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<ul class="summary">
<li><a href="./">Genética II</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Prefacio</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#nuestra-filosofía-del-no-tanto"><i class="fa fa-check"></i>Nuestra filosofía del NO (tanto)</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#qué-es-y-qué-no-es-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>¿Qué ES y qué NO ES este libro?</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#bibliografía-recomendada-para-este-curso"><i class="fa fa-check"></i>Bibliografía recomendada para este curso</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#responsabilidades-y-agradecimientos"><i class="fa fa-check"></i>Responsabilidades y Agradecimientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#íconos-utilizados-en-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>Íconos utilizados en este libro</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte I: Genómica</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="intro.html"><a href="intro.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Introducción a la Genómica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#variabilidad-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> Variabilidad genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-composicional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Genómica composicional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-comparativa"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Genómica comparativa</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-funcional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Genómica funcional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="intro.html"><a href="intro.html#conclusión"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="intro.html"><a href="intro.html#actividades"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte II: Genética de Poblaciones</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Variación y equilibrio de Hardy-Weinberg</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-dioicas-dos-sexos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Hardy-Weinberg en especies dioicas (dos sexos)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#heterocigotas-freq-alelica"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> H-W: la frecuencia de heterocigotas en función de la frecuencia alélica</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg-en-cromosomas-ligados-al-sexo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#tres-o-más-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Tres o más alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#la-estimación-de-frecuencias-y-el-equilibrio-o-no"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> La estimación de frecuencias y el equilibrio (o no)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-sistema-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> El sistema ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#dónde-se-esconden-los-alelos-recesivos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> ¿Dónde se “esconden” los alelos recesivos?</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-poliploides"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Hardy-Weinberg en especies poliploides</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#geometría-y-genética-los-diagramas-de-de-finetti"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Geometría y Genética: los diagramas de <em>de Finetti</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#estimacion-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> La estimación de frecuencias en el locus ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.12" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#conclusión-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.12</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.13" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#actividades-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.13</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Deriva genética</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-los-procesos-estocásticos-en-la-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> El rol de los procesos estocásticos en la genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> El modelo de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#la-subdivisión-poblacional-y-la-evolución-de-las-frecuencias-alélicas"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> La subdivisión poblacional y la evolución de las frecuencias alélicas</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#cadenas-de-markov"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Cadenas de Markov</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#tamaño-efectivo-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Tamaño efectivo poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#aproximación-de-difusión"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Aproximación de difusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#probabilidad-de-fijación-y-tiempos-de-fijación"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Probabilidad de fijación y tiempos de fijación</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.8" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-coalescente"><i class="fa fa-check"></i><b>3.8</b> El modelo coalescente</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.9" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#conclusión-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.10" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#actividades-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Selección natural</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-concepto-de-fitness"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> El concepto de “<em>fitness</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#selección-natural-en-el-modelo-de-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Selección natural en el modelo de un locus con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#diferentes-formas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Diferentes formas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-teorema-fundamental-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> El teorema fundamental de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-mutación"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Equilibrio selección-mutación</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#la-fuerza-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> La fuerza de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-deriva"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Equilibrio selección-deriva</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#otros-tipos-de-selección-y-complejidades"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Otros tipos de selección y complejidades</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#conclusión-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.10" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#actividades-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Dinámica de 2 <em>loci</em></a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#desequilibrio-de-ligamiento-y-recombinación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Desequilibrio de ligamiento y recombinación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#la-evolución-en-el-tiempo-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> La evolución en el tiempo del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#otras-medidas-de-asociación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Otras medidas de asociación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#selección-en-modelos-de-dos-loci"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Selección en modelos de dos <em>loci</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#arrastre-genético-genetic-hitchhiking-o-genetic-draft"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Arrastre