[TOC]
不定积分四则运算
- 不定积分的线性性
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）$\int\frac{dx}{x^2(1+x^2)}$
- （例）$\int\frac{dx}{\sin^2{x}\cos^2{x}}$
- （例）$\int\frac{\cos{2x}}{\sin{x}-\cos{x}}dx$
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=68&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- （例）
- （例）
- （例）
- 倒代换
- （例）
- （例）
- （例）
- 分部积分法
2. https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=69&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
3. 定义：
1.
2. 把谁和 dx凑微分？
1. 对两个不同类型的函数相乘的不定积分，按“反对幂三指〞的顺序，排名靠后的与dx 凑成微分dv.
2. 反函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数
4. 分部积分法的适用情况：（3种情况）
1. 第1，2种情况
2. 
2. （例）
1. 
3. （例）
3. 
4. 第3种情况 
5. （例）
1. 
6. 第4种情况
1. https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=70&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
2. 
3. 
- 重要积分形式
- 说明
- 定理1
- 定理2
4.
5. (tbd...)
6. （证明）
1. 
- ==部分分式==
- （例）
- （例）
1.初等函数的不定积分不一定是初等函数 2.有理函数的不定积分一定是初等函数,可以被积出来 3.部分无理函数通过变量代换可以转化为有理函数
- 主要思想
- （例）
- （例）
- （例）
- 补充一种可算的形式
- 基本函数求不定积分
- 三角函数求积分： 1. 奇次幂 --> 换元 2. 偶次幂 --> 降幂 3. 乘积形式：积化和差/ 考虑tanx换元
- 利用恒等变形、积分性质、基本积分公式进行积分
- 常用恒等变形方法
- 分项积分
- 加项、减项
- 三角公式、代数公式
- 常用恒等变形方法
- 分式积分
- 分式积分一般思路
- 倒代换
- 分母有理化
- 分式有理化
- 化为真分式
- （例）$\int{\frac{x^2-1}{x^4+1}dx}$,
$\int{\frac{x^2+1}{x^4+1}dx}$ ,$\int{\frac{dx}{x^4+1}}$ 
- 简单多项式分式
- 指数函数分式
- （例）$\int\frac{1}{1+e^x}dx$
- （例）$\int\frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}dx$
- （例）$\int\frac{xe^{-x}}{\sqrt{1+e^{x}}}dx$
- 三角函数分式
- （例）$\int\frac{1+\sin{x}}{\sin{x}(1+\cos{x})}dx$
2. 万能公式代换:
$\sin{x}=\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}$ - （例）$\int\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx$
- 解1: 万能公式
- 解2: 代换
$\tan{x}=t$ - 解3: 陪凑法，利用
$(\sin{x}+\cos{x})^{'}=\cos{x}-\sin{x}$
- （例）$\int\frac{1+\sin{x}}{\sin{x}(1+\cos{x})}dx$
2. 万能公式代换:
- 一些复杂分式
- 分式积分一般思路
- 简单无理函数
- 换元法
