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#function #math
函数只有 初等函数 和 非初等函数 的区别, 你非要叫高等函数那其实大家也都懂.
初等函数是由刘维尔(Joseph Liouville)划分的六大基本初等函数(反对幂三指常)复合而成的函数, 其他都叫非初等函数.
刘维尔又为什么要做这等绝地天通的伟业呢?
几百年前(1833)还没划分的时候, 那时候函数甚至都还没被定义为映射, 必须是表达式...
刘维尔你可能没听说过, 虽然他也算是那一时代领袖级的数学家
伽罗瓦的故事你应该知道, 刘维尔是第一个发现伽罗瓦理论的重要性的数学家, 后来他整理发表了伽罗瓦的遗作, 数学界这才认识到伽罗瓦的天才工作.
伽罗瓦理论代表了一种认识思想, 一个代数结构取决于生成元和之上定义的运算.
比如我们有个集合 , 定义加法和逆运算减法, 就能得到一切整数, 我们记为 .
然后我们知道还有乘法和逆运算除法, 然后能得到一切有理数, 我们记为 .
我们还能加上开方, 但是即便是加上了开方, 也有无法表达的东西, 比如**五次方程的求根公式**.
这种思想同样适用于函数, 不过注意运算本身也是函数, 两者无需区分.
一般二元的才叫运算, 而一元的叫做算子, 加入运算后一般也要同时加入其逆运算.
我们用恒等函数和**常函数**作为生成元,
定义加法减法, 这样得到的叫算术函数
加入乘法除法, 扩充后的集合叫代数函数
加入幂函数, 我们就能表达所有的根式.
计算 的本征算子, 得到所有三角函数, 反三角函数.
虽然再计算 还能得到一族函数, 不过这族函数肯定能被指数函数表达, 闲的没事干当然也能命名一族函数.
三角函数其实也一样, 不过人们早就知道三角函数和指数函数是一体的了, 两者区分只是为了习惯和方便.
这样子划分, 一切看起来非常美好...
那么问题来了, 微分运算的逆运算是积分, 加入积分算子会怎么样?
计算椭圆周长, 我们能列出表达式
人们惊奇的发现, 这似乎无法用现有的符号表达.
当然这不是什么问题, 我们可以暂记为 .
然而很不幸, 这一族函数比三角函数还多, 字母都快不够用了...
另一边, 电磁学的发展, 他们经常要计算类似 的表达式
这个好像也没法表达啊, 那么又要发明一族函数...
你发明, 我也发明, 我们用的符号还不大一样, 我也看不懂了你在写啥...
这么搞下去估计得来个函数统一委员会来分配命名...
这时候刘维尔来了, 他就做了三件小事
- 第一个呢, 就是发展了微分域理论, 证明了以上函数确实无法被其他函数所表达
这也没啥, 大家都默认的事, 只是没有证明罢了...
- 第二个呢, 证明了无论你怎么加入新的函数, 总是会有更多的无法表达的积分式
这下麻烦大了, 无论怎么发明符号, 万能函数计划泡汤了
当时总有人觉得这么多函数总归会有一个万能函数统一起来, 结束这个混乱的悲剧.
- 第三个呢, 划定基本初等函数, 反对幂三指常
从此大家都学这六个就行了, 其他函数出现, 就得写一行标注这是个啥
你们一个领域内都懂这不算, 对于非业内人士, 得默认他们只懂初等函数.
后来随着领域的不断细分, 这个决策被认为是非常明智的, 因为符号真的不够用...
基本初等函数这个划分范畴划的非常好, 物理公式也很少会有超出这个范畴, 大家都还算满意...
当时被排除的函数也很多, 比如阶乘函数 , 误差函数 , 所有数论函数, 整个椭圆函数族, 等等, 现在还是约定俗成的使用沿用名.
后来提出的比较有名的还有黎曼 函数等等, 现在每年还在提出数不清的函数.