genético (“<em>genetic hitchhiking</em>” o “<em>genetic draft</em>”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#causas-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Causas del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#conclusión-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#actividades-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Apareamientos no-aleatorios</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-concepto-de-identidad-por-ascendencia-ibd"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> El concepto de “identidad por ascendencia” (IBD)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#generalización-de-hardy-weinberg-para-apareamientos-no-aleatorios"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Generalización de Hardy-Weinberg para apareamientos no-aleatorios</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#f-como-correlación-entre-gametos-unidos"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> <span class="math inline">\(F\)</span> como correlación entre gametos unidos</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#endocría-y-depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Endocría y depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#un-caso-extremo-la-autogamia"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Un caso extremo: la autogamia</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-coeficiente-de-endocría-y-los-estadísticos-f"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> El coeficiente de endocría y los estadísticos <em>F</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-efecto-wahlund"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> El efecto Wahlund</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#subdivisión-migración-y-el-modelo-de-islas"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Subdivisión, migración y el modelo de islas</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#mecanismos-de-especiación"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Mecanismos de especiación</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#conclusión-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.11" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#actividades-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Genética de poblaciones microbianas</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-y-mecanismos-de-herencia-en-procariotas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Genómica y mecanismos de herencia en procariotas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#dinámica-de-las-poblaciones-bacterianas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Dinámica de las poblaciones bacterianas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#modelos-haploides-de-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Modelos haploides de selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#los-modelos-de-moran-y-de-fisión-vs-el-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Los modelos de Moran y de fisión <em>vs</em> el de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.5" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#el-rol-de-la-transferencia-horizontal"><i class="fa fa-check"></i><b>7.5</b> El rol de la transferencia horizontal</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.6" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#seleccionismo-vs-neutralismo-los-procariotas-en-el-debate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.6</b> Seleccionismo <em>vs</em> neutralismo: los procariotas en el debate</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>7.7</b> Genómica poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.8" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genes-de-resistencia"><i class="fa fa-check"></i><b>7.8</b> Genes de resistencia</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.9" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#introducción-a-la-epidemiología-modelos-compartimentales"><i class="fa fa-check"></i><b>7.9</b> Introducción a la epidemiología: modelos compartimentales</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.10" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#conclusión-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.11" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#actividades-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte III: Genética Cuantitativa</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> El modelo genético básico</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#variación-continua-y-discreta"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Variación continua y discreta</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> El modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#modelo-genético-básico-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Modelo genético básico: un <em>locus</em> con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.4" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#efecto-medio"><i class="fa fa-check"></i><b>8.4</b> Efecto medio</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.5" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#valor-reproductivo-o-valor-de-cría"><i class="fa fa-check"></i><b>8.5</b> Valor reproductivo (o valor de cría)</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.6" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#desvío-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>8.6</b> Desvío de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.7" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#interacción-genotipo-x-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>8.7</b> Interacción Genotipo x Ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#la-varianza-en-el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.8</b> La varianza en el modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.9" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#conclusión-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.10" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#actividades-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Parentesco y semejanza entre parientes</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-1"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Parentesco</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-aditivo"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Parentesco aditivo</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Parentesco de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#semejanza-entre-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Semejanza entre parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.5" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estimación-de-las-varianzas-aditiva-y-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.5</b> Estimación de las varianzas aditiva y de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.6" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-genómico"><i class="fa fa-check"></i><b>9.6</b> Parentesco genómico</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.7" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estudios-de-ascendencia-ancestría"><i class="fa fa-check"></i><b>9.7</b> Estudios de ascendencia (“ancestría”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.8" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#conclusión-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#actividades-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Parámetros genéticos: heredabilidad y repetibilidad</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Heredabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-sentido-amplio-y-sentido-estricto"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Heredabilidad en sentido amplio y sentido estricto</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-lograda"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Heredabilidad lograda</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-poblaciones-agronómicaslab.