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<title>CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS | Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</title>
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<meta name="author" content="Hugo Naya" />
<meta name="date" content="2021-04-28" />
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<ul class="summary">
<li><a href="./">A Minimal Book Example</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Prerrequisitos</a></li>
<li class="part"><span><b>Parte I: Genómica</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="intro.html"><a href="intro.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Introducción a la Genómica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#variabilidad-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> Variabilidad genética</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#detectando-la-variabilidad-diferentes-técnicas"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1.1</b> Detectando la variabilidad: diferentes técnicas</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-composicional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Genómica composicional</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.2.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#contenido-gc-genómico-génico-correlaciones-gcskew"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2.1</b> Contenido GC genómico, génico, correlaciones, GCskew</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2.2" data-path="intro.html"><a href="intro.html#uso-de-codones"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2.2</b> Uso de codones</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2.3" data-path="intro.html"><a href="intro.html#composición-de-proteínas"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2.3</b> Composición de proteínas</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2.4" data-path="intro.html"><a href="intro.html#diferencias-en-propiedades-de-los-aas"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2.4</b> Diferencias en propiedades de los AAs</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-comparativa"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Genómica comparativa</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-funcional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Genómica funcional</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="intro.html"><a href="intro.html#ejercicios-1"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="intro.html"><a href="intro.html#ejercicio-1.1"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicio 1.1</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="intro.html"><a href="intro.html#notas-al-pie"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte II: Genética de Poblaciones</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Variación y equilibrio de Hardy-Weinberg</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#hardy-weinberg-en-especies-dioicas-dos-sexos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Hardy-Weinberg en especies dioicas (dos sexos)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#h-w-la-frecuencia-de-heterocigotas-en-función-de-la-frecuencia-alélica"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> <strong>H-W: la frecuencia de heterocigotas en función de la frecuencia alélica</strong></a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg-en-cromosomas-ligados-al-sexo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#tres-o-más-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Tres o más alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#la-estimación-de-frecuencias-y-el-equilibrio-o-no"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> La estimación de frecuencias y el equilibrio (o no)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#el-sistema-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> El sistema ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#dónde-se-esconden-los-alelos-recesivos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> ¿Dónde se “esconden” los alelos recesivos?</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#hardy-weinberg-en-especies-poliploides"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Hardy-Weinberg en especies poliploides</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#geometría-y-genética-los-diagramas-de-de-finetti-para-cuando-estés-aburrido"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> <strong>Geometría y Genética: los diagramas de <em>de Finetti</em></strong> (para cuando estés aburrido)</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#ejercicios-2"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html"><a href="variación-y-equilibrio-de-hardy-weinberg.html#notas-al-pie-1"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Deriva Genética</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-los-procesos-estocásticos-en-la-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> El rol de los procesos estocásticos en la genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-de-wrigth-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> El modelo de Wrigth-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-la-subdivisión-poblacional-en-la-evolución-de-las-frecuencias-alélicas"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> El rol de la subdivisión poblacional en la evolución de las frecuencias alélicas</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#heterocigosidad"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Heterocigosidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#tamaño-efectivo-de-una-población"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Tamaño efectivo de una población</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#cadenas-de-markov"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Cadenas de Markov</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#aproximación-de-difusión"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Aproximación de difusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.8" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#probabilidad-de-fijación-y-tiempos-de-fijación"><i class="fa fa-check"></i><b>3.8</b> Probabilidad de fijación y tiempos de fijación</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.9" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-coalescente."><i class="fa fa-check"></i><b>3.9</b> El modelo coalescente.</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#ejercicios-3"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#notas-al-pie-2"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Selección Natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Dinámica de 2 loci</a></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Apareamientos no-aleatorios</a></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Genética de Poblaciones Microbianas</a></li>
