README.md

Documentation du Programme JeuDebarre.m

Description

Le programme JeuDebarre.m est un script MATLAB conçu pour analyser la déformation et les contraintes dans une barre rectangulaire soumise à une force électromagnétique. Il utilise la méthode des éléments finis (FEM) via la boîte à outils PDE de MATLAB pour modéliser un problème de flexion statique en 3D. Le script compare les résultats numériques avec des solutions analytiques pour valider la précision du modèle.

Le programme simule un "jeu de barres" (beam deflection) sous l'effet d'une force de Laplace générée par un courant électrique élevé (62.5 kA), typique dans des applications électromagnétiques comme les interrupteurs ou les systèmes de propulsion.

Résultats visuels de la simulation

Voici les principaux rendus issus de notre code MATLAB (Toolbox PDE) pour un courant de crête de 62,5 kA.

1. Discrétisation spatiale (Maillage haute densité)

Pour capturer avec précision les gradients de contrainte, notamment aux encastrements, nous avons généré un maillage tétraédrique quadratique composé de 32 227 nœuds.

2. Cartographie 3D de Von Mises

La visualisation 3D montre la répartition de la contrainte équivalente de Von Mises $\sigma_{VM}$. Le pic de 780,99 MPa est localisé aux points de fixation, dépassant largement la limite élastique du cuivre (250 MPa).

3. Évolution des contraintes sur la face supérieure

Ce graphique compare les composantes du tenseur des contraintes ($\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$) le long de la barre. La corrélation avec la solution analytique de Timoshenko est excellente.

Prérequis

• MATLAB : Version 2024B ou supérieure (nécessaire pour la compatibilité avec les fonctions PDE Toolbox utilisées, telles que createpde, structuralProperties, etc.).
• Boîtes à outils MATLAB requises :
  • PDE Toolbox (pour la modélisation FEM).
  • Statistics and Machine Learning Toolbox (si nécessaire pour des analyses avancées, mais pas explicitement utilisé ici).

Assurez-vous que MATLAB est installé et configuré correctement. Le script utilise des fonctions introduites ou stabilisées dans MATLAB 2024B.

Installation et Utilisation

1. Téléchargez ou copiez le fichier JeuDebarre.m dans votre répertoire de travail MATLAB.
2. Ouvrez MATLAB et naviguez vers le répertoire contenant le fichier.
3. Exécutez le script en tapant JeuDebarre dans la fenêtre de commande MATLAB.

Le script s'exécute automatiquement et affiche un rapport détaillé dans la console. Il génère également des figures pour visualiser le maillage et les contraintes.

Paramètres du Système

Les paramètres physiques et géométriques sont définis au début du script :

• L = 0.5 : Longueur de la barre (m).
• W = 0.05 : Largeur de la barre (m).
• H = 0.005 : Hauteur de la barre (m).
• E = 110e9 : Module d'Young (Pa).
• nu = 0.34 : Coefficient de Poisson.
• rho = 8960 : Masse volumique (kg/m³).
• Ipeak = 62500 : Pic de courant (A).
• d = 0.1 : Distance (m, utilisée pour calculer la force de Laplace).
• mu0 = 4*pi*1e-7 : Perméabilité magnétique du vide (H/m).

La force de Laplace q est calculée comme q = (mu0 / (2*pi*d)) * Ipeak^2, et la pression appliquée est pression = q / W.

Étapes du Programme

1. Paramètres du Système : Définition des constantes physiques et géométriques.
2. Construction du Modèle FEM :
   • Création d'un modèle PDE structural statique.
   • Géométrie : Un cuboïde multicouche.
   • Propriétés structurales : Module d'Young, Poisson, densité.
   • Conditions aux limites : Faces fixes (faces 5 et 3).
   • Charge : Traction de surface sur la face 2 (pression négative en z).
3. Maillage et Résolution :
   • Génération d'un maillage avec Hmax = 0.004 et ordre géométrique quadratique.
   • Résolution du modèle pour obtenir déplacements et contraintes.
4. Calcul Manuel de Von Mises : Calcul de la contrainte de Von Mises sur toute la géométrie.
5. Extraction des Données Clés :
   • Déplacement maximal en z (delta_FEM).
   • Contraintes interpolées au point central (face supérieure).
   • Contrainte de Von Mises au centre.
6. Calculs Analytiques :
   • Flèche analytique (delta_ana) basée sur la théorie des poutres.
   • Moment maximal et contrainte d'Euler.
   • Contrainte corrigée avec coefficient de Timoshenko (k_timo = 0.65).
7. Rapport dans la Console : Affichage détaillé des résultats, erreurs relatives, et verdict sur la plasticité.
8. Figures :
   • Figure 1 : Visualisation du maillage volumique.
   • Figure 2 : Contraintes longitudinales (σ_xx) et Von Mises en 3D.

Sorties

• Console : Rapport technique incluant :
  • Données d'entrée (force linéique, pression).
  • Résultats de flexion (flèches analytique et FEM, erreur).
  • Analyse des contraintes (σ_xx, σ_yy, σ_zz, erreurs).
  • Critère de plasticité (Von Mises max vs. limite élastique de 250 MPa).
  • Verdict : Déformation plastique détectée ou structure conforme.
• Figures MATLAB :
  • Maillage 3D.
  • Cartes de couleurs pour σ_xx et Von Mises.

Validation et Précision

Le script compare les résultats FEM avec des solutions analytiques pour valider la modélisation. Les erreurs relatives sont calculées pour la flèche et les contraintes. Un coefficient correcteur de Timoshenko est appliqué pour améliorer l'accord avec les théories classiques.

Limitations

• Modèle 3D simplifié : Ne tient pas compte des effets non-linéaires ou dynamiques.
• Matériau élastique : Suppose un comportement linéaire élastique.
• Maillage : La finesse (Hmax = 0.004) peut être ajustée pour plus de précision, mais augmente le temps de calcul.

Auteur et Version

Auteur : TCHONDO Tchosso

Version : 1.0.0 (Stable - Validation MEF)

Date : 16 Mars 2026

Pour toute question relative au modèle MATLAB ou au rapport LaTeX, contactez l'auteur via GitHub.

Licence

Ce projet est sous licence MIT. Vous êtes libre de l'utiliser, de le modifier et de le partager, à condition de citer les auteurs originaux.