Topology

[TOC]

Res

🔗 https://thzt.github.io/2018/02/09/semantics-7/

拓扑学，被人们戏称橡皮膜上的几何学，它主要研究在连续变换下保持不变的几何性质，例如，连通性和紧致性。

这里我们先不展开，主要看一下在拓扑学中是怎么建立数学结构的。

子集族 设$X$是一个非空集合，$2^X$是$X$的幂集（所有子集构成的集合），把$2^X$的子集（即以$X$的一部分子集为成员的集合）称为$X$的子集族。

拓扑空间 设$X$是一个非空集合，$X$的一个子集族$τ$称为$X$的一个拓扑，如果它满足（1）$X$和$∅$都包含在$τ$中（2）$τ$中任意多个成员的并集仍在$τ$中（3）$τ$中有限多个成员的交集仍在$τ$中

集合$X$和它的一个拓扑$τ$一起称为一个拓扑空间，记作$(X,τ)$。称$τ$中的成员为这个拓扑空间的开集。

从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。

连续映射 设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间，$f : X \to Y$ 是一个映射。 $x \in X$，如果对于包含 $f(x) \in Y$ 的每一个开集 $V$，必存在包含 $x$ 的开集 $U$，使得 $f(U) \subseteq V$，我们就说 $f$ 在 $x$ 处连续。

如果映射 $f : X \to Y$ 在任一点 $x \in X$ 都连续，则说 $f$ 是连续映射。

同胚映射 如果 $f : X \to Y$ 是双射，并且 $f$ 及其逆 $f^{-1} : Y \to X$ 都是连续的，则称 $f$ 是一个同胚映射，简称同胚。

当存在 $X$ 到 $Y$ 的同胚映射时，就称 $X$ 与 $Y$ 同胚，记作 $X \cong Y$。

[!IMPORTANT] 注意同胚映射中条件 $f^{-1}$ 连续不可忽视，它不能从双射和 $f$ 的连续性推导出来。