<li class="part"><span><b>Parte III: Genética Cuantitativa</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> El Modelo Genético Básico</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#ejercicios-8"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#notas-al-pie-3"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Parámetros Genéticos: Heredabilidad y Repetibilidad</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.0.1" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>9.0.1</b> Heredabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.0.2" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#repetibilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>9.0.2</b> Repetibilidad</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Parentesco y Semejanza entre Parientes</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.0.1" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.0.1</b> Parentesco</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.0.2" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#semejanza-entre-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>10.0.2</b> Semejanza entre parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.0.3" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estimación-de-la-varianza-aditiva-y-tal-vez-la-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>10.0.3</b> Estimación de la varianza aditiva (y tal vez la de dominancia)</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html"><i class="fa fa-check"></i><b>11</b> Selección Artificial I</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="11.1" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#la-relación-entre-diferentes-formas-de-calcular-la-intensidad-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.1</b> La relación entre diferentes formas de calcular la intensidad de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#ejercicios-11"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#notas-al-pie-4"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="12" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html"><i class="fa fa-check"></i><b>12</b> Respuesta Correlacionada</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="12.1" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-correlación-fenotípica-y-su-relación-con-la-correlación-genética-aditiva-y-ambiental"><i class="fa fa-check"></i><b>12.1</b> La correlación fenotípica y su relación con la correlación genética aditiva y ambiental</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="12.1.1" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#path-analysis-sewall-wright"><i class="fa fa-check"></i><b>12.1.1</b> Path analysis (Sewall Wright)</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="13" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html"><i class="fa fa-check"></i><b>13</b> Selección Artificial II</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#ejercicios-13"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#notas-al-pie-5"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="14" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html"><i class="fa fa-check"></i><b>14</b> Endocría, exocría, consanguinidad y depresión endogámica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="14.1" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#aumento-de-la-consanguinidad-a-partir-del-número-de-individuos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.1</b> Aumento de la consanguinidad a partir del número de individuos</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#ejercicios-14"><i class="fa fa-check"></i>Ejercicios</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#notas-al-pie-6"><i class="fa fa-check"></i>Notas al pie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="15" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html"><i class="fa fa-check"></i><b>15</b> Normas de reacción e interacción Genotipo x Ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="conceptos-matemáticos-básicos.html"><i class="fa fa-check"></i>CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="bibliografía.html"><a href="bibliografía.html"><i class="fa fa-check"></i>Bibliografía</a></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</a>
</h1>
</div>
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<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="conceptos-matemáticos-básicos" class="section level1 unnumbered">
<h1>CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS</h1>
<p>En el curso de Genética II asumimos que los alumnos ya poseen ciertos
conocimientos de matemática básica indispensables para comprender los
conceptos del curso. Este breve capítulo está diseñado para repasar
dichos conceptos y nivelar la comprensión de los mismos.</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><p>FRACCIONES</p></li>
<li><p>FUNCIONES Y DESPEJES</p></li>
<li><p>SUMATORIA</p></li>
<li><p>INTEGRALES Y DERIVADAS</p></li>
<li><p>DISTIBUCIÓN NORMAL, DESVÍO, VARIANZA</p></li>
</ol>
<!-- -->
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>FRACCIONES</li>
</ol>
<p>Una fracción es un cociente entre dos números enteros y esta representa
un valor numérico. La misma consiste en un <strong>denominador</strong> (<em>b</em>) que
indica el número de partes iguales en las que se ha dividido la unidad y
un <strong>numerador</strong> (<em>a</em>) que indica el número de unidades fraccionarias
elegidas. Como tal, la fracción expresa</p>
<p>un valor respecto a un todo y representa una división.</p>
<p>Las fracciones expresan la razón que guardan dos magnitudes
proporcionales a la vez de actuar como operadores cuando son aplicadas a
un número u otra fracción.</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>Transformaciones</li>
</ol>
<p><em>Fracciones equivalentes</em></p>
<p>Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando a pesar de tener
distinto numerador y denominador representan el mismo valor. Cada
fracción posee infinitas fracciones equivalentes a ella y podemos
obtener las mismas mediante dos métodos: amplificación y simplificación.
La amplificación consiste en la multiplicación de numerador y
denominador por un mismo número mientras que la simplificación consiste
en la división de los factores por un número (esto se podrá lograr
únicamente si ambos factores son divisibles por el mismo). Si el número
entre el que estamos dividiendo los términos es el máximo común
denominador obtendremos una fracción irreducible. Una fracción
irreducible es aquella que no se puede simplificar y esto sucede cuando
numerador y denominador son primos entre si.</p>
<p>Para comprobar si dos fracciones son equivalentes podemos utilizar el
método de productos cruzados, es decir, multiplicar el numerador de una
por el denominador de la otra y viceversa. Si ambos productos son
iguales podemos decir que ambas fracciones son equivalentes.</p>
<p><em>Común denominador</em></p>
<p>Transformar varias fracciones a común denominador consiste en convertir
cada una de ellas en otra fracción equivalente, pero teniendo el mismo
denominador. A continuación, se presentan dos métodos para hallar el
común denominador:</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Multiplicar los denominadores entre si</li>
</ol>
<p>Para aplicar este método lo primero que se hará es multiplicar entre si
los denominadores de las fracciones que queremos emplear. A
continuación, será necesario modificar los numeradores para no modificar
el valor de la fracción; para ello, dividiremos el denominador común
encontrado entre cada uno de los denominadores de cada fracción inicial.