-vs-poblaciones-naturales"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Heredabilidad en poblaciones agronómicas/lab. vs poblaciones naturales</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-y-filogenética"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Heredabilidad y filogenética</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-la-era-genómica"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> Heredabilidad en la era genómica</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#métodos-más-avanzados-de-estimación"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Métodos más avanzados de estimación</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#repetibilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Repetibilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#la-repetibilidad-como-herramienta-en-la-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> La repetibilidad como herramienta en la predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#evolucionabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.10</b> Evolucionabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.11" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#conclusión-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.11</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.12" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#actividades-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.12</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html"><i class="fa fa-check"></i><b>11</b> Selección Artificial I</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="11.1" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#factores-de-corrección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.1</b> Factores de corrección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.2" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#la-respuesta-a-la-selección-y-su-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>11.2</b> La respuesta a la selección y su predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.3" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#diferencial-de-selección-e-intensidad-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.3</b> Diferencial de selección e intensidad de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.4" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intensidad-de-selección-y-proporción-seleccionada"><i class="fa fa-check"></i><b>11.4</b> Intensidad de selección y proporción seleccionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.5" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intervalo-generacional"><i class="fa fa-check"></i><b>11.5</b> Intervalo generacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.6" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#medidas-de-la-respuesta"><i class="fa fa-check"></i><b>11.6</b> Medidas de la respuesta</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.7" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#progreso-genético-generacional-y-anual"><i class="fa fa-check"></i><b>11.7</b> Progreso genético generacional y anual</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.8" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#cambio-en-las-frecuencias-alélicas-bajo-selección-artificial"><i class="fa fa-check"></i><b>11.8</b> Cambio en las frecuencias alélicas bajo selección artificial</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.9" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#el-diferencial-de-selección-direccional-y-la-identidad-de-robertson-price"><i class="fa fa-check"></i><b>11.9</b> El diferencial de selección direccional y la identidad de Robertson-Price</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.10" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#conclusión-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#actividades-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="12" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html"><i class="fa fa-check"></i><b>12</b> Correlaciones y respuesta correlacionada</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="12.1" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#causas-genéticas-y-ambientales-de-las-correlaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>12.1</b> Causas genéticas y ambientales de las correlaciones</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.2" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#introducción-al-path-analysis"><i class="fa fa-check"></i><b>12.2</b> Introducción al “<em>path analysis</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.3" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#métodos-para-determinar-la-correlación-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>12.3</b> Métodos para determinar la correlación genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.4" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-correlación-fenotípica-y-su-relación-con-otras-correlaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>12.4</b> La correlación fenotípica y su relación con otras correlaciones</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.5" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#respuesta-correlacionada"><i class="fa fa-check"></i><b>12.5</b> Respuesta correlacionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.6" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#matrices-de-varianza-covarianza"><i class="fa fa-check"></i><b>12.6</b> Matrices de varianza-covarianza</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.7" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-forma-generalizada-de-la-ecuación-del-criador"><i class="fa fa-check"></i><b>12.7</b> La forma generalizada de la ecuación del criador</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.8" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#conclusión-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.9" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#actividades-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="13" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html"><i class="fa fa-check"></i><b>13</b> Selección Artificial II</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="13.1" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#criterios-y-objetivos-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.1</b> Criterios y objetivos de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.2" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#selección-basada-en-un-solo-tipo-de-fuente-de-información"><i class="fa fa-check"></i><b>13.2</b> Selección basada en un solo tipo de fuente de información</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.3" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#combinando-la-información-proporcionada-por-diferentes-tipos-de-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>13.3</b> Combinando la información proporcionada por diferentes tipos de parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.4" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-de-selección-para-varias-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.4</b> Métodos de selección para varias características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.5" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#índices-de-selección-para-múltiples-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.5</b> Índices de selección para múltiples características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.6" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-y-técnicas-avanzadas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.6</b> Métodos y técnicas avanzadas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.7" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#conclusión-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.8" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#actividades-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="14" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html"><i class="fa fa-check"></i><b>14</b> Endocría, exocría, consanguinidad y depresión