[TOC]
↗ Function & Mapping of Set ↗ Relation & Order Theory
↗ Number Sets & Field Construction (Completion) and Extension
数系的扩充 （回忆代数结构）
- 自然数集N：加法、乘法封闭
- 离散性
- 整数集Z：加法、减法、乘法封闭
- 离散性
- 有理数集Q：加法、减法、乘法、除法封闭 (有限小数+无限循环小数)
- 稠密性（无限分割），但有空隙
- 离散性
- (第一次数学危机)
- 可公度：a，b是任意两线段的长度，则存在另一长度为c的线段，使得$a=mc, b=nc, \frac{a}{b} = \frac{m}{n}$
- 正方形对角线不可公度！
- （例）证明
$\sqrt2$ 不是有理数- 反证法：$\sqrt2 = \frac{p}{q}, \ p,q\in{Z}$
- 几何上：数轴上存在有理数无法到达的点
- 实数集R：加法、减法、乘法、除法、根号 封闭 （有理数 + 无理数「无限不循环小数」）
- 使得数轴完全填满
- 连续性（实数连续统）
- 复数集
实数系的连续性
- 实数集合内的最大数与最小数
- 有限非空集
- 最大数
$S \subset R, \ S \neq \emptyset; \ if \ \exists C \in S, \ \forall{x}\in{S}, x \leq C, \ \to \text{C is the maxium in S}, \ C = \max{S}$
-
最小数
- 有限非空集合必有最大最小数
- （证）反证法
- 最大数
- 无限集
- 不一定有最大最小数
- （证）
- 不一定有最大最小数
- 有限非空集
- 实数集合的上界/下界
- 上界：$S \subset R, \ S \neq \emptyset; \ if \ \exists M \in R, \ \forall{x}\in{S}, x \leq M$, 称M是S一个上界，或称S有上界
- 下界：$S \subset R, \ S \neq \emptyset; \ if \ \exists m \in R, \ \forall{x}\in{S}, x \geq m$, 称m是S一个下界，或称S有下界
- 实数集合的上界集合/下界集合，上确界/下确界
- 上界集合最大数/最小数，上确界
- 设U 是集合S的上界集合，则U没有最大数；但是U一定有最小数，记为
$\beta=\sup{S}$ ，称为S的上确界。「确界存在定理（实数系连续性定理）」 - $\beta \ \begin{cases}\beta \ 是上界&\forall{x}\in{S}, \ x \leq\beta \ \beta=\sup{S}&\forall\varepsilon\gt0, \ \exists{x}\in{S}, \ x \gt \beta-\varepsilon \end{cases}$
- 设U 是集合S的上界集合，则U没有最大数；但是U一定有最小数，记为
- 下界集合最大数/最小数，下确界
- 设U 是集合S的下界集合，则U没有最小数；但是U一定有最大数，记为
$\alpha=\inf{S}$ ，称为S的下确界。「确界存在定理（实数系连续性定理）」 - $\alpha \ \begin{cases}\alpha \ 是下界&\forall{x}\in{S}, \ x \geq\alpha \ \alpha=\inf{S}&\forall\varepsilon\gt0, \ \exists{x}\in{S}, \ x \lt \alpha+\varepsilon \end{cases}$
- 设U 是集合S的下界集合，则U没有最小数；但是U一定有最大数，记为
- 上界集合最大数/最小数，上确界
- 确界存在定理（实数系连续性定理）
- https://www.bilibili.com/video/BV1sX4y1Y7jH/?p=8&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 定义：非空有上界的（实）数集必有上确界；非空有下界的（实）数集必有下确界。
- 证明：
- 设
$$S \subset R, S \neq\emptyset, \ \text{S有上界}, \ S={a_0+0.a_1a_2...a_n... \vert \ a_0=[x], \ 0.a_1a_2...a_n...=(x), \ s\in{S}}$$
- 设
- （例）$T={x \vert x\in{Q}, \ x\gt{0}, \ x^2\lt{2}}, \ \text{则T在Q内没有上确界} \left(\sqrt{2}不是上确界，因为\sqrt{2}\notin{Q} \right)$
数列
- 数列的定义：特殊的离散函数（$Z^+ \to \text{some sets...}$）
- 数列的表示
- 枚举
- 表达式
- 通项式
- ==数列的极限==
- （例）圆周率$\pi$
- 刘徽：使用圆内接正多边形的周长逼近圆的周长（$2\pi$）
- "割值弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。"
- （见下“重要数列极限”）
- 数列极限的定义
-
邻域的定义
- （柯西）
$lim_{n\to\infty}{x_n}=a, \ a\in{R}: \forall\varepsilon\gt0,\exists{N_0}\in{N}, \forall n\gt{N_0}, \vert x_n - a \vert \lt \varepsilon$ - 若a存在，称$x_n$收敛于a；否则称其发散
- （瓦尔）
- ..
