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回顾第一部分关于函数的内容和数列的内容...
- 函数定义（略）
- 函数初等性质（略）
- 函数的表示（略）
- 函数初等运算
- 基本初等函数
- 函数的四则运算
- 函数除法
- 复合函数运算
- 定义：
- （例）
- （例）
- （例）
- 复合函数性质 1.
- 定义：
- 反函数运算
- 定义：单射函数的逆映射就构成原函数的反函数，即只有单射函数存在反函数。
- 反函数的性质
- 反函数存在性定理 2. 定义：一切严格单调函数存在反函数，且反函数也是单调函数。 3. （证）根据反函数的定义，只要说明严格单调函数是单射函数即可（？） 4. （例）反双曲函数 1. asdf
- 反函数连续性定理 （见下“连续函数运算法则”）
- 初等函数的反函数
- 函数的四则运算
- 初等函数（对基本初等函数做四则运算和函数初等运算）（略）
- 非初等函数
- 基本初等函数
- 函数的性质：
- 存在性
- 连续性
- 可导性
函数极限的定义 （此时讲的极限都是去心邻域上的极限，即不考虑连续性；连续性在下一节讨论）
- 去心邻域：
- 函数极限的定义一：(同时从两侧逼近$x_0$)
$$(\varepsilon - \delta \text{语言}) \ \ \forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0, \ \forall{x}(0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta): \ \vert{f(x)-A}\vert\lt\varepsilon \ \text{(即函数在x0处极限为A)}$$ $\text{记为} \ lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=A \ \text{或} \ f(x)\to{A}(x\to{x_0})$ -
$\text{即对}\forall\varepsilon\gt0, \ \text{要找到}\delta\gt0, \ \text{使得当} \ 0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta\text{时，有} \vert{f(x)-A}\vert\lt\varepsilon$
- 函数极限的定义二：(分别从两侧逼近$x_0$)
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=26&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 单侧极限
- 左极限：
- 右极限：
- 双侧极限（略，同上）
- （例）$sin(x)$
- （例）$f(x) = \begin{cases}\frac{\sin{2x}}{x}&x\lt0\2\cos{x^2}&x\ge0\end{cases}, \ lim_{x\to0}{f(x)}=?$
-
函数极限定义的扩充 （分别从两侧逼近无穷量和有穷量）
-
- （例）$lim_{x\to\ - \infty}{e^x}=0$
- （例）$lim_{x\to 1-}{\frac{x^2}{x-1}}=-\infty$
-
- 渐近线
- （例）$lim_{x\to0}{e^x}\to1$
- （例）$lim_{x\to2}{x^2}\to4$
- （例）$lim_{x\to1}{\frac{x(x-1)}{x^2-1}}=\frac{1}{2}$
函数极限的性质
1. 唯一性
2. 
2. 局部保序性 （局部：在$x_0$的去心邻域内，保序：两个函数大小均保持极限大小的关系）
1. 
2. 推论1:
1. 
3. 推论2:
1. 
3. 局部有界性
1. 
4. 夹逼性 （见下）
函数极限的运算法则
- 运算量均存在的情况 (收敛函数运算)
- 收敛初等函数的运算法则
- 收敛函数的四则运算法则
- 收敛函数做四则运算再求极限等价于先求极限再做四则运算
- 基本的收敛函数的四则运算法则
-
前提：$f(x), g(x)$ 极限均存在，设
$lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=a, \ lim_{x\to{x_0}}{g(x)}=b$ ，对其做有限次四则运算 （此时收敛过程是第一类定义的收敛过程，即从两侧同时逼近$x_0$）$\forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0, \ \forall{x}(0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta: \ \vert{f(x)-a}\vert\lt\varepsilon$ $\forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0, \ \forall{x}(0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta: \ \vert{g(x)-b}\vert\lt\varepsilon$
$lim_{n\to\infty}({\alpha{f(x)}+\beta{g(x)}}) = lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}} + lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}} = \alpha a + \beta b$ -
$lim_{n\to\infty}({\alpha{f(x)} \times \beta{g(x)}}) = lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}}\times lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}} = \alpha a \times \beta b$ -
$lim_{n\to\infty}{\frac{\alpha{f(x)}}{\beta{g(x)}}} =\frac{lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}}}{lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}}}= \frac{\alpha a}{\beta b} \ (\beta{b}\neq0)$ - （例）$\lim_{x\to0}{\frac{\sin{\alpha{x}}}{x}}$
- （例）$\lim_{x\to0}{\frac{\sin{\alpha{x}}}{\beta{x}}}$
-
前提：$f(x), g(x)$ 极限均存在，设
- 扩充的收敛函数的四则运算法则（排除不定型）
- 此时收敛过程是第三类定义的收敛过程（扩充的收敛函数定义），即从两侧分别逼近无穷量和有穷量）
- （例）$f(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{k}x^{k}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{j}x^{j}}, \ a_n,a_k,b_m,b_j\neq0$
- $x\to\infty, \ \begin{cases}n=m&f(x)=\frac{a_n}{b_m}\n\gt{m}&f(x)\to\infty\n\lt{m}&f(x)\to0\end{cases}$
- $x\to0, \ \begin{cases}k=j&f(x)=\frac{a_k}{b_j}\k\gt{j}&f(x)\to0\k\lt{j}&f(x)\to\infty\end{cases}$
- （例）$lim_{x\to\infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e, \ lim_{x\to0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$ （见下“重要收敛函数及其极限”）
- 收敛函数的复合运算法则
- tbd...