endogámica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="14.1" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-aumento-de-la-consanguinidad-a-partir-del-número-de-individuos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.1</b> El aumento de la consanguinidad a partir del número de individuos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.2" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-coeficiente-de-consanguinidad-en-razas-lecheras"><i class="fa fa-check"></i><b>14.2</b> El coeficiente de consanguinidad en razas lecheras</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.3" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>14.3</b> Depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.4" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#exocría-y-heterosis"><i class="fa fa-check"></i><b>14.4</b> Exocría y heterosis</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.5" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#modelo-genético-de-cruzamientos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.5</b> Modelo genético de cruzamientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.6" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#conclusión-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.7" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#actividades-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="15" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html"><i class="fa fa-check"></i><b>15</b> Normas de reacción e interacción genotipo x ambiente</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.1" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#plasticidad-fenotípica-y-normas-de-reacción"><i class="fa fa-check"></i><b>15.1</b> Plasticidad fenotípica y normas de reacción</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.2" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#interacción-gxe-en-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.2</b> Interacción GxE en dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.3" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#correlación-genética-a-través-de-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.3</b> Correlación genética a través de dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.4" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#genética-cuantitativa-de-la-interacción-gxe"><i class="fa fa-check"></i><b>15.4</b> Genética cuantitativa de la interacción GxE</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.5" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#otros-ejemplos-de-interacción-genotipo-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>15.5</b> Otros ejemplos de interacción genotipo-ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.6" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#conclusión-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.7" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#actividades-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice A: Conceptos matemáticos básicos</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#fracciones"><i class="fa fa-check"></i>FRACCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#proporcionalidad"><i class="fa fa-check"></i>PROPORCIONALIDAD</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#cifras-significativas-y-redondeo"><i class="fa fa-check"></i>CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#notación-científica"><i class="fa fa-check"></i>NOTACIÓN CIENTÍFICA</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#ecuaciones"><i class="fa fa-check"></i>ECUACIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#funciones"><i class="fa fa-check"></i>FUNCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#sumatoria-y-productoria"><i class="fa fa-check"></i>SUMATORIA Y PRODUCTORIA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice B: Cálculo diferencial e integral</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#límites"><i class="fa fa-check"></i>LÍMITES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivadas"><i class="fa fa-check"></i>DERIVADAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integrales"><i class="fa fa-check"></i>INTEGRALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#ecuaciones-diferenciales"><i class="fa fa-check"></i>ECUACIONES DIFERENCIALES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice C: Álgebra lineal y geometría analítica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#matrices"><i class="fa fa-check"></i>MATRICES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#norma-producto-escalar-y-producto-vectorial"><i class="fa fa-check"></i>NORMA, PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#agregar-imagen-vectores"><i class="fa fa-check"></i>AGREGAR IMAGEN VECTORES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#transformaciones-lineales"><i class="fa fa-check"></i>TRANSFORMACIONES LINEALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#valores-y-vectores-propios"><i class="fa fa-check"></i>VALORES Y VECTORES PROPIOS</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-álgebra-lineal-y-geometría-analítica.html#derivada-de-la-forma-cuadrática"><i class="fa fa-check"></i>DERIVADA DE LA FORMA CUADRÁTICA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice D: Probabilidad y estadística</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#probabilidad-y-conteo"><i class="fa fa-check"></i>PROBABILIDAD Y CONTEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#variables-aleatorias"><i class="fa fa-check"></i>VARIABLES ALEATORIAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#estimadores"><i class="fa fa-check"></i>ESTIMADORES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="16" data-path="bibliografia.html"><a href="bibliografia.html"><i class="fa fa-check"></i><b>16</b> Bibliografía</a></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</a>
</h1>
</div>
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<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral" class="section level1 unnumbered hasAnchor">
<h1>Apéndice B: Cálculo diferencial e integral<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<div id="límites" class="section level2 unnumbered hasAnchor">
<h2>LÍMITES<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#límites" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="límite-finito" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Límite finito<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#límite-finito" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se considera <span class="math inline">\(f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> con <span class="math inline">\(X\)</span> una unión de intervalos. El límite de la función <span class="math inline">\(f\)</span> en un punto <span class="math inline">\(a\)</span> refiere a qué pasa con los valores de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> para valores de <span class="math inline">\(x\)</span> muy cercanos a <span class="math inline">\(a\)</span>. Se escribe de la siguiente forma:
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L\]</span></p>
<p>Cuando se estudia el límite en <span class="math inline">\(a\)</span>, se busca saber como se comporta la función en puntos cercanos a él, pero no importa específicamente la imagen de la función en <span class="math inline">\(a\)</span>. Esto implica que <span class="math inline">\(a\)</span> no necesariamente tiene que ser parte del dominio de la función. El límite de una función en un punto <span class="math inline">\(a\)</span> nos indica el comportamiento de <span class="math inline">\(f\)</span> cerca de <span class="math inline">\(a\)</span> sin importar el punto <span class="math inline">\(a\)</span>.</p>
<p>Sea <span class="math inline">\(L\)</span> el límite de <span class="math inline">\(f\)</span> en <span class="math inline">\(a\)</span>, pueden darse tres situaciones respecto a la imagen <span class="math inline">\(f(a)\)</span>:
1. Si <span class="math inline">\(f\)</span> continua en <span class="math inline">\(a\)</span>, entonces <span class="math inline">\(L = f(a)\)</span>.
