原文：
www.kdnuggets.com/2023/03/distance-metrics-euclidean-manhattan-minkowski-oh.html
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如果你对机器学习很熟悉，你会知道数据集中的数据点和随后工程化的特征都是 n 维空间中的点（或向量）。
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任何两个点之间的距离也反映了它们之间的相似性。监督学习算法如 K 最近邻（KNN）和聚类算法如 K 均值聚类使用距离度量的概念来捕捉数据点之间的相似性。
在聚类中，评估的距离度量用于将数据点分组。而在 KNN 中，该距离度量用于找到与给定数据点最近的 K 个点。
在这篇文章中，我们将回顾距离度量的属性，然后查看最常用的距离度量：欧几里得距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离。接着我们将介绍如何使用 scipy 模块中的内置函数在 Python 中计算这些距离。
我们开始吧！
在我们学习各种距离度量之前，让我们回顾一下度量空间中任何距离度量应满足的属性 [1]：
如果x和y是度量空间中的两点，则x和y之间的距离应等于y和x之间的距离。
距离应始终为非负值。这意味着它应大于或等于零。
只有当x和y表示同一点时，即x = y，上述不等式才成立（d(x,y) = 0）。
给定三点x、y和z，距离度量应满足三角不等式：
欧几里得距离是度量空间中任意两点之间的最短距离。考虑两个点x和y，它们在二维平面上的坐标分别为 (x1, x2) 和 (y1, y2)。
点x和y之间的欧几里得距离如图所示：
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这个距离由两个点的相应坐标之间的平方差的和的平方根给出。在数学上，二维平面中点x和y之间的欧几里得距离为：
扩展到 n 维，点x和y的形式为x = (x1, x2, …, xn) 和 y = (y1, y2, …, yn)，我们有以下欧几里得距离方程：
文章中提到的欧几里得距离和其他距离度量可以使用 SciPy 中spatial模块的便利函数进行计算。
首先，让我们从 Scipy 的spatial模块中导入distance：
from scipy.spatial import distance然后我们初始化两个点x和y如下：
x = [3,6,9]
y = [1,0,1]我们可以使用euclidean便利函数来找到点x和y之间的欧几里得距离：
print(distance.euclidean(x,y))
Output >> 10.198039027185569曼哈顿距离，也称为出租车距离或城市街区距离，是另一种流行的距离度量。假设你在一个二维平面内，并且只能沿着如图所示的轴移动：
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点x和y之间的曼哈顿距离由下式给出：
在 n 维空间中，每个点都有 n 个坐标，曼哈顿距离由下式给出：
尽管曼哈顿距离不会给出任何两个给定点之间的最短距离，但在特征点位于高维空间中的应用中，它通常是首选的[3]。
我们保留之前示例中的导入和 x、y：
from scipy.spatial import distance
x = [3,6,9]
y = [1,0,1]要计算曼哈顿（或城市街区）距离，我们可以使用cityblock函数：
print(distance.cityblock(x,y))
Output >> 16以德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基 [2] 的名字命名，闵可夫斯基距离在一个规范向量空间中的计算方法为：
很容易看出，当p = 1时，闵可夫斯基距离方程与曼哈顿距离的形式相同：
同样，对于 p = 2，Minkowski 距离等同于欧几里得距离：
让我们计算点 x 和 y 之间的 Minkowski 距离：
from scipy.spatial import distance
x = [3,6,9]
y = [1,0,1]除了需要计算距离的点（数组）之外，计算距离的 minkowski 函数还需要参数 p：
print(distance.minkowski(x,y,p=3))
Output >> 9.028714870948003为了验证当 p = 1 时 Minkowski 距离是否等于曼哈顿距离，我们可以调用 minkowski 函数，将 p 设置为 1：
print(distance.minkowski(x,y,p=1))
Output >> 16.0让我们还验证一下 p = 2 时的 Minkowski 距离是否等于我们之前计算的欧几里得距离：
print(distance.minkowski(x,y,p=2))
Output >> 10.198039027185569这就是全部了！如果你熟悉规范向量空间，你应该能看到这里讨论的距离度量与 Lp 范数之间的相似性。欧几里得、曼哈顿和 Minkowski 距离等同于规范向量空间中差异向量的 L2、L1 和 Lp 范数。
本教程到此为止。我希望你现在对常见的距离度量有所了解。下一步，你可以尝试在训练机器学习算法时使用你学到的不同度量。
如果你想开始学习数据科学，可以查看这个学习数据科学的 GitHub 仓库列表。祝学习愉快！
[1] 度量空间，Wolfram Mathworld
[2] Minkowski 距离，维基百科
[3] 高维空间中距离度量的惊人行为，CC Agarwal 等
[4] SciPy 距离函数，SciPy 文档
Bala Priya C 是一名技术写作人员，喜欢创建长篇内容。她的兴趣领域包括数学、编程和数据科学。她通过撰写教程、操作指南等方式与开发者社区分享她的学习成果。