- 收敛函数的四则运算法则
- 收敛非初等函数的运算法则（略）
- 收敛初等函数的运算法则
- 运算量至少有一个不存在的情况
- 存在士不存在=不存在;
- 不存在士不存在= 不一定;
- 存在$\times / \div$不存在= 不一定;
- 不存在$\times / \div$不存在=不一定
注意：我们学的运算法则都是正对有限次运算的，对于无限次运算，除了证明过的特例（如重要极限）可以使用，不可以主观臆断地对其使用运算法则。
- 例子
$\lim_{n\to\infty}{\frac{n^n}{(n+1)^n}}$ -
$\lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})^{\sqrt{n}}}$ - 正确的做法：$\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}}$
- 错误的做法：$\lim_{n\to\infty}{((1-\frac{1}{n})^{n})^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}$
- 虽然在这个例子里两个做法答案都一样。。
- 不过同样是这个重要极限，如果是$n\to{0}$的情况，就可以这样拆开。比如下面这个例子：
$\lim_{x\to{0}}{(\frac{1+2^x}{2})^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to{0}}{((1+\frac{2^x-1}{2})^{\frac{2}{2^x-1}})^{\frac{2^x-1}{2x}}}=\sqrt2$
==函数极限与数列极限的关系==
1. 海涅定理(Hinne Theorm) （海涅定理通常用来否定一个数列是收敛的）
1. （证）
1. 
2. 
2. 海涅定理与扩充的函数极限
4. 
4. （例）$lim_{x\to\infty}\sin{\frac{1}{x}}$
1. 
2. 海涅定理的补充
1. 
收敛函数的判别准则/函数极限计算的重要方法
- 夹逼定理
- 定义
- （证）
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$ （见下“重要收敛函数及其极限”）
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{1-\cos{x}}{x^2}}$
- （例）$lim_{x\to\infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e$ （见下“重要收敛函数及其极限”）
- 定义
==重要收敛函数及其极限==
1.
2.
2. （证二：利用数列不等式）
3. 
3. （例）
4. ⚠
函数极限的Cauchy收敛原理
1. https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=27&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d&t=2285
2. 回顾数列极限的Cauchy收敛定理：$$lim_{n\to\infty}{a_n}=A, \ A\in{R} \iff \forall\varepsilon\gt0, \ \exists{N}, \ \forall{n,m\gt{N}}\to\vert{a_n}-{a_m}\vert\lt\varepsilon, \ \forall n,m\in{N}$$
3. 函数极限的Cauchy收敛定理：$$lim_{x\to\infty}{f(x)}=A, \ A\in{R} \iff \forall\varepsilon\gt0, \ \exists{X\in{R}}, \ \forall{n,m\gt{X}}\to\vert{f(n)}-{f(m)}\vert\lt\varepsilon, \ \forall n,m\in{R}$$
1. 充分性：（利用基本数列和海涅定理从而推断出函数极限）
1. 
2. 必要性：
1. 
tbd..