- 若a存在，称$x_n$收敛于a；否则称其发散
- (注意：数列收敛与否与数列前有限项无关)
- 使用定义证明数列极限：
$n \to \infty$ (放缩)- https://www.bilibili.com/video/BV1sX4y1Y7jH/?p=10&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 基本初等函数
- 常数函数
$lim_{n\to\infty}a$
- 幂、指、对函数
${n^2}$ ${\left(-1\right)^n}$ -
${q^n, \ 0<\vert q \vert<1}$ -
$lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{a}} = 1, a>1$
-
三角、反三角函数
- 常数函数
- 初等函数
- 加减+基本初等函数（及其复合/求逆）
- 略
- 乘除+基本初等函数（及其复合/求逆）
${\frac{n}{n+3}} \to 1$ ${\frac{1}{n}}$ -
$lim_{n\to\infty}{\frac{n^2+1}{2n^2-7n}}=\frac{1}{2}$
- 基本初等函数的复合/求逆
- 加减+基本初等函数（及其复合/求逆）
- 非初等函数
-
$lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]n = 1}$ $lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n^{k}} = 1}, \ k\in{N}$ -
$lim_{n\to\infty}{a_n} = a, \ lim_{n\to\infty}{\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}} = a$ - 见下“重要不等式的数列极限”
-
-
- （例）圆周率$\pi$
- 数列极限的性质
- 唯一性
$lim_{n\to\infty}{x_n}=a, lim_{n\to\infty}{x_n}=b \to a=b$ - （证）
- 有界性
-
$\exists{M}\in{R}, \ \forall{n}\in{N^+}\to x_n \leq M$ : 称M为${x_n}$上界，或称其有上界 -
$\exists{m}\in{R}, \ \forall{n}\in{N^+}\to x_n \geq m$ : 称m为${x_n}$下界，或称其有下界 
- 收敛数列必定有界 （有界不一定收敛；单调有界必收敛；见下“收敛准则”）
- （证）
-
- 保序性（实际上是前两个性质的推论）
- 推论1:
$if \ lim_{n\to\infty}{y_n = b \gt 0}, \ then \ \exists N, \forall n \gt N, y_n \gt \frac{b}{2} \gt 0$ - 推论2:
$if \ lim_{n\to\infty}{y_n = b \lt 0}, \ then \ \exists N, \forall n \gt N, y_n \lt \frac{b}{2} \lt 0$ - 推论3:
$if \ lim_{n\to\infty}{y_n = b \neq 0}, \ then \ \exists N, \forall n \gt N, \vert y_n \vert \gt \vert \frac{b}{2} \vert \gt 0$
- 唯一性
总结：
- 运算法则：四则运算法则
- 等价无穷小
- 夹逼/收敛+单调
- 放缩
- 重要极限
- 收敛数列的四则运算（确定，有限）
-
前提：$x_n, \ y_n$ 极限均存在，设
$lim_{n\to\infty}{x_n}=a, \ lim_{n\to\infty}{y_n}=b$ ，对其做有限次四则运算-
$lim_{n\to\infty}({\alpha{x_n}+\beta{y_n}}) = lim_{n\to\infty}({\alpha{x_n}}) + lim_{n\to\infty}({\beta{y_n}}) = \alpha a + \beta b$ - （证）
-
$lim_{n\to\infty}({\alpha{x_n} \times \beta{y_n}}) = lim_{n\to\infty}({\alpha{x_n}})\times lim_{n\to\infty}({\beta{y_n}}) = \alpha a \times \beta b$ - （证）
-
