math_model.md

Математическая модель самодельного дозиметра-радиометра на базе Arduino и ДП-5В

1. Назначение модели

Документ описывает математическую модель обработки импульсов гейгеровского счётчика ДП-5В, реализованную в прошивке Arduino. Модель используется для оценки скорости счёта, мощности дозы, накопленной дозы и статистической погрешности измерений.

---

2. Физическая основа измерений

Регистрация ионизирующего излучения рассматривается как пуассоновский процесс, в котором каждый импульс соответствует одному акту регистрации частицы гейгеровским счётчиком.

---

3. Обозначения

Обозначение	Описание
N(t)	Общее число зарегистрированных импульсов к моменту времени t
nₖ	Число импульсов за секунду k
Tᵥ	Длительность скользящего окна, с
CPS	Средняя скорость счёта (counts per second)
Ḋ	Мощность дозы, µSv/h
D	Накопленная доза, µSv
τᵈ	Мёртвое время счётчика
kµ	Коэффициент пересчёта CPS → µSv/h
kᴮ⁸	Коэффициент пересчёта CPS → Б-8
ε	Относительная статистическая погрешность, %

---

4. Мёртвое время счётчика

Вводится программное мёртвое время:

$$ \tau_d = 20\ \text{мс} $$

Импульс учитывается только при выполнении условия:

$$ t_i - t_{i-1} > \tau_d $$

Данная модель соответствует непарализуемому счётчику.

---

5. Подсчёт импульсов по секундам

Количество импульсов, зарегистрированных за секунду k, определяется как:

$$ n_k = N(k) - N(k-1) $$

---

6. Оценка скорости счёта (CPS)

Для уменьшения статистического шума используется скользящее окно усреднения длительностью:

$$ T_w = 30\ \text{с} $$

Средняя скорость счёта:

$$ \text{CPS}_k = \frac{1}{T_w} \sum_{i=k-T_w+1}^{k} n_i $$

---

7. Расчёт мощности дозы

Пересчёт скорости счёта в мощность дозы выполняется с использованием калибровочного коэффициента:

$$ k_\mu = 0.34\ \frac{\text{µSv}}{\text{h·CPS}} $$

Мощность дозы:

$$ \dot{D}_k = k_\mu \cdot \text{CPS}_k $$

---

8. Накопление дозы

Накопленная доза вычисляется дискретным интегрированием мощности дозы во времени:

$$ D_{k+1} = D_k + \frac{\dot{D}_k}{3600} $$

Данная формула является дискретным аналогом интеграла:

$$ D(t) = \int_0^t \dot{D}(\tau), d\tau $$

---

9. Эквивалент Б-8

Для отображения показаний в условных единицах Б-8 используется линейный пересчёт:

$$ B8_k = \text{CPS}_k \cdot k_{B8} $$

где:

$$ k_{B8} = 60 $$

---

10. Статистическая погрешность измерений

Для пуассоновского процесса стандартное отклонение определяется как:

$$ \sigma_N = \sqrt{N} $$

Относительная статистическая погрешность (%), вычисляемая по числу импульсов в окне усреднения:

$$ \varepsilon_k = \frac{100}{\sqrt{ \sum_{i=k-T_w+1}^{k} n_i }} $$

---

11. Итоговая математическая модель

$$ \begin{aligned} n_k &= N(k) - N(k-1) \\ \text{CPS}_k &= \frac{1}{T_w}\sum n_k \\ \dot{D}_k &= k_\mu,\text{CPS}_k \\ D_{k+1} &= D_k + \frac{\dot{D}_k}{3600} \\ \varepsilon_k &= \frac{100}{\sqrt{\sum n_k}} \end{aligned} $$

---

12. Связь с реализацией прошивки

Математическая величина	Переменная в коде
nₖ (импульсы за секунду)	pulsesThisSecond
Скользящее окно (30 с)	cpsBuffer[30]
CPS	cps
Ḋ (мощность дозы)	doseRate_uSv
D (накопленная доза)	accumulatedDose_uSv
ε (стат. погрешность)	errorPercent

---

13. Примечания

• Все формулы приведены в виде, корректно отображаемом GitHub (MathJax).
• Модель полностью соответствует текущей реализации прошивки и не изменяет алгоритм измерений.