03_aula.Rmd

# Aula 3

```{r, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

```{r, echo = FALSE}
exemplo <- function(numero, exemplo, justificativa, pontos){
  header <- sprintf("\\begin{array}{|ccc|}
  \\hline
  &\\text{Exemplo %s:} \\
  & %s  \\
  & %s & \\", numero)
  
  corpo <- ""
  for(i in seq_along(pontos)){
    corpo <- paste0(corpo, " \n", sprintf("(%s)&\ %s & \\",i,pontos[i]))
  }
  
  footer <- "\\hline
  \\end{array}
  }"
  
  return(paste0(header,corpo,footer))
}
```

$$\begin{array}{|ccc|}
\hline
&
\text{Exemplo 1:}
\\
&
\Omega \neq \emptyset & \mathcal{A} = \{A  :  A \subset \Omega\} = \mathcal{P}(\Omega)
\\
&
\mathcal{A}\text{ é um álgebra, pois:} &
\\
(1)&\ \Omega \subset \Omega \implies \Omega \in \mathcal{A} & \\
(2)&\ A \in \mathcal{A} \implies A \subset \Omega &
\implies A^c \subset \Omega \implies A^c \in \mathcal{A}  \\
(3)&\ A,B \in \mathcal{A} \implies A,B \subset \Omega &
\implies A \cup B \subset \Omega \implies A \cup B \in \mathcal{A}  \\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|ccc|}
\hline
&
\text{Exemplo 1:}
\\
&
\text{Seja }(\Omega, \mathcal{F})\text{ espaço mensuravel e }
\\
& \mathbb{P}_1\text{ e }\mathbb{P}_2\text{ medidas de probab em }(\Omega, \mathcal{F})
\\
\mathbb{P}: \mathcal{F} & \rightarrow & [0,1]
\\
A & \rightarrow  & \mathbb{P}(A) = \min\{\mathbb{P}_1(A),\mathbb{P}_2(A)\}
\\
&
\mathbb{P}\text{ não é uma medida de probab, pois:} &
\\
& \mathbb{P}(\cup_{n\geq1})=\sum_{n\geq1}\mathbb{P}(A_n)\text{ não vale em geral.} \\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|ccc|}
\hline
&
\text{Exemplo 2:}
\\
&
\text{Sejam }\mathbb{P}\text{ uma medida de probabilidade em }(\Omega, \mathcal{F})\text{ e }
\\
& B \in \mathcal{F}\text{ tal que }\mathbb{P}(B)>0\text{. Defina}
\\
\mathbb{P}_B: \mathcal{F} & \rightarrow & [0,1]
\\
A & \rightarrow  & \mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}
\\
&
\mathbb{P}_B\text{ é uma medida de probabilidade, pois:} &
\\
(1) & \mathbb{P}_B(\Omega) = \frac{\mathbb{P}(\Omega \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1 \\
(2) & \text{Se }(A_n)_{n\geq 1}\in\mathcal{F}\text{ for uma seq. de eventos disjuntos, tem-se que} \\
& \mathbb{P}_B(\cup_{n=1}^\infty A_n) = \frac{\mathbb{P}((\cup_{n\geq 1}A_n)\cap B)}{\mathbb{P}(B)} & = \frac{\mathbb{P}(\cup_{n\geq 1}(A_n \cap B))}{\mathbb{P}(B)} \\
& = \sum_{n \geq 1}\frac{\mathbb{P}(A_n \cap B)}{\mathbb{P}(B)} &  \implies \mathbb{P}_B(\cup_{n \geq 1}A_n) = \sum_{n \geq 1}\mathbb{P}(A_n)\\
\hline
\end{array}$$

## Propriedades de medidas de probabilidade

1. $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$

### Demonstração

Seja $A = (A_n)_{n \geq 1}$ uma sequência tal que $A_n =  \Omega$ e $(A_n)_{n \geq 2}$ é uma sequência de conjuntos vazios. Dessa forma tem-se que $A_i \cap A_j = \emptyset$ para todo $i$ e $j$, logo $A$ é uma sequência de eventos dijuntos. Além disso, $\cup_{n \geq 1} A_n = \Omega$. Juntandos esses dois fatos e a segunda propriedade de medidas de probabilidade, definida na aula 1, temos que

$$ 1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(\cup_{n \geq 1}A_n) = \sum_{n \geq 1}\mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}(\Omega) + \sum_{n \geq 2}\mathbb{P}(\emptyset) \implies \mathbb{P}(\Omega) = 0$$
$\blacksquare$

2. Se $A = (A_i)_{n \geq i \geq 1} \in \mathcal{F}$ for uma sequência de eventos dijuntos ($A_i \cap A_j = \emptyset$ para todo $i$e $j$), tem-se que

$$ \mathbb{P}(\cup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$$
### Demonstração 

Defina $B = (B_i)_{n \geq 1}$ uma sequência tal que $B_i = A_i$ se $i$ estiver entre $1$ e $n$, mas $B_i = \emptyset$ se $i > n$. Nessas condições, pela segunda propriedade de uma medida de probabilidades tem-se que

$$\mathbb{P}(\cup_{i=1}^n A_n) = \mathbb{P}(\cup_{n \geq 1}B_i) = \sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(B_i).$$

Essa soma infinita pode ser separada em duas partes:

$$\sum_{i=1}^\infty\mathbb{P}(B_i) = \mathbb{P}(B_1) + ... + \mathbb{P}(B_n) + \mathbb{P}(B_{n+1}) + ...  $$
$$ = \mathbb{P}(A_1) + ... + \mathbb{P}(A_n) + \mathbb{P}(\emptyset) + .. = \mathbb{P}(A_1) + ... + \mathbb{P}(A_n) $$

$\blacksquare$

3. Se $A \in \mathcal{F}$, então $\mathbb{P}(A) = 1 - \mathbb{P}(A^c)$.