$lim_{n\to\infty}{\frac{\alpha{x_n}}{\beta{y_n}}} =\frac{lim_{n\to\infty}({\alpha{x_n}})}{lim_{n\to\infty}({\beta{y_n}})}= \frac{\alpha a}{\beta b}$ - （证）
-
-
初等函数在数列极限上的有限次四则运算
$lim_{n\to\infty}{\frac{5^{n+1}-(-2)^n}{3\cdot5^n + 2\cdot3^n}} \to 1$ -
$lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{a}} = 1, a>0$ - $\begin{cases}a \gt 1 & 已证 \ a = 1 & 显然 \ a \lt 1 & lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}}} \end{cases}$
$lim_{n\to\infty}{n\cdot(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})}$
-
初等函数在数列极限上的无限次四则运算：
-
$lim_{n\to\infty}({\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}})$ - 夹逼
-
-
前提：$x_n, \ y_n$ 极限均存在，设
- 夹逼定理
- （证）
- （例）$lim_{n\to\infty}({\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$
- （例）$lim_{n\to\infty}{(a_1^n + a_2^n + ... + a_p^n)^{\frac{1}{n}}} = \max{a_i}$
- （例）$lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]n = 1}$
$1 \lt \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}\cdot\underbrace{1\cdot1\cdot ... \cdot1}}_{n-2} \leq \frac{2\sqrt{n} + n -2}{n}$
- （例）$lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n^2} = 1}$
$1 \lt \sqrt[n]{n^2} = \sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}\sqrt{n}\sqrt{n}\cdot\underbrace{1\cdot1\cdot ... \cdot1}}_{n-4} \leq \frac{4\sqrt{n} + n - 4}{n}$
- 单调有界数列必收敛
- （证）
- （例）$x_1>0, \ x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}, \ n=1,2,3...$
-
- （例）$0\lt{x_1}\lt{1}, \ x_{n+1}=x_n(1-x_n), \ lim_{n\to\infty}{x_n}=?$
- （例）$x_1=\sqrt2, \ x_{n+1}=\sqrt{3+2x_n}, \ n=1,2,3... \ lim_{n\to\infty}{x_n}=?$
- （例）$x_1=\sqrt2, \ x_2=\sqrt{2+\sqrt2}, \ x_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}, ... \ lim_{x\to\infty}{\sqrt{2+x_{n-1}}} = ?$
- 重要收敛数列和其极限
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=17&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- ⭐ Fabbinaci 数列：$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \ b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}$
$lim_{}{b_n}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}, \ b_{2k}, \ b_{2k+1}, \ k\in{N}$ - tbd..