- 函数的增量（改变量）
- 函数的点连续性
$\forall\varepsilon\gt0, \ \exists\delta\gt0\to\forall{x}\ (\vert{x-x_0}\vert\lt\delta), \ \vert{f(x)-f(x_0)}\vert\lt\varepsilon$ -
$lim_{x\to{x_0}}{f(x)=f(x_0)}$ -
$f(x_0)$ 有定义 $lim_{x\to{x_0-}}{f(x)=f(x_0)}$ $lim_{x\to{x_0+}}{f(x)=f(x_0)}$
-
- 函数的区间连续性
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=29&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 函数在开区间的连续性
- 若f(x)在开区间(a,b)上每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)上连续
- （例）$f(x)=\frac{1}{x}, \ \text{证明}f(x)\text{在}(0,1)\text{上连续}$ (限制$\vert{x-x_0}\vert$大小，然后放缩；放缩过程中要保留$x-x_0$的形式的式子)
- （例）$f(x)=\frac{1}{x}, \ \text{证明}f(x)\text{在}(0,1)\text{上连续}$ (限制$\vert{x-x_0}\vert$大小，然后放缩；放缩过程中要保留$x-x_0$的形式的式子)
- 若f(x)在开区间(a,b)上每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)上连续
- 函数在闭区间的连续性
- 单侧连续
- 左连续：$\forall\varepsilon\gt0, \ \exists\delta\gt0\to\forall{x}\ ({x_0-x}\lt\delta), \ \vert{f(x)-f(x_0)}\vert\lt\varepsilon$
- 右连续：$\forall\varepsilon\gt0, \ \exists\delta\gt0\to\forall{x}\ ({x-x_0}\lt\delta), \ \vert{f(x)-f(x_0)}\vert\lt\varepsilon$
- 若f(x)在开区间（a,b）连续，在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续
- （例）$f(x)=\sqrt{x(1-x)}, \ \text{证明}f(x)\text{在}[0,1]\text{上连续}$
-
- （例）$f(x)=\sqrt{x(1-x)}, \ \text{证明}f(x)\text{在}[0,1]\text{上连续}$
- 单侧连续
- 函数在任意区间的连续性
$$\forall\varepsilon\gt0, \ \exists\delta\gt0\to\forall{x}\in{S}(\vert{x-x_0}\vert\lt\delta), \ \vert{f(x)-f(x_0)}\vert\lt\varepsilon, \ \text{则称}f(x)\text{在区间S上连续}$$ - （例）$f(x)=\sin{x}, \ x\in(-\infty, +\infty), \text{证函数连续}$
- （例）$f(x)=a^x \ (a\lt0,a\neq1), \ x\in(-\infty,+\infty) \ \text{证函数连续}$
- 回顾函数连续点的定义
-
$lim_{x\to{x_0}}{f(x)=f(x_0)}$ -
$f(x_0)$ 有定义 $lim_{x\to{x_0-}}{f(x)=f(x_0)}$ $lim_{x\to{x_0+}}{f(x)=f(x_0)}$
-
-
- 间断点定义：$lim_{x\to{x_0}}{f(x)\neq f(x_0)}$
- 第一类间断点 (左右极限都存在)
- 跳跃间断点
$lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}\neq lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}$ - 单调函数上的间断点都是跳跃间断点
- （例）sigmod(x)
- 可去间断点（）
$lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}\neq f(x_0) \ \text{or} \ x_0\not\in{D(x)}$ - （例）$f(x)=x\sin\frac{1}{x}, \ x\to{0}$
- 跳跃间断点
- 第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在）
$lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}\to\infty \ \text{or} \ lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}\to\infty$ - 震荡间断点
- （例）$f(x)=\sin\frac{1}{x}, \ x\to{0}$
- 无穷间断点
- （例）$f(x)=e^{\frac{1}{x}}, \ x\to0$
- ==注意==
- 初等函数的间断点只可能是定义区间之外的点.
- 分段函数的间断点除了定义域之外的点，还可能是定义域之内的分界点.
- 第一类间断点 (左右极限都存在)
- （例）处处不连续的函数
- （例）Dirichlet function (德列克雷函数)
- （例）无理数上连续有理数上不连续的函数
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=30&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- （例）Riemann function（黎曼函数）
- tbd...