2. Si <span class="math inline">\(f\)</span> no es continua en <span class="math inline">\(a\)</span>, entonces <span class="math inline">\(L\)</span> es el límite pero <span class="math inline">\(L \neq f(a)\)</span>.
3. Si <span class="math inline">\(f\)</span> no está definida en <span class="math inline">\(a\)</span>, existe el límite <span class="math inline">\(L\)</span> pero no está definido <span class="math inline">\(f(a)\)</span>.</p>
<div id="proposiciones-importantes" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Proposiciones importantes:<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#proposiciones-importantes" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><strong>Proposición 1</strong>
Si el límite <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)\)</span> existe, es único.</p>
<p><strong>Proposición 2</strong>
Sean <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\)</span> y <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = c\)</span>. Entonces:
1. <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f+g)(x) = b + c\)</span>
2. <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f-g)(x) = b - c\)</span>
3. <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = b \cdot c\)</span></p>
</div>
</div>
<div id="límite-infinito" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Límite infinito<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#límite-infinito" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Intuitivamente, se habla de un límite infinito cuando a medida que la función se acerca al punto <span class="math inline">\(a\)</span>, la imagen <span class="math inline">\(f(a)\)</span> es un valor muy grande. Cuánto más se acerca <span class="math inline">\(x\)</span> a <span class="math inline">\(a\)</span>, <span class="math inline">\(f(x)\)</span> es un número cada vez mayor, pero si <span class="math inline">\(x = a\)</span> la operación es indeterminada (por ejemplo, queda una división entre cero).</p>
<p>También puede ser importante estudiar el límite de la función cuando <span class="math inline">\(x \rightarrow \pm\infty\)</span> (valores de <span class="math inline">\(x\)</span> con módulo muy grande, tanto postivos como negativos).</p>
<p>Para ver los distintos casos, se trabajará con un ejemplo.</p>
<div id="ejemplo-9" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Ejemplo:<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#ejemplo-9" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Se define
<span class="math display">\[f(x) / f(x) = \frac{1}{1-x} \forall x \in \mathbb{\{R\} - 1}.\]</span> ¿Qué pasa con el límite en 1? ¿Y en <span class="math inline">\(\pm \infty\)</span>?</p>
<p><em>Solución:</em>
A) Para saber el límite de <span class="math inline">\(x \rightarrow 1\)</span> se divide en dos casos:
1. Por un lado se estudia el límite cuando nos acercamos a 1 por la derecha (con valores mayores a uno, pero cada vez más cercanos).</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center"><span class="math inline">\(x\)</span></th>
<th align="center"><span class="math inline">\(f(x)\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">1,01</td>
<td align="center">-100</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">1,001</td>
<td align="center">-1000</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center">1,0001</td>
<td align="center">-10000</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">1,00001</td>
<td align="center">-100000</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Se puede ver que cuánto más cerca está <span class="math inline">\(x\)</span> de 1, mayor es el módulo de <span class="math inline">\(f(x)\)</span>. Se puede ver también que <span class="math inline">\(f(x)\)</span> es negativa, por lo que se dice que el límite de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> cuando <span class="math inline">\(x\)</span> tiende a 1 por derecha es <span class="math inline">\(-\infty\)</span> y se escribe:</p>
<p><span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = -\infty\]</span></p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li>Al estudiar el límite por izquierda, acercándonos a 1 un valores menores a él, se puede ver que:</li>
</ol>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center"><span class="math inline">\(x\)</span></th>
<th align="center"><span class="math inline">\(f(x)\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">0,9</td>
<td align="center">10</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">0,99</td>
<td align="center">100</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center">0,999</td>
<td align="center">1000</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">0,9999</td>
<td align="center">10000</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Cuánto más cerca de uno, mayor es el valor de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> pero con valores positivos por lo que, en este caso:</p>
<p><span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = +\infty\]</span></p>
<ol start="2" style="list-style-type: upper-alpha">
<li>Se estudiarán ahora los límites para <span class="math inline">\(\pm \infty\)</span> separando nuevamente en los dos casos.</li>
</ol>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>Para el caso <span class="math inline">\(+\infty\)</span>, tomaremos valores de <span class="math inline">\(x\)</span> muy grandes:</li>
</ol>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th><span class="math inline">\(x\)</span></th>
<th><span class="math inline">\(f(x)\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(1x10^5\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(-1x10^{-5}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(1x10^{10}\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(-1x10^{-10}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(1x10^{15}\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(-1x10^{-15}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(1x10^{20}\)</span></td>
<td><span class="math inline">\(-1x10^{-20}\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>En este caso, se puede ver que cuánto más grande el valor de <span class="math inline">\(x\)</span>, más pequeño es el valor de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> pero manteniéndose positivo. Decimos entonces que el límite es <span class="math inline">\(0^{+}\)</span>.