-
⭐
$\pi$ - ⭐
$e$ -
$lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n \ \to e$ $(1+\frac{1}{n+1})^n \lt e \lt (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
-
- ⭐ 调和级数数列
$a_n=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+...+\frac{1}{n^p}, \ p \gt 0$ - $\begin{cases}p\gt1&{a_n}收敛\p=1&a_n调和级数\0\lt{p}\lt{1}&{a_n\to\infty}\end{cases}$
-
$\gamma$ (欧拉常数)- 取调和级数数列中p=1，得
$lim_{n\to\infty}{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln{n}}} \to \gamma$ - (证)
- （例）$lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})}=\ln{2}$
- $\begin{cases}b_n={(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln{n}}\to\gamma\b_{2n}={(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n})-\ln{2n}}\to\gamma\end{cases}$
- （前n项依次相减）$lim_{n\to\infty}{b_{2n}-b_n}=lim_{n\to\infty}{{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})-\ln{2}}} \to 0$
- （例）$lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+ (-1)^{n+1}\frac{1}{n})}=\ln{2}$
- $\begin{cases}b_n={(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln{n}}\to\gamma\b_{2n}={(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n})-\ln{2n}}\to\gamma\end{cases}$
- （前n项错位相减）$lim_{n\to\infty}{b_{2n}-b_n}=lim_{n\to\infty}{{(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+ (-1)^{n+1}\frac{1}{n})-\ln{2}}} \to 0$
- 取调和级数数列中p=1，得
重要不等式的数列极限 （$设 \ lim_{n\to\infty}{a_n} = a$）
- 回顾重要不等式：
$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n}{n} \geq \sqrt{a_1a_2a_3...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$ -
$\lim_{n\to\infty}{\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n}{n}}=a$ $\sqrt{a_1a_2a_3...a_n}$ $\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$
其他重要不等式极限
-
$lim_{n\to\infty}{(a_1^n + a_2^n + ... + a_p^n)^{\frac{1}{n}}} = \max{a_i}$ -
$lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n^\alpha} = 1}$ -
$lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]n = 1}$ $1 \lt \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}\cdot\underbrace{1\cdot1\cdot ... \cdot1}}_{n-2} \leq \frac{2\sqrt{n} + n -2}{n}$
-
-
$lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{a}} = 1, a>0$ - $\begin{cases}a \gt 1 & 已证 \ a = 1 & 显然 \ a \lt 1 & lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}}} \end{cases}$
- ==特殊的数列极限：无穷量==
- 无穷量定义
-
$\infty$ 无穷大量 （正无穷大，负无穷大）- 定义：$\forall{G}\gt{0}, \ \exists{N_0}\in{N}: \ \forall{n}\gt{N_0}\to \vert{x_n}\vert\gt{G}$
- 正无穷大量：$\forall{G}\gt{0}, \ \exists{N_0}\in{N}: \ \forall{n}\gt{N_0}\to {x_n}\gt{G}$
- 负无穷大量：$\forall{G}\gt{0}, \ \exists{N_0}\in{N}: \ \forall{n}\gt{N_0}\to {x_n}\lt{-G}$
- （例）$\vert{q}\vert\gt{1}, \ lim_{n\to\infty}{q^n}\to\infty$
- （例）$lim_{n\to\infty}{\frac{n^2-1}{n+5}}\to\infty$
- 定义：$\forall{G}\gt{0}, \ \exists{N_0}\in{N}: \ \forall{n}\gt{N_0}\to \vert{x_n}\vert\gt{G}$
-
$0$ 无穷小量- 定义：
- （例）
-
- 无穷量的性质
-
$if \ x_n \neq 0, \ lim_{n\to\infty}{x_n} \to \infty \Leftrightarrow ( lim_{n\to\infty}{\frac{1}{x_n}} \to 0 )$ - （证）
-
- 无穷量运算
- https://www.bilibili.com/video/BV1sX4y1Y7jH/?p=14&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
-
$lim_{n\to\infty}{\frac{a_0n^k+a_1n^{k-1}+a_3n^{k-2}+...+a_{k-1}n+a_k}{b_0n^l+b_1n^{l-1}+b_3n^{l-2}+...+b_{l-1}n+b_l}}, \ a_0,b_0 \neq 0, \ k,l\in{N^+}$ $lim_{n\to\infty}{[n^{k-l}\frac{a_0+\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n^2}+...+\frac{a_k}{n^k}}{b_0+\frac{b_1}{n}+\frac{b_2}{n^2}+...+\frac{b_l}{n^l}}]}, \ \frac{a_0}{b_0}\neq0$ - $=\begin{cases}\infty&k\gt{l}\\frac{a_0}{b_0}&k=l\0&k\lt{l}\end{cases}$
