勒展开）
- （例）
- （例）
- （例）
- 基本函数在0处的泰勒展开（基本函数的麦克劳林公式）
- 泰勒展开的性质
2. https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=60&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
3. 性质一：
1.
2. （例）
1. 
3. （例）
1. 
- 泰勒展开的应用
- 近似计算
- （例）
- e
- （证明）
- （例）
- （例）
- ⭐ ⭐ 求极限
- （例）
- （例）
- （例）
- 证明不等式
- （例）
- （例）
- （例）
- 求曲线渐进线
- （例）
- （例）
- （例）
- 近似计算
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$ $\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{2n}(x)$ $\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}(x)$ $(1+x)^\alpha=1+\alpha{x}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R_n(x)$ $ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n+R_n{x}$