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<title>Resolución de ecuaciones cuadráticas modulares</title>
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<div id="skip"><a href="#main">Ir al contenido principal</a></div>
<nav aria-label="Navegación principal">
<ul role="menubar">
<li role="menuitem" aria-haspopup="true" aria-expanded="false" tabindex="0">Electrónica
<ul role="menu" class="alignleft popup">
<li role="menuitem"><a href="INTEL.HTM" title="Todos los microprocesadores de Intel desde el 4004 al Pentium">Microprocesadores Intel</a></li>
</ul>
</li>
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</ul>
<ul class="atright"><li><a href="QUADMOD.HTM" hreflang="en" title="This Web page in English">ENG</a></li></ul>
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<main id="main">
<article>
<h1>Resolución de ecuaciones cuadráticas modulares</h1>
<ol class="bread" vocab="https://schema.org/" typeof="BreadcrumbList">
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<a property="item" typeof="WebPage" href="/"><span property="name">Alpertron</span></a>
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</li>
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<span property="name">Resolución de ecuaciones cuadráticas modulares</span>
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</li>
</ol>
<noscript><p><strong>La calculadora no funciona con Javascript deshabilitado. Por favor revise la configuración de su navegador.</strong></p></noscript>
<div class="applet" id="valueapp">
<div id="equation">
<var>a</var>⁢<var>x</var>² + <var>b</var>⁢<var>x</var> + <var>c</var> ≡ 0 (mod <var>n</var>)
</div>
<div id="inputs">
<label for="quad">a</label> <input type="text" id="quad" inputmode="numeric" value="" class="input" aria-label="Quadratic coefficient">
<div class="lf"></div>
<label for="lin">b</label> <input type="text" id="lin" inputmode="numeric" value="" class="input" aria-label="Linear coefficient">
<div class="lf"></div>
<label for="const">c</label> <input type="text" id="const" inputmode="numeric" value="" class="input" aria-label="Constant coefficient">
<div class="lf"></div>
<label for="mod">n</label> <input type="text" id="mod" inputmode="numeric" value="" class="input">
</div>
<fieldset id="actions"><legend>Acciones</legend>
<div class="actbtn">
<button type="button" id="solve" title="Obtener los valores de x">Resolver</button>
<button type="button" id="stop" title="Detener el cálculo">Detener</button>
<button type="button" id="helpbtn" title="Leer información sobre esta calculadora">Ayuda</button>
<button type="button" id="config" title="Cambiar los parámetros de uso de la aplicación">Config</button>
<button type="button" id="clrinput" title="Limpiar las cajas de entrada">Borrar<br>entrada</button>
</div>
</fieldset>
<fieldset id="functions"><legend>Funciones</legend>
<div>
<label for="funccat">Categorías:</label>
<select id="funccat">
<optgroup label="Funciones u operadores">
<option value="0" selected>Matemática básica</option>
<option value="1">Comparaciones</option>
<option value="2">Lógica</option>
<option value="3">Divisibilidad</option>
<option value="4">Matemática recreativa</option>
<option value="5">Teoría de números</option>
<option value="6">Otros</option>
</optgroup>
</select>
</div>
<div id="funcbtns" class="funcbtns">
<button type="button">(</button><button type="button">)</button><button type="button">+</button><button type="button">-</button><button type="button">*</button><button type="button">/</button><button type="button">%</button><button type="button">^</button><button type="button">ans</button><button type="button">sqrt(</button><button type="button">iroot(</button><button type="button">Random(</button><button type="button">Abs(</button><button type="button">Sign(</button>