- 无穷量运算类型
- 确定型：
- 待定型：
- 无穷量运算法则
- Stolz Theorm
${y_n}严格单增, \ lim_{n\to\infty}{y_n}={+\infty}: \ lim_{n\to\infty}{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}=a, \ (a\in{R}, \ a=+\infty, \ a=-\infty) \to \ lim_{n\to\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=a$ -
- （例）$lim_{n\to\infty}{\frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{n^{k+1}}}$
- （例）$lim_{n\to\infty}{a_n}=a, \ lim_{n\to\infty}{\frac{a_1+2a_2+3a_3+...+na_n}{n^2}}$
- Stolz Theorm
- 无穷量定义
- 闭区间套定理
- 实数集不可列定理 （实数系的连续性）
- 子列*
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=19&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 子列定义：
$x_{n_k}, \ n_k\gt{n_{k-1}} \ k\in{N}, \ n_k\in{N}$
- 子数列性质：
- 子数列收敛的继承性
-
$lim_{n\to\infty}{x_n}=a\to lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=a$ - （证） $\begin{cases}\because lim_{n\to\infty}{x_n}=a, \ a\in{R}\to \forall\varepsilon\gt0,\exists{N_0}\in{N}, \forall n\gt{N_0}, \vert x_n - a \vert \lt \varepsilon\\therefore\exists K_0\in{N}, \ \forall{k}\gt{K_0}, \ n_k\gt{N_0}\to\vert x_{n_k} - a \vert \lt\varepsilon\end{cases}$
- （推论）反过来，考虑式子的逆否命题：若存在两个子列收敛结果不相等，则原数列不收敛
- （例）$\text{证}\sin{\frac{n\pi}{4}}\text{发散}$
-
- 致密性定理（Bolzano-weierstrass Theorem）
- 有界数列不一定收敛，但是有界数列必有收敛子列
- 无界数列必有发散子列
- 有界数列不一定收敛，但是有界数列必有收敛子列
- 子数列收敛的继承性
- 基本数列*
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=20&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 定义：$\forall\varepsilon\gt0, \ \vert{a_n}-{a_m}\vert\lt\varepsilon, \ \forall n,m\in{N}$
- （例）$a_n=(1+\frac{1}{(2)^2}+\frac{1}{(3)^2}+...+\frac{1}{(n)^2})$
$\text{设}m\gt{n}, \ {a_m-a_n}=(1+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(m)^2})\lt(1+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(m-1)(m)})\lt\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\lt\frac{1}{n}$ $\therefore\forall\varepsilon, \ \exists{N=[\frac{1}{\varepsilon}]}, \ \forall{m\gt{n}\gt{N}}, \ \vert{a_n}-{a_m}\vert\lt\frac{1}{n}\lt\varepsilon\to{a_n}\text{是基本数列}$
- （例）$a_n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})$
$\text{设}m\gt{n}, \text{不妨令}m=2n, \ a_m-a_n=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{m})\gt{(m-n)}(\frac{1}{m}+\frac{1}{m}+...+\frac{1}{m})=\frac{1}{2}$ $\therefore\forall\varepsilon, \ \vert{a_n}-{a_m}\vert\not\lt\varepsilon\to{a_n}\text{不是基本数列}$
- Cauchy收敛原则 (实数系完备性)
${a_n}\text{收敛}\iff{a_n}\text{是基本数列}$ $lim_{n\to\infty}{a_n}=A, \ A\in{R} \iff \forall\varepsilon\gt0, \ \exists{N}, \ \forall{n,m\gt{N}}\to\vert{a_n}-{a_m}\vert\lt\varepsilon, \ \forall n,m\in{N}$ - （证）
- 必要性：
- 充分性：
- 必要性：
- （例）$\vert{x_{n+1}-x_{n}}\vert\lt{k}\lt\vert{x_n}-{x_{n-1}}\vert\text{（数列满足压缩性）}\to\text{数列收敛}$
- https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=21&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 以下定理是相互等价的，它们共同称为实数系的基本定理：
- 确界存在定理
- 单调有界数列收敛定理
- 闭区间套定理
- 致密性定理（Bolzano-weierstrass Theorem）
- Cauchy收敛原则
- 证明：$\text{Cauchy收敛原则}\iff\text{闭区间套定理}$
- tbd..
↗ Set Theory & Axiomatic Set Theory
- ↗ Relation & Order Theory ↗ Combinatorics (Combinatorial Mathematics) ↗ Elementary Theory of Numbers
↗ Relation & Order Theory ↗ Computability (Recursion) Theory - Turing Machine and R.E. Language