Por último, el resultado de cada una de esas divisiones se multiplica
por el numerador de cada fracción inicial.</p>
<p>Este método a pesar de ser práctico puede llevarnos a trabajar con
números bastante grandes lo que puede complicar futuros cálculos.</p>
<ol start="2" style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Mínimo común múltiplo (mcm)</li>
</ol>
<p>Para aplicar este método lo primero que debemos hacer es descomponer
cada denominador en factores primos.</p>
<p>A continuación, será necesario multiplicar todas las potencias producto
de la descomposición, pero en caso de existir bases repetidas únicamente
se utilizará la de mayor exponente.</p>
<p>Para modificar los numeradores aplicaremos el mismo proceso que en el
método anterior</p>
<p>El mcm tiende a ser un método más laborioso que el primero, sin embargo,
nos permite operar con valores más pequeños.</p>
<p><strong>Saber aplicar todas las transformaciones detalladas en esta sección
será fundamental al momento de operar con fracciones.</strong></p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>Operaciones</li>
</ol>
<p><em>Suma y resta</em></p>
<p>Solo se pueden sumar o restar fracciones que posean el <strong>mismo
denominador</strong>. Una vez establecido esto, se procede a sumar o restar los
numeradores manteniendo el denominador.</p>
<p><em>Multiplicación</em></p>
<p>El producto de fracciones es una fracción cuyo denominador es el
resultado de la multiplicación de los denominadores y cuyo numerador es
el producto de los numeradores.</p>
<p><em>División</em></p>
<p>La división de fracciones consiste en la multiplicación de la fracción
que corresponde al dividendo por el inverso a la que corresponde al
divisor; o lo que es lo mismo, es la multiplicación cruzada de numerador
y denominador.</p>
<p>La multiplicación y división de fracciones poseen los mismos criterios
que una multiplicación o división de enteros por lo que en la primera el
orden de los factores no alterará el producto. Sin embargo, en la
segunda, no se podrá cambiar que fracción es el dividendo y cual el
divisor por lo que <strong>NO</strong> es indiferente que fracción se invierte.</p>
<p><em>Potencias</em></p>
<p>Las operaciones con potencias en fracciones poseen ciertos criterios, a
saber:</p>
<ul>
<li><p>Producto de potencias con la misma base</p></li>
<li><p>División de potencias con la misma base</p></li>
<li><p>Potencia de una potencia</p></li>
</ul>
<!-- -->
<ul>
<li><p>Producto de potencias de un mismo exponente</p></li>
<li><p>Cociente de potencias con un mismo exponente</p></li>
</ul>
<p><em>Prioridades en operaciones combinadas utilizando fracciones</em></p>
<p>Al momento de realizar operaciones combinadas, las prioridades a seguir
son las mismas que cuando calculamos utilizando números enteros, así
pues:</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><p>Calcular potencias y raíces</p></li>
<li><p>Realizar las operaciones entre paréntesis o llaves</p></li>
<li><p>Calcular los productos y cocientes</p></li>
<li><p>Calcular sumas y restas</p></li>
</ol>
<!-- -->
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>FUNCIONES Y DESPEJES</li>
</ol>
<p>Podemos decir que las funciones constituyen una relación entre
variables. Para definir esta relación diremos que dados dos conjuntos no
vacíos denominados D y C (dominio y codominio respectivamente);
entenderemos por función de D en C a toda regla que hace corresponder a
<strong>cada elemento</strong> de D (criterio de existencia) con un <strong>único
elemento</strong> (criterio de unicidad) en C.</p>
<p>D ⊆ R</p>
<p>Básicamente, tendremos tres formas de expresar una función: mediante una
tabla de valores, una gráfica o una ecuación. Sin dudas para nuestro
trabajo la manera más practica de expresar una función es mediante una
ecuación debido a que no solo es sintética, sino que mediante ella
podemos obtener las otras dos representaciones.</p>
<p>Para continuar esta idea, podemos tomar como ejemplo el cálculo del área
de un círculo. Algebraicamente, podemos decir que <span class="math inline">\(A = \pi r^{2}\)</span> lo que