- 连续初等函数运算法则
- 连续基本初等函数的有限次四则运算
- 两个函数在同一区间上连续，则函数在共同定义域上做四则运算，得到的结果看做一个新函数，则新函数在该区间上也连续。
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=29&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
-
前提：$f(x), g(x)$ 极限均存在，设
$lim_{x\to{x_0}}{f(x)}=f(x_0), \ lim_{x\to{x_0}}{g(x)}=g(x_0)$ ，对其做有限次四则运算 $\forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0, \ \forall{x}(0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta: \ \vert{f(x)-a}\vert\lt\varepsilon$ $\forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0, \ \forall{x}(0\lt\vert{x-x_0}\vert\lt\delta: \ \vert{g(x)-b}\vert\lt\varepsilon$
$lim_{x\to{x_0}}({\alpha{f(x)}+\beta{g(x)}}) = lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}} + lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}} = \alpha{f(x_0)}+\beta{g(x_0)}$ $lim_{x\to{x_0}}({\alpha{f(x)} \times \beta{g(x)}}) = lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}}\times lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}} = \alpha{f(x_0)}\times\beta{g(x_0)}$ -
$lim_{x\to{x_0}}{\frac{\alpha{f(x)}}{\beta{g(x)}}} =\frac{lim_{x\to{x_0}}{\alpha{f(x)}}}{lim_{x\to{x_0}}{\beta{g(x)}}}= \frac{\alpha{f(x_0)}}{\beta{g(x_0)}} \ (\beta{g(x_0)}\neq0)$ - （例）$P_m(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{0} \ \text{在}(-\infty, +\infty)\text{连续}$
- （例）$Q_{mn}(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{0}} \ \text{在定义域处连续}$
- 连续基本初等函数的有限次复合函数运算
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=31&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d&t=1667
- 问题引入：
3.
4. 
- 连续函数复合还是连续函数
- （例）双曲正弦函数：$y=f(x)=sh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
- （例）双曲正弦函数：$y=f(x)=ch(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
- （例）双曲正切函数：$y=f(x)=th(x)=\frac{sh(x)}{ch(x)}$
- 推论：连续函数的复合函数也是连续函数
- （证）tbd..
- 复合运算和极限运算计算时可以交换次序
- 连续基本初等函数的反函数运算
- 反函数连续性定理： 严格单调的连续函数的反函数也是严格单调的连续函数
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=31&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- （证）
- 基本初等函数在其定义域上都是连续的
5.
$y=c$ 6.$y=a^x(a\gt0,a\neq1)$ 1. （证） 7.$y=\log_{a}{x}(a\gt0,a\neq1)$ 1. （证） 8.$y=x^{\alpha}=e^{\alpha\ln{x}}$ 1. 当$\alpha\in{R}$ , y 在$(0,+\infty)$连续 2. 当$\alpha\in{N^+}$ , y 在$(-\infty,+\infty)$连续 3. 当$\alpha\in{N^-}$ , y 在$(-\infty,0)\union(0,+\infty)$连续 4. 当$\alpha\in{Q^+}, \ \alpha=\frac{q}{p}, \ p\text{为奇数}$ , y 在$(-\infty,+\infty)$连续 5. 当$\alpha\in{Q^+}, \ \alpha=\frac{q}{p}, \ p\text{为偶数}$ , y 在$[0,+\infty)$连续 9.$y=\sin{x}, \ y=\cos{x}, \ ...$ 1. （证） 10.$y=\arcsin{x}, \ y=\arccos{x}, \ ...$ 1. （证） - 初等函数在其定义域区间内都是连续的
- (例）$y=\ln\sin{x}, \ \text{的连续区间为} \ (2n\pi, (2n+1)\pi), \ n\in{Z}$
- （例）$$y=\sqrt{\cos{x}-1} \ \text{定义域为} \ x=2n\pi,n\in{Z}, \text{但是定义域既不构成区间，也不构成间断点，所以不连续}$$
- （例）$lim_{x\to0}{(\cos{x})^{\frac{1}{x^2}}}$
- （例）
- 连续基本初等函数的有限次四则运算
- 连续非初等函数运算法则（略）
- 闭区间上连续函数的性质 （tbd..）
- 【数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)】 https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=36&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 有界性
- 最值性
- 零点定理
- 介值性
- 开区间上连续函数的性质
函数无穷（小）量（虽然在数列部分也讨论过无穷量，但是区别在于此时讨论域属于实函数上而非数列）
- 函数无穷量定义：
- 无穷小量
- 无穷大量
- 无穷小量和无穷大量的关系
- 函数极限的无穷小量的表示
$O(v(x)): \text{v(x)的有界量}$ $o(v(x)): \text{v(x)的无穷小量}$
- 函数无穷量的运算法则
- ==
⚠️ 注意==- 无穷小量和无穷大量的运算性质不是完全相同的!
