296: 手动算根号

Author: ascoders

helper.js

@@ -16,6 +16,7 @@ const dirs = [
   "可视化搭建",
   "SQL",
   "机器学习",
+  "数学之美",
   "生活",
 ];
 

readme.md

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 前端界的好文精读，每周更新！
 
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 素材来源：[周刊参考池](https://github.com/ascoders/weekly/issues/2)
 
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数学之美/296.手动算根号.md

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+这是数学专栏的第一篇文章，数学专栏会记录我对数学相关的心得。
+
+为什么数学专栏的名字叫 “数学之美” 呢？因为数学拥有逻辑自洽的美，反之，如果体会不到美，就会觉得很枯燥。
+
+这次要介绍的手动算根号就非常能体现数学之美。
+
+## 研究问题
+
+这次研究的问题是 “如何手动算根号”。
+
+我们都知道，平方很好算，但算根号很难。虽然算根号可以通过计算器按出来，但数学上也有优雅的方法快速得到算根号的近似值，掌握了手动算根号的原理，你可以得到以下两个提升：
+
+1. 学会用心算方式算根号，不用再依赖计算器
+2. 对数学之美的感受 +100
+
+## 推导
+
+### 平方展开式
+
+首先，`a + b` 的平方展开式如下：
+
+<img width=230 src="https://github.com/user-attachments/assets/40e431e8-bc40-49e7-9c9d-1ee66e0a978e">
+
+比如我们要对 82 算根号，假设：
+
+<img width=120 src="https://github.com/user-attachments/assets/7fed8240-0fd8-44db-a58a-e2fdaa31da18">
+
+那么：
+
+<img width=125 src="https://github.com/user-attachments/assets/572ec02b-0395-4854-b7db-42e3913c0bfa">
+
+带入 `a + b` 的平方展开式：
+
+<img width=175 src="https://github.com/user-attachments/assets/7a78f52b-4a63-4198-b985-abc08722f6c2">
+
+等式左边的值已经得到，接下来如果通过某种办法求出了等式右边 `a` 和 `b`，那么根据假设的定义：
+
+<img width=120 src="https://github.com/user-attachments/assets/7fed8240-0fd8-44db-a58a-e2fdaa31da18">
+
+根号 82 的值直接就可以通过 `a + b` 得到。
+
+### 如何求出 a 和 b
+
+等式右边还是比较复杂，需要进一步简化。
+
+假设我们只寻找 `a` 远大于 `b` 的组合，那么这个组合下，`2ab` 更加远大于 `b^2`，所以可以把 `b^2` 舍去，得到：
+
+<img width=130 src="https://github.com/user-attachments/assets/aeedd33f-0569-4f38-8483-aeadb1f08c82">
+
+有突破口了，接下来思考，如果 `a` 特别大，比如等于 1 亿可以吗？
+
+假设 `a` 是特别大的正数，但 `a + b` 等于根号 82，必然导致 `b` 也是一个很大的负数，这样 `2ab` 就是负数，而 `b^2` 是一个很大的正数，就不满足 `2ab` 远大于 `b^2` 的前提条件了。
+
+所以 `a` 必须是一个尽可能大，但又要保证 `b` 依然是正数的值。
+
+根据
+
+<img width=130 src="https://github.com/user-attachments/assets/aeedd33f-0569-4f38-8483-aeadb1f08c82">
+
+我们只要找到一个数的平方接近 82，但不大于 82 的数字，作为 `a` 即可，那就是 9 的平方 81 嘛。
+
+那么 `a` 等于 9 确定下来了，易得 `b=1/18`，所以：
+
+<img width=240 src="https://github.com/user-attachments/assets/e278c303-9ee6-4355-82be-3b4e6c04dabc">
+
+按一下计算器会发现根号 82 的值是 `9.05538513814`，非常接近。
+
+## 速记
+
+根据推导结论，我们可以记住以下口诀：
+
+对于任意数字算根号，比如对数字 `n` 算根号，先找到一个数，这个数的平方最接近并小于根号内的数字，比如求根号 82，先找到 9 作为 `a`，接下来根据下面公式得到 `b`:
+
+<img width=230 src="https://github.com/user-attachments/assets/78e8891f-1106-4534-8603-2f75b281464b">
+
+最后计算 `a + b` 得到的结果就是对 n 算根号的近似值。
+
+## 无法找到较大的 a 怎么办
+
+假设计算根号 2，只能把 `a` 拆成 1，但这不满足 `a` 远大于 `b`，此时可以把数字乘以 100，这样把得到的结果除以 10 即可。
+
+比如计算根号 2，先计算根号 200。
+
+200 可以把 `a` 设定为 14（平方是 196），那么 `b` 的值为：
+
+<img width=260 src="https://github.com/user-attachments/assets/48184e29-4c21-4863-b871-b51f8df47325">
+
+那么根号 2 的值就是 `(14 + 0.142) / 10 = 1.4142`
+
+## 总结
+
+在推导过程中，数学之美体现在以下几个点：
+
+**1. 利用平方展开式**
+
+这是最本质的问题，即遇到一个难以心算根号的数字时，如果将要求的值转化为已知值的计算，问题就迎刃而解。
+
+对任意根号数字来说，其平方都很好算，以及找到最接近该数字的平方值也很好算，满足这些要素的就是平方展开式，所以利用平方展开式是最巧妙的一步。
+
+**2. 假设 `a` 远大于 `b`**
+
+如果让 `a` 远大于 `b`，可以极大简化求 `b` 的过程，虽然这也是这个方案结果是近似值的原因，但总的来说是利大于弊的。
+
+**3. 找不到极大的 `a`，就创造条件**
+
+当条件不满足拆出极大的 `a` 时，将数据乘以 100，不仅必然保证了极大 `a` 的出现，而且还利用了 100 的根号很容易计算的特性，巧妙的将人类不可解的问题转化为人类可解问题。
+
+我们通过平方展开式学到了手动对任意正数开根号，如果哪天忘记公式了，也可以根据平方展开式重新推导一遍，这样就永远不会忘记啦。
+
+