nos permite crear una tabla y un grafico que ilustren dicha relación:</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="left">Radio</th>
<th align="left">Área</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="left">1</td>
<td align="left"><span class="math display">\[\pi\]</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left">1,5</td>
<td align="left">2,25<span class="math inline">\(\ \pi\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left">4</td>
<td align="left">16<span class="math inline">\(\ \pi\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="left">5,67</td>
<td align="left">31,0249<span class="math inline">\(\ \pi\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="left">7,1</td>
<td align="left">50,41<span class="math inline">\(\ \pi\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><em>Funciones potenciales</em></p>
<p><em>Funciones exponenciales</em></p>
<p><em>Funciones logarítmicas</em></p>
<p><em>Funciones polinómicas</em></p>
<p>Una función polinómica de grado n ∈ N ∪ {0} es una función del tipo</p>
<p><em>f(x) = a<sub>0</sub> +a<sub>1</sub>x+a<sub>2</sub>x<sup>2</sup> +···+a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>,</em></p>
<p>donde a<sub>0</sub> , a<sub>1</sub> , . . . , a<sub>n</sub> ∈ R y se denominan coeficientes de la
función polinómica. Una función polinómica tendrá como dominio a todo R.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Polinomios de primer grado</li>
</ol>
<p>Un polinomio de primer grado es una función de forma <em>f(x)=ax + b</em> donde
su representación gráfica será siempre una recta.</p>
<ol start="2" style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Polinomios de segundo grado</li>
</ol>
<p>Un polinomio de segundo grado es una función de forma</p>
<p><em>f(x)=ax2 +bx+c</em> donde a ≠ 0</p>
<p>Su representación gráfica será siempre una parábola cuyo vértice estará
por debajo de la parábola si a>0 mientras que para a<0 se encontrará
por encima de la misma. El vértice se situ ́a en el punto x = −b /2a.</p>
<p><em>Funciones racionales</em></p>
<p>Una función racional es una función del tipo</p>
<p><em>h(x) = f(x) / g(x)</em></p>
<p>en donde f y g son funciones polinómicas, por lo que podemos definir la
función racional como el cociente de dos funciones polinómicas. El
dominio de este tipo de funciones será R exceptuando los valores en los
que g(x) es nula.</p>
<p><em>Límites</em></p>
<p><em>Despeje de funciones o ecuaciones</em></p>
<p>Frecuentemente nos encontraremos con situaciones en las que es necesario
hallar un valor dentro una ecuación que no es el que fue planteado como
incógnita al desarrollar la operación.</p>
<p>La regla básica para despejar es que los valores pasan al otro lado de
la igualdad realizando la operación contraria a la que hacían en su
forma original:</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha">
<li><p>Suma y resta</p></li>
<li><p>Multiplicación y división</p></li>
<li><p>Potencia y raíz</p></li>
</ol>
<p>Detallamos entonces como se realizan los despejes de operaciones
particulares, sin embargo, es importante saber aplicar estos métodos en
conjunto al momento de realizar un despeje en una ecuación. Veamos
algunos ejemplos:</p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li>SUMATORIA</li>
</ol>
<p>La sumatoria se emplea para representar la suma de muchos o infinitos
valores.</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n}
\end{equation}\]</span></p>
<p>Σ= sumatoria</p>
<p>i: límite inferior</p>
<p>n=limite superior</p>
<p>Pongo ejercicios? Desarrollo propiedades? Lo saco?</p>
<ol start="3" style="list-style-type: decimal">
<li>DERIVADAS E INTEGRALES</li>
</ol>
<p>Ya hemos determinado el concepto de función y sus diferentes tipos de
representaciones, entre ellas, la gráfica. Entonces, profundizando en
este análisis, podríamos pensar cuales serían los valores máximos y
mínimos de una función dada o qué área queda delimitada bajo la misma.
Delimitar el máximo o el mínimo no es otra cosa que determinar la
tangente a una curva en un punto, es decir, derivar la función.