</div>
</fieldset>
</div>
<div id="help" aria-live="polite">
<p>Esta aplicación Web resuelve ecuaciones de la forma <strong><var>a</var>⁢<var>x</var>² + <var>b</var>⁢<var>x</var> + <var>c</var> ≡ 0 (mod <var>n</var>)</strong> donde la incógnita entera <var>x</var> se encuentra en el rango 0 ≤ <var>x</var> < <var>n</var>. En particular, puede hallar raíces cuadradas modulares si ingresa <var>a</var> = -1, <var>b</var> = 0, <var>c</var> = <span class="i">número cuya raíz se desea hallar</span> y <var>n</var> = <var>módulo</var>.</p>
<p>El programa acepta números de hasta 10000 dígitos, pero se debe factorizar el módulo <var>n</var> (algunos números grandes no se pueden factorizar en un tiempo razonable). El motor de factorización utilizado es el de la aplicación de <a href="ECM.HTM">factorización de números enteros</a>, que usa los métodos ECM y SIQS.</p>
<p>Cuando <var>a</var> no es cero, la cantidad de soluciones depende de la cantidad de factores primos distintos del módulo, así que si el módulo tiene muchos factores primos pequeños (más de 14), el programa se puede quedar sin memoria y no mostrará ninguna solución.</p>
<h2>Expresiones</h2>
<p>Puedes ingresar expresiones que usen los siguientes operadores y paréntesis:</p>
<ul>
<li> + para suma</li>
<li> - para resta</li>
<li> * para multiplicación</li>
<li> / para división entera</li>
<li> % para el resto de la división entera</li>
<li> ^ o ** para exponenciación (el exponente debe ser mayor o igual que cero).</li>
<li> <strong><</strong>, <strong>==</strong>, <strong>></strong>; <strong><=</strong>, <strong>>=</strong>, != para comparaciones. Los operadores devuelven cero si es falso y -1 si es verdadero.</li>
<li> <strong>Ans</strong>: obtiene la última respuesta.</li>
<li> <strong>AND</strong>, <strong>OR</strong>, <strong>XOR</strong>, <strong>NOT</strong> para lógica binaria. Las operaciones se hacen en binario (base 2). Se agregan infinitos ceros (unos) a la izquerda de los números positivos (negativos).</li>
<li> <strong>SHL</strong> o <strong><<</strong>: Si <var>b</var> ≥ 0, <var>a</var> SHL <var>b</var> desplaza el valor <var>a</var> a la izquierda la cantidad de bits especificada por <var>b</var>. Esto equivale a <var>a</var> × 2<sup><var>b</var></sup>. En caso contrario, <var>a</var> SHL <var>b</var> desplaza el valor <var>a</var> a la derecha la cantidad de bits especificada por −<var>b</var>. Esto equivale a floor(<var>a</var> / 2<sup>−<var>b</var></sup>). Ejemplo: 5 SHL 3 = 40.</li>
<li> <strong>SHR</strong> o <strong>>></strong>: Si <var>b</var> ≥ 0, <var>a</var> SHR <var>b</var> desplaza el valor <var>a</var> a la derecha la cantidad de bits especificada por <var>b</var>. Esto equivale a floor(<var>a</var> / 2<sup><var>b</var></sup>). En caso contrario, <var>a</var> SHR <var>b</var> desplaza el valor <var>a</var> a la izquierda la cantidad de bits especificada por −<var>b</var>. Esto equivale a <var>a</var> × 2<sup>−<var>b</var></sup>. Ejemplo: -19 SHR 2 = -5.</li>
<li> <strong>n!</strong>: factorial (<var>n</var> debe ser mayor o igual que cero). Ejemplo: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720.</li>
<li> <strong>n!! ... !</strong>: factorial múltiple (<var>n</var> debe ser mayor o igual que cero). Es el producto de <var>n</var> por <var>n</var> − <var>k</var> por <var>n</var> − <var>2k</var> ... (todos los números son mayores que cero) donde <var>k</var> es la cantidad de signos de exclamación. Ejemplo: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105.</li>