- 无穷小
- 有限个无穷小的积/和仍是无穷小
- 无穷小量与有界量的积仍是无穷小
- 以上前两条中的有限二字不能少
- 两个无穷小的商不一定是无穷小
- 无穷小量和有界变量的和是不确定的
- 无穷大
- 两个无穷大量的积仍为无穷大量
- 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
- 无穷大量与非零常数积/和仍为无穷大量
- 无穷大量和无穷大量之间的和是不确定的
- 无穷大量和有界变量的积是不确定的
- ==
- 函数无穷（小）量的比较
- 回顾数列无穷量的比较
$(n\to\infty): \ n^n>>n!>>a^n(a\gt1)>>n^\alpha(\alpha\gt0)>>\ln^{\beta}{n}(\beta\gt0)$ $e^x>>x^k>>\ln^n{x}$
- 无穷小/大量的比较（无穷量的阶）
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=33&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 同阶无穷小/大:
$lim_{x\to{x_0}}{\frac{u(x)}{v(x)}}=C\neq{0}, \ C\in{R}$ 
- （例）$u(x)=x(1+\sin\frac{1}{x}), \ v(x)=x$
- （例）$u(x)=x(2+\sin\frac{1}{x}), \ v(x)=x$
- 高阶无穷小/大:
$lim_{x\to{x_0}}{\frac{u(x)}{v(x)}}=0 \ \text{or} \ \infty$ $u(x)=o(v(x)): \ \text{u(x)是v(x)的高阶无穷小}$ - （例）$lim_{x\to0}{\frac{1-\cos{x}}{x}}=0$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^2}}=0$
- （例）$lim_{x\to\infty}{\frac{a^x}{x^k}}=\infty$
- （例）$lim_{x\to\infty}{\frac{\ln^b{x}}{x}}=0$
-
$lim_{x\to0}{\frac{-1}{\ln{x}}/x^{\alpha}}=0, \ lim_{x\to\infty+}{(\frac{-1}{\ln{x}})^k/x}=0$ $lim_{x\to0+}{e^{-\frac{1}{x}}/x^k}=0$
- k阶无穷小/大:
$lim_{x\to{x_0}}{\frac{u(x)}{v^k(x)}}=C, \ C\in{R}$ - ==等价无穷小/大==:
$lim_{x\to{x_0}}{\frac{u(x)}{v(x)}}=1, \ u(x)=v(x)+o(v(x))$ - （例）$lim_{x\to\infty}{\frac{x^3\sin{x}}{x^2}}=1$
- （例）$lim_{n\to\infty}{\frac{x^2+\ln{2-x}}{\arctan{x}}}$
- （例）$lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}{(\frac{\pi}{2}-x)\tan{x}}=1$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$ (重要等价无穷小)
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{1-\cos{x}}{\frac{1}{2}x}}=1$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\frac{1}{2}x^3}}=1, \ (\tan{x}\sim{x}, \ \sin{x}\sim{x})$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{\log_{a}{(1+x)}}{x}}=lim_{x\to0}{\log_{a}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\log_{a}{e}=\frac{1}{\ln{a}}$
$\therefore \ x\to0: \ \log_{a}{(1+x)}\sim\frac{x}{\ln{a}} \ \text{or} \ \ln{(1+x)}\sim{x}$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{a^x-1}{x}}$
$x\to0 \to(a^x-1\sim{x}\ln{a}), \ or \ (e^x-1\sim{x})$
- （例）$lim_{x\to0}{\frac{(1+x)^{t}-1}{x}}$
$x\to0\to(1+x)^t-1\sim{tx}$
- （例）$lim_{x\to0}{(1+2x)^{\frac{3}{\sin{x}}}}$
$$lim_{x\to{x_0}}{u(x)}=0, \ lim_{x\to{x_0}}{v(x)}=\infty\to{lim_{x\to{x_0}}{[1+u(x)]^{v(x)}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)\cdot\ln{[1+u(x)]}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)\cdot{u(x)}}}$$ $$lim_{x\to{x_0}}{u(x)}=0, \ lim_{x\to{x_0}}{v(x)}=\infty\to{lim_{x\to{x_0}}{u(x)^{v(x)}}}=lim_{x\to{x_0}}{e^{v(x)\cdot\ln{u(x)}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)}}\cdot{lim_{x\to{x_0}}{\ln{u(x)}}}=e^{a\cdot\ln{b}}=a^b$$