所幸你已经不用去学他们了
update 20190824:
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误区1: 超越函数不是初等函数 错, 事实上除了常函数与整数次幂函数, 其他都叫初等超越函数, 比如 统统是超越数, 刘维尔虽然是超越数的提出者, 但划分的时候并没有这方面的考虑, 而且当时也无法判断这些数的超越性
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误区2: 绝对值函数不是初等函数 错, 难道不是基本初等函数复合而成的吗? 分段函数不一定不是初等函数, 事实上只要没有跳跃间断点就都能初等表达.
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误区3: 有解析式的就是初等函数 解析式这个词, 是欧拉用的, 现在的等价术语是封闭形式, 封闭解只要求闭包, 对具体的生成元没有要求, 初等函数符合正好符合而已. 在现代, 解析函数一般是指局部上由收敛幂级数给出的函数
如果你对非初等函数有兴趣的话, 有名有姓的主要有以下这几类:
👉 阶乘函数族: 阶乘的推广, Gamma 函数 继续推广得到多阶乘函数, PolyGamma 超阶乘, BarnesG 还有各种衍生, 比如 Beta/Pochhammer
👉 误差函数族与双指数积分: 正态分布计算中衍生的误差函数, Erf 注意到三角函数也是指数函数, 所以 Fresnel/Si/Ci 等也包含在内...
👉 贝塞尔函数族
👉 椭圆函数与椭圆积分 Jacobi定义了12个, Weierstrass 定义了15个, 还有其他数学家定义的, 加起来近百个... 以前属于和三角函数一样人人要掌握的内容
👉 Zeta函数与多对数函数 黎曼函数 玻色–爱因斯坦分布中提出的 PolyLog 前几年我看 IS 老哥在推广超多重复合多对数函数(Multiple Polylogarithms) 还有多重黎曼函数, 他们开心就好....
👉 多项式正交基: Hermite/Chebyshev 之类的, 也就十几个, 问题是物理学家还在不断地发明新的....
👉 Q 级数 新兴的一类级数, 上面那些函数推广一遍...
👉 模形式 另一个推广方向, 再推广一遍...
👉 统一函数族 为统一而生的函数, 但是只是制造了更多的悲剧, 我查公式都查错... 超几何函数(高斯超几何函数) 后来推广为广义超几何函数 再后来推广为梅耶尔G函数
👉 数论函数 欧拉函数, 莫比乌斯函数, 迪利克雷函数... 老牌函数, 本来就很多, 然后解析数论以后就爆炸式的更多了...
👍 初等函数之上有无定义「高等函数」？ - 酱紫君的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/339345734/answer/800503801
👍 初等函数之上有无定义「高等函数」？ - 呆萌的suki的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/339345734/answer/800217802
初等函数之上有无定义「高等函数」？ - 泉涸的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/339345734/answer/866372301
初等函数之上有无定义「高等函数」？ - morry的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/339345734/answer/2562180292
高等函数其实就是非初等函数。
非初等函数实数范围就是不能写成五大函数〈幂指对三反〉或者复数范围内不能写成〈幂指对〉的函数。而非初等函数有很多很多：一般地把用得较多的非初等函数，在数学有一门分科叫 《特殊函数》。比如欧拉积分（贝塔函数，伽马函数），概率密度函数，积分三角函数，积分指数函数，勒让德多项式，贝塞尔函数，椭圆积分，菲涅尔函数，迪拉克函数等等。而函数的概念已经扩大很多了，比如微积分中研究的连续函数，实变函数研究的可测函数，复变函数研究的解析函数以及复可测函数，这些可以看作是数或点与数的对应；线性代数研究的线性函数与双线性函数，线性函数的自变量就不止是数，还可以是向量、矩阵、以及代数结构，因变量也扩大到数，向量，矩阵以及代数结构，只要对应法则满足加和标乘就可以了。组合学用得广的二项式函数和母函数，这些函数完全是为了好表示而引入的形式的函数。泛函分析研究的泛函以及广义函数，它们是函数和数的对应。