<li> <strong>p#</strong>: primorial (producto de todos los primos menores o iguales a <var>p</var>). Ejemplo: 12# = 11 × 7 × 5 × 3 × 2 = 2310.</li>
<li> <strong>B(n)</strong>: Número probablemente primo anterior a <var>n</var>. Ejemplo: B(24) = 23.</li>
<li> <strong>F(n)</strong>: Número de Fibonacci F<sub>n</sub> que corresponde a la secuencia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. donde cada elemento es igual a la suma de los dos anteriores. Ejemplo: F(7) = 13.</li>
<li> <strong>L(n)</strong>: Número de Lucas L<sub>n</sub> = F<sub><var>n</var>-1</sub> + F<sub><var>n</var>+1</sub></li>
<li> <strong>N(n)</strong>: Número probablemente primo posterior a <var>n</var>. Ejemplo: N(24) = 29.</li>
<li> <strong>P(n)</strong>: particiones irrestrictas (cantidad de descomposiciones de <var>n</var> en sumas de números enteros sin tener en cuenta el orden). Ejemplo: P(4) = 5 porque el número 4 se puede particionar de 5 formas distintas: 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1.</li>
<li> <strong>Gcd(m,n, ...)</strong>: Máximo común divisor de estos números enteros. Ejemplo: GCD(12,16) = 4.</li>
<li> <strong>Lcm(m,n, ...)</strong>: Mínimo común múltiplo de estos números enteros. Ejemplo: LCM(12,16,24) = 48.</li>
<li> <strong>FloorDiv(m,n)</strong>: parte entera del cociente de <var>m</var> dividido por <var>n</var>. Ejemplos: floordiv(10, 7) = 1 y floordiv(-10, 7) = -2.</li>
<li> <strong>Mod(m,n)</strong>: valor de <var>m</var> módulo el valor absoluto de <var>n</var>. Ejemplos: Mod(10, 7) = 3 y Mod(-10, 7) = 4.</li><li> <strong>Modinv(m,n)</strong>: inverso de <var>m</var> modulo <var>n</var>, sólo válido cuando <var>m</var> y <var>n</var> son coprimos, es decir que no tienen factores en común. Ejemplo: Modinv(3,7) = 5 porque 3 × 5 ≡ 1 (mod 7)</li>
<li> <strong>Modinv(m,n)</strong>: inverso de <var>m</var> módulo <var>n</var>, sólo válido cuando <var>m</var> y <var>n</var> son coprimos, es decir que no tienen factores en común. Ejemplo: Modinv(3,7) = 5 porque 3 × 5 ≡ 1 (mod 7)</li>
<li> <strong>Modpow(m,n,r)</strong>: halla <var>m</var><sup><var>n</var></sup> módulo <var>r</var>. Ejemplo: Modpow(3, 4, 7) = 4, porque 3<sup>4</sup> ≡ 4 (mod 7).</li>
<li> <strong>Totient(n)</strong>: cantidad de enteros positivos menores que <var>n</var> coprimos con <var>n</var>. Ejemplo: Totient(6) = 2 porque 1 y 5 no tienen factores en común con 6.</li>
<li> <strong>Jacobi(m,n)</strong>: obtiene el símbolo de Jacobi de <var>m</var> y <var>n</var>. Cuando el segundo argumento es primo, el resultado es cero si <var>m</var> es múltiplo de <var>n</var>, es uno si hay una solución a <var>x</var>² ≡ <var>m</var> (mód <var>n</var>) y es igual a −1 cuando la congruencia mencionada no tiene soluciones.</li>
<li> <strong>Random(m,n)</strong>: número entero aleatorio entre <var>m</var> y <var>n</var>.</li>
<li> <strong>Abs(n)</strong>: valor absoluto de <var>n</var>.</li>
<li> <strong>Sign(n)</strong>: retorna cero si <var>n</var> es zero, −1 si es negativo o 1 si es positivo.</li>
<li> <strong>IsPrime(n)</strong>: retorna cero si <var>n</var> no es un primo probable y −1 si lo es. Ejemplo: IsPrime(5) = −1.</li>
<li> <strong>Sqrt(n)</strong>: parte entera de la raíz cuadrada del argumento.</li>
<li> <strong>Iroot(n,r)</strong>: Raíz r-ésima entera del primer argumento. Ejemplo: Iroot(8, 3) = 2.</li>
<li> <strong>NumDigits(n,r)</strong>: cantidad de dígitos de <var>n</var> en base <var>r</var>. Ejemplo: NumDigits(13, 2) = 4 porque 13 en binario (base 2) se expresa como 1101.</li>
<li> <strong>SumDigits(n,r)</strong>: suma de dígitos de <var>n</var> en base <var>r</var>. Ejemplo: SumDigits(213, 10) = 6 porque la suma de los dígitos expresados en decimal es 2+1+3 = 6.</li>