- $u(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}\begin{cases}x\to\infty&u(x)/\sqrt{x}=1\x\to0&u(x)/\sqrt[4]{x}=1\end{cases}$
- $u(x)=2x^3+3x^5\begin{cases}x\to\infty&u(x)\sim{3x^5}\x\to0&u(x)\sim{2x^3}\end{cases}$
- 回顾数列无穷量的比较
- 函数无穷（小）量的性质
- 查看下面“重要极限”获得其他信息
- ==等价无穷小量的性质==
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- 等价无穷小量的替换
- 定义：
- （证）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- （例）
- 定义：
- ==常见的函数等价无穷小== （这些只是泰勒展开的特殊情况）
- 无限次极限式
$lim_{x\to0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$
- 有限次极限式
- 幂指函数式
$x\to0, \ \log_{a}{(1+x)}=\frac{\ln{(x+1)}}{\ln{a}}\sim\frac{x}{\ln{a}}, \ \ln{(1+x)}\sim{x}, \ x-\ln{(1+x)}\sim\frac{1}{2}x^2$ $x\to0, \ e^x - 1 \sim{x}$ -
$x\to0, \ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha{x}$ 
- 这个式子的扩展：
$$lim_{x\to{x_0}}{u(x)}=0, \ lim_{x\to{x_0}}{v(x)}=\infty\to{lim_{x\to{x_0}}{[1+u(x)]^{v(x)}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)\cdot\ln{[1+u(x)]}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)\cdot{u(x)}}}$$ $$lim_{x\to{x_0}}{u(x)}=b, \ lim_{x\to{x_0}}{v(x)}=a\to{lim_{x\to{x_0}}{u(x)^{v(x)}}}=lim_{x\to{x_0}}{e^{v(x)\cdot\ln{u(x)}}}=e^{lim_{x\to{x_0}}{v(x)}\cdot{lim_{x\to{x_0}}{\ln{u(x)}}}}=e^{a\cdot\ln{b}}=a^b$$ 
- 三角函数式
$x\to0, \ 1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2, \ \sin{x}\sim{x}$ $x\to0, \ x-\sin{x}\sim\frac{1}{6}x^3, \ x-\arcsin{x}\sim-\frac{1}{6}x^3$ $x\to0, \ \tan{x}\sim{x}, \ x-\arctan{x}\sim\frac{1}{3}x^3, \ x-\tan{x}\sim-\frac{1}{3}x^3$
- 幂指函数式
- 无限次极限式
- 导数定义、定积分的定义、级数收敛的性质
- 四则运算、基本运算法则（无穷小/大量的性质，如 无穷小和无穷小相乘还是无穷小）
- 函数的连续
- 两个重要极限
- 等价无穷小和泰勒展开
- 导数定理：洛必达法则/拉格朗日、柯西中值定理
- 数列的极限性质：单调有界数列必有极限、夹逼、放缩、
- 证明不等式（有哪些方法证明/计算不等式？）
注意：我们学的运算法则都是正对有限次运算的，对于无限次运算，除了证明过的特例（如重要极限）可以使用，不可以主观臆断地对其使用运算法则。
- 例子
$\lim_{n\to\infty}{\frac{n^n}{(n+1)^n}}$ -
$\lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})^{\sqrt{n}}}$ - 正确的做法：$\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}}$
- 错误的做法：$\lim_{n\to\infty}{((1-\frac{1}{n})^{n})^{\frac{1}{\sqrt{n}}}}$
- 虽然在这个例子里两个做法答案都一样。。
- 另一个例子可以这样拆开的例子：
$\lim_{x\to{0}}{(\frac{1+2^x}{2})^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to{0}}{((1+\frac{2^x-1}{2})^{\frac{2}{2^x-1}})^{\frac{2^x-1}{2x}}}=\sqrt2$
- 这个原因是因为极限的运算法则指出，只有当f(x),g(x)分别单独收敛，才可以将$lim_{x\to0}f(x)^{g(x)}$ 分开计算：$lim_{x\to0}f(x)^{lim_{x\to0}g(x)}$
- 运算对象：基本初等函数（常数函数，幂指对函数，三角/反三角函数）
- 运算规则：四则运算 + 复合函数运算/反函数运算