Determinar el área bajo la curva de una función no es otra cosa que
derivar la misma.</p>
<p><em>Derivada</em></p>
<p>Inicialmente, las funciones se estudian de manera estática, es decir, se
evalúa que valor adquiere la misma en un punto. Sin embargo, también
podemos estudiarlas de manera dinámica, es decir, con que rapidez se
produce la variación en la función. Con este fin, la derivada de una
función puede ser definida como la pendiente de una curva o como la
razón instantánea de cambio. Teóricamente, la derivada de una función se
estudia a través del cálculo de límites, este sin embargo es un método
que reviste cierta complejidad por lo que se pueden aplicar reglas para
derivar.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Variación media</li>
</ol>
<p>Mediante la variación media (VM) podemos estudiar la variación de un a
función por unidad de tiempo dentro de un intervalo:</p>
<p><img src="figuras/media/image2.png" style="width:4.16244in;height:4.33858in" /></p>
<ol start="2" style="list-style-type: lower-alpha">
<li>Variación instantánea o derivada en un punto</li>
</ol>
<p>Si disminuyéramos progresivamente el intervalo (a,b) hasta que
practicamente ambos puntos se “junten,” obtenemos la variación
instantánea mediante el uso de uns recta tangente a ese punto:</p>
<p>F´(a)= lím f(a+h) – f(a)<br />
h->0 h</p>
<p>GRAFICA</p>
<ul>
<li>Reglas de derivación</li>
</ul>
<p>Donde f(x) y g(x) son funciones, “a” y “b” son constantes</p>
<p><img src="figuras/media/image3.png" style="width:6.1375in;height:3.28472in" /></p>
<ul>
<li>Máximos y mínimos</li>
</ul>
<p>Un punto máximo (a) puede ser encontrado si F(a) es mayor o igual a
cualquier otro F(x) del intervalo de estudio. Es decir, que ese punto es
el más alto de la gráfica de la función en un intervalo dado.</p>
<p>Un punto mínimo (a) puede ser encontrado si F(a) es menor o igual a
cualquier otro F(x) del intervalo de estudio. Es decir, que ese punto es
el más bajo de la gráfica de la función en un intervalo dado.</p>
<p>Para que exista un punto extremo, la derivada de la función debe ser
cero en ese punto, es decir f(a)=0. O de lo contrario, que la derivada
de la función no esté definida para a. La explicación a esto la podremos
ilustrar de la siguiente manera:</p>
<p>En este caso, a la izquierda del punto, observamos como la pendiente es
positiva y la gráfica va “creciendo” hasta llegar al máximo (pendiente
0; F´(x)=0). A partir de ese momento, la función comienza a decrecer.</p>
<p>Es importante saber que existen casos donde la pendiente es 0, pero que
no exista un máximo ni un mínimo:</p>
<p>La otra posibilidad que manejamos para detectar un máximo o mínimo era
que la derivada de la función no estuviera definida para ese punto:</p>
<ul>
<li>Criterio de la primera derivada</li>
</ul>
<p>Para definir a un punto como máximo o mínimo nos basaremos en los puntos
inmediatamente anteriores y posteriores al mismo. Dicho esto, para que
un punto:</p>
<ul>
<li><p>Sea máximo, los puntos adyacentes a el deben ser menores a la vez
que la pendiente a la izquierda de este será positiva y a la derecha
negativa.</p></li>
<li><p>Sea mínimo, los puntos adyacentes a el deben ser mayores a la vez
que la pendiente a la izquierda de este será negativa y a la derecha
positiva.</p></li>
</ul>
<p>Establecido esto, el criterio de la primera derivada establece que: una
vez que encontramos un punto donde la derivada es cero <span class="math display">\[F´(x)=0\]</span> y a
su izquierda la derivada es positiva y a la derecha negativa, nos
encontramos frente a un máximo. Si por su parte a la izquierda del punto
la derivada es negativa y a la derecha positiva, estamos frente a un
mínimo. En el caso que a ambos lados del punto la derivada sea positiva
o negativa, no hay ni máximo ni mínimo.</p>
<p>Ilustremos un ejemplo trabajando con la primera derivada de la función
F(x)=4x<sup>2</sup>-8x:</p>
<ul>
<li><p>La derivada de la función es F´(x)=8x-8, por lo que la igualaremos a
cero en busca de un punto extremo. Despejando, llegamos a que x=1,
por lo que ya tenemos la primera coordenada del punto.</p></li>
<li><p>Para obtener el valor en y, sustituimos en la función original:
F(1)=4(1)<sup>2</sup>-8(1)= -4.</p></li>
<li><p>Ahora ya tenemos la ubicación del punto extremo “a” (1,-4).