### Demonstração

Pela definição de $\mathcal{F}$ como uma $\sigma$-álgebra, $A_1 = A, A_2 = A^c$ são elementos de $\mathcal{F}$. Disso decorre que $A_1 \cup A_2$ também é. Além disso, $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2) = \mathbb{P}(\Omega) = 1$, mas, pela propriedade anterior, também é verdade que $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2) = \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2)$. Portanto, $\mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) = 1$.

$\blacksquare$

4. Se $A,B \in \mathcal{F}$, $B \subset A$, então $\mathbb{P}(B) \leq \mathbb{P}(A)$

### Demonstração

o conjuntos $A$ pode ser representado como $A = (A \cap B)\cup(A \cap B^c)$, e os dois elementos dessa união são dijuntos. Pela propriedade 2, demonstrada acima, tem-se que

$$ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B^c)$$

Como $B \subset A$, então $A \cap B = B$. Portanto, $ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A \cap B^c)$ e, como a segunda parcela dessa soma é não-negativa, $\mathbb{P}(A) \geq \mathbb{P}(B)$.

$\blacksquare$

5. $\mathbb{P}(A) \leq 1, \forall A \in \mathcal{F}$

### Demonstração

Todo elemento de $A \in \mathcal{F}$ está contido em $\Omega$. Por isso, pela propriedade anterior, $\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(\Omega) = 1$.

$\blacksquare$

6. Para toda sequência de eventos $(A_n)_{n \geq 1} \in \mathcal{F}$ tem-se que

$$ \mathbb{P}(\cup_{n=1}^\infty(A_n)) \leq \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(A_n)$$.

### Demonstração

Defina uma nova sequência $B = (B_n)_{n \geq 1}$ da seguinte maneira:

$$ B_1 = A_1,$$
$$ B_i = (\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i)\text{ para } i \geq 2.$$

Essa sequência é uma sequência de eventos dijuntos, pois para todo par $i,j$ há algum $k$ tal que $B_i \in A_k$ e $B_j \in A_k^c$. Além disso, $\cup_{n \geq 1} B_n =  \cup_{n \geq 1} A_n$. 

Como os elementos da sequênca $B$ são dijuntos, vale que

$$\mathbb{P}(\cup_{n=1}^\infty B_n) =  \sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(B_i) = \mathbb{P}(A_1) + \sum_{i=2}^\infty \mathbb{P}((\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i)).$$

Para concluir a resolução, basta notar que $(\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i) \subset A_i$ e, pela propriedade anterior, $\mathbb{P}((\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i) \subset A_i) \leq \mathbb{P}(A_i)$. Com essa observação, podemos dizer que $\sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}((\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i)) \leq \sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(A_i)$. Daí:

$$\mathbb{P}(\cup_{n=1}^\infty B_n) =  \sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(B_i) = \mathbb{P}(A_1) + \sum_{i=2}^\infty \mathbb{P}((\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i)) \leq + \mathbb{P}(A_1) + \sum_{i=2}^\infty \mathbb{P}(A_i)$$

$\blacksquare$

7. Se $A, B \in \mathcal{F}$, então

$$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cup B)$$.

### Demonstração

ESCREVER A PROVA DO PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO

$\blacksquare$

8. Seja $A$ uma sequência tal que $A = (A_n)_{n \geq 1}$ tal que $A_n \subset A_{n+1}$, para todo $n$, ou $A_{n+1} \subset A_n$, para todo $n$. Então

$$ \mathbb{P}(\lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb{P}(A_n)$$

### Demonstração

Vamos começar com o caso crescente. Para isso, considere a mesma sequência $B$ que foi utilizada em 6:

$$ B_1 = A_1,$$
$$ B_i = (\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c)\cap(A_i),\text{ para } i \geq 2.$$

Como $A_j \subset A_{j+1}$, tem-se que $A_{j+1}^c \subset A_j^c$ e portanto $(\cap_{j = 1}^{i-1} A_j^c) = A_{i-1}^c$. Logo, quando $A$ é uma sequência crescente, a sequência $B$ pode ser reescrita como:

$$ B_1 = A_1,$$
$$ B_i = A_{i-1}^c\cap A_i\text{ para }, i \geq 2.$$

Considerando essa discussão, podemos escrever

$$ \mathbb{P}(\lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \mathbb{P}(\cup_{n \geq 1}A_n) = \mathbb{P}(\cup_{n \geq 1}B_n) = \sum_{n \geq 1}\mathbb{P}(B_n) = \sum_{n \geq 1}\mathbb{P}(A_i \cap A_{i-1}^c).$$

O próximo passo é notar que $\mathbb{P}(A_i \cap A_{i-1}^c) = \mathbb{P}(A_i) - \mathbb{P}(A_{i-1})$. Com isso:

$$ \sum_{n \geq 1}\mathbb{P}(A_i \cap A_{i-1}^c) = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=2}^n \mathbb{P}(A_i)-\mathbb{P}(A_{i-1})$$