<li> <strong>RevDigits(n,r)</strong>: halla el valor que se obtiene escribiendo para atrás los dígitos de <var>n</var> en base <var>r</var>. Ejemplo: RevDigits(213, 10) = 312.</li>
</ul>
<p>Puedes usar el prefijo <em>0x</em> para números hexadecimales, por ejemplo 0x38 es igual a 56.</p>
<div class="noand">
<h2>Configuración</h2>
<p>Puedes cambiar la configuración de esta aplicación apretando el botón <strong>Config</strong> mientras el programa no está factorizando. En ese momento aparecerá una nueva ventana donde puedes seleccionar los siguientes ajustes:</p>
<ul>
<li><strong>Dígitos por grupo</strong>: Para mejorar la legibilidad, los números grandes se separan mediante espacios formando grupos de una cantidad fija de dígitos. Con esta caja de entrada, puedes determinar la cantidad de dígitos por grupo.</li>
<li><strong>Teclado</strong>: Esto permite que el usuario seleccione entre el teclado virtual númerico o completo (alfanumérico). El teclado virtual aparece en la pantalla cuando el usuario selecciona una caja de entrada en pantallas táctiles.</li>
</ul>
<p>La configuración se almacena en tu dispositivo, así que si arrancas nuevamente la calculadora, los ajustes no se modificarán.</p>
<h2>Código fuente</h2>
<p>Puedes bajar el código fuente de esta aplicación y del viejo applet de ecuaciones cuadráticas modulares desde <a href="https://github.com/alpertron/calculators">GitHub</a>. El código fuente está escrito en lenguaje C, por lo que es necesario <a href="https://emscripten.org/docs/getting_started/downloads.html">Emscripten</a> para generar JavaScript.</p>
</div>
<p>Escrito por Dario Alpern. Actualizado el 8 de marzo de 2025.</p>
</div>
<div id="result" aria-live="polite"></div>
<div id="footer">
<p><span class="new">¡Nuevo!</span> Puedes instalar una aplicación para Android que incluye esta calculadora desde <a href="https://play.google.com/store/apps/details?id=ar.com.alpertron.calculators">Google Play</a>.</p>
<p>Si encuentra algún error o tiene algún comentario, por favor llene el <a href="#" id="formlink">formulario</a>.</p>
<p>Si le gustan estas calculadoras y desea soportar el software libre sin propagandas molestas, puede <a href="https://www.PayPal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=MR65QPWZM5JT6&source=url&locale.x=es_ES">donar a través de PayPal</a>.</p>
</div>
</article>
</main>
<div id="modal-config" class="modal" role="dialog" aria-labelledby="conf">
<div class="modal-content">
<div class="modal-header"><span id="close-config" aria-label="close" class="atright">×</span><p id="conf">Configuración</p></div>
<div class="modal-body">
<div class="applet">
<fieldset>
<legend>Parámetros de configuración</legend>
<p><label for="digits">Dígitos por grupo</label> <input type="number" id="digits" value="6" min="0" max="10000" step="1"></p>
<p><label for="kbd">Teclado: </label><select id="kbd"><option value="numeric">Numérico</option><option value="comp">Completo</option></select>
</fieldset>
<p><button type="button" id="save-config" title="Almacenar la nueva configuración">Aceptar</button>
<button type="button" id="cancel-config" title="Descartar los cambios hechos a la configuración">Cancelar</button></p>
</div>
</div></div></div>
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<h2 class="h2title">Formulario de comentarios</h2>
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<div class="labels"><label for="city">Ciudad:</label><input class="inputfbck" type="text" name="city" maxlength="70" id="city" autocomplete="address-level2"></div>
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