Procederemos entonces a investigar la derivada de dos puntos, uno a
la izquierda y otro a la derecha de “a” para determinar el signo de
la pendiente a cada lado.</p>
<ul>
<li><p>Comenzaremos tomando un punto a la izquierda, por ejemplo 0 y lo
sustituimos en la derivada: F´(0)=8(0)-8= -8. Así definimos que
a la izquierda del punto extremo “a” la derivada y con ella la
pendiente de la función, es negativa.</p></li>
<li><p>A continuación, asignamos un valor a la derecha, por ejemplo 2 y
nuevamente sustituimos en la derivada: F´(2)=8(2)-8= 8. Así
definimos que a la derecha del punto extremo “a” la derivada y
con ella la pendiente de la función, es positiva.</p></li>
</ul></li>
</ul>
<p>Una vez concluidos estos pasos y continuando con nuestro razonamiento
inicial, podemos decir que el punto que encontramos es un mínimo.
Gráficamente:</p>
<blockquote>
<p><img src="figuras/media/image4.png" style="width:2.40592in;height:2.83495in" /></p>
</blockquote>
<ul>
<li>Criterio de la segunda derivada</li>
</ul>
<p>Existe una alternativa más sencilla al momento de determinar la
presencia de máximos y mínimos y corresponde al método de la segunda
derivada. El criterio es el siguiente, si una función posee una segunda
derivada y esta es positiva, estamos en presencia de un mínimo, si es
negativa, de un máximo.</p>
<ul>
<li><p>Retomemos el primer ejemplo: F(x)= 4x<sup>2</sup>-8x</p>
<ul>
<li><p>F´(x)= 8x-8</p></li>
<li><p>F´´(x)= 8</p></li>
</ul></li>
</ul>
<p>De acuerdo con el criterio que planteamos y confirmamos con el método de
la primera derivada estamos frente a un mínimo. Para determinar la
ubicación del punto “a” donde se encuentra ese mínimo utilizaremos el
mismo procedimiento que anteriormente donde igualamos la primera
derivada a cero y posteriormente sustituimos con ese valor la ecuación
original para obtener las coordenadas.</p>
<ul>
<li><p>Utilicemos un ejemplo más complejo donde: F(x)= x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup></p>
<ul>
<li><p>F´(x)= 3x<sup>2</sup>-12x</p></li>
<li><p>F´´(x)= 6x-12</p></li>
</ul></li>
</ul>
<p>Podemos ver en este caso que el signo de la segunda derivada no es
evidente. Por ello, procederemos a igualar a cero la primera derivada
para obtener la coordenada en x de los puntos extremos; así obtenemos
que la función tiene dos puntos extremos, uno donde x=0 y otro donde
x=4. A continuación buscaremos la ordenada de cada uno de esos puntos:</p>
<ul>
<li><p>Para x<sub>1</sub>: F(0)= (0)<sup>3</sup>-6(0)<sup>2</sup>= 0</p></li>
<li><p>Para x<sub>2</sub>: F(4)= (4)<sup>3</sup>-6(4)<sup>2</sup>= -32</p></li>
</ul>
<p>Tenemos entonces las coordenadas de dos puntos extremos “a” (0,0) y “b”
(4,-32). Como ultimo paso entonces nos queda determinar si los puntos
representan un máximo o un mínimo, para ello, sustituiremos en valor de
x en la segunda derivada y obtendremos así el signo de la misma para
cada punto.</p>
<ul>
<li><p>Para a: F´´(0)= 6(0)-12= -12 (el punto es un máximo)</p></li>
<li><p>Para b: F´´(4)= 6(4)-12= 12 (el punto es un mínimo)</p></li>
</ul>
<p><img src="figuras/media/image5.png" style="width:2.66019in;height:3.13456in" /></p>
<p><em>Integral</em></p>
<p>El calculo integral puede ser utilizado fundamentalmente para dos fines:
el primero consiste en la obtención de la función original a partir de
su derivada (integral indefinida) o bien obtener el área comprendida
bajo una curva (integral definida).</p>
<ul>
<li>Integral indefinida</li>
</ul>
<p>La notación de integral indefinida para cualquier función es:</p>
<p><span class="math display">\[\int_{}^{}{F´(x)\text{\ dx}} = F(x) + k\]</span></p>
<p>Donde: <span class="math inline">\(\int_{}^{}\text{es\ el\ simbolo\ de\ la\ integral}\)</span></p>
<p>F´(x) es una derivada de F(x)</p>
<p>dx (diferencial de x), indica la variable en relación a la que estamos
integrando</p>
<p>k es la constante de integración</p>
<p>Reglas de derivación inmediata</p>
<p><img src="figuras/media/image6.png" style="width:4.35486in;height:3.26597in" /></p>
<p>Podremos llegar a determinar el valor k, si tenemos algo mas de
información de la función primitiva, por ejemplo…</p>
<ul>
<li>Integral definida</li>
</ul>
<p>La integral definida es un número real que implica una suma infinita de
valores y representa el área comprendida entre la función y el eje de
las abscisas.</p>
<p><span class="math display">\[\int_{a}^{b}{F(x)\text{dx}}\]</span></p>
<p>Donde: <span class="math inline">\(\int_{}^{}\text{es\ el\ simbolo\ de\ la\ integral}\)</span></p>
<p>F(x) es la función a integrar</p>
<p>dx (diferencial de x), indica la variable en relación a la que estamos
integrando</p>
<p>a, b son los límites de integración</p>
<p>a b</p>
<p>Es importante tener en cuenta que es necesario estudiar si la función es
positiva, pues en caso de no serlo en todo intervalo, será necesario
calcular una integral separada por intervalos según el signo y tomar su
valor absoluto.</p>
<p>Propiedades:</p>
<p><img src="figuras/media/image7.png" style="width:4.07767in;height:2.90115in" /></p>
<p>Pasos a seguir para obtener la integral definida:</p>
<ul>
<li><p>Determinar el valor de la integral indefinida</p></li>
<li><p>Sustituír en ella los valores limites (a y b)</p></li>
<li><p>Restar ambos valores para obtener el área</p></li>
</ul>
<p>EJEMPLO</p>
<ol start="4" style="list-style-type: decimal">
<li>DISTIBUCIÓN NORMAL, DESVÍO, VARIANZA</li>
</ol>
<p>Una distribución indica el patrón de ordenamiento que tienden a seguir
una serie de datos. La distribución normal se presenta con forma de
campana simétrica y está caracterizada por una media (µ) y un desvío
estándar ().</p>
<p>En este tipo de distribución, aproximadamente el 68% de los datos quedan
comprendidos entre +/- 1 desvío estándar.</p>
<p><img src="figuras/media/image8.png" style="width:4.34931in;height:2.17431in" /></p>
<p><img src="figuras/media/image9.png" style="width:3.11111in;height:1.01389in" /></p>
<p><img src="figuras/media/image10.png" style="width:3.36875in;height:2.53681in" />Varias distribuciones normales con
diferentes medias y varianzas ()</p>
<p>Como vemos, las campanas roja, verde y azul tienen igual media (0), pero
difieren en su varianza lo que afecta cuan “achatada” puede presentarse
la gráfica. Consecuencia de esto, y a modo de ejemplo, podemos ver que
el valor 3 es probable si estuviéramos dentro de la campana azul pero
sería improbable si estuviéramos trabajando dentro de la campana roja.</p>
<p><em>Media</em></p>
<p>Es el promedio aritmético de todos los valores pertenecientes a
determinada muestra o población. Sin embargo, como pudimos comprobar
mediante la observación del gráfico anterior, la media no es informativa
sobre la variación en la distribución de los datos.</p>
<p><em>Variación</em></p>
<ul>
<li><p>Desvío de un registro: es la diferencia numérica existente entre un
registro particular y la media poblacional</p></li>
<li><p>Desvío estándar (): Gráficamente, es la distancia entre la media y
el punto de inflexión de la curva de distribución normal. Es una
medida de dispersión de los datos, podemos llegar a conceptualizarla
como un “desvío promedio de la media” aunque matemáticamente no es
así. Es la raíz cuadrada de la varianza.</p></li>
<li><p>Varianza (): medida de dispersión al igual que es desvío estándar,
es una propiedad muy informativa pero difícil de conceptualizar.</p></li>
</ul>
</div>
</section>
</div>
</div>
</div>
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</div>
</div>
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