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0^{+}\]</span></p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li>Realizando la misma tabla que en el caso anterior pero para valores negativos, se obtiene que <span class="math inline">\(f(x)\)</span> se acerca más a cero cuanto mayor el valor de <span class="math inline">\(x\)</span>, pero en este caso los valores obtenidos son negativos. Se dice que el límite es <span class="math inline">\(0^{-}\)</span>.
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0^{-}\]</span></li>
</ol>
<p>Se muestra a continuación la gráfica de la función estudiada. En azul, se muestran las asíntotas <span class="math inline">\(x=1\)</span> y <span class="math inline">\(y=0\)</span> que son aquellas rectas que la función nunca corta.</p>
<embed src="figuras/limites_fx.pdf" width="80%" style="display: block; margin: auto;" type="application/pdf" />
<p>Se puede ver que cuánto más grandes en módulo son los valores de <span class="math inline">\(x\)</span> más se acerca la función a cero. Si bien el eje <span class="math inline">\(x\)</span> en esta imagen no llega a valores tan altos, invitamos al lector a verificar esto con su calculadora.
Se puede observar lo mismo para <span class="math inline">\(x=1\)</span>, donde se puede observar que la función no llega a cortar la asíntota y toma valores cada vez más grandes.</p>
</div>
<div id="proposiciones-importantes-1" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Proposiciones importantes:<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#proposiciones-importantes-1" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><strong>Proposición 3a:</strong>
Sean <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty\)</span> y <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = c\)</span>. Entonces:</p>
<p><em>Suma:</em>
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = +\infty\]</span></p>
<p><em>Producto:</em>
- Si <span class="math inline">\(c > 0\)</span>, <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = +\infty\)</span>
- Si <span class="math inline">\(c < 0\)</span>, <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = -\infty\)</span></p>
<p><strong>Proposición 3b:</strong>
Sean <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \infty\)</span> y <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = \infty\)</span>. Entonces:</p>
<p><em>Suma:</em>
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = \infty\]</span></p>
<p><em>Producto:</em>
<span class="math display">\[\lim\limits_{x \rightarrow a} (f \cdot g)(x) = \infty\]</span></p>
<p><strong>Proposición 4a:</strong>
Si <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \infty \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} = 0\)</span>.</p>
<p><strong>Proposición 4b:</strong>
Si <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} = \infty\)</span>.</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="derivadas" class="section level2 unnumbered hasAnchor">
<h2>DERIVADAS<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivadas" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="derivada-puntual" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Derivada puntual<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivada-puntual" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>La derivada puntual describe con qué rapidez se produce la variación de una función para un determinado punto <span class="math inline">\(a\)</span>. La definición formal de la derivada dice que:
<span class="math inline">\(f\)</span> es derivable en <span class="math inline">\(a\)</span> si existe el límite <span class="math inline">\(\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)</span>. Si existe el límite, <span class="math inline">\(f'(a)\)</span> es el resultado y se dice que <span class="math inline">\(f'(a)\)</span> es la derivada de <span class="math inline">\(f\)</span> en el punto a.</p>
<p>Gráficamente, se puede ver como la pendiente de la gráfica en el punto.</p>
</div>
<div id="derivada-de-una-función" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Derivada de una función<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivada-de-una-función" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>A partir de la definición anterior, se puede definir la derivada de una función. Tomando un punto <span class="math inline">\(x\)</span> en el intervalo <span class="math inline">\((a,b)\)</span> y <span class="math inline">\(f\)</span> una función definida, por lo menos, en ese intervalo abierto <span class="math inline">\((a,b)\)</span>, se define la derivada <span class="math inline">\(f'\)</span> como el límite del cociente de diferencias:
<span class="math display">\[\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]</span></p>
<p>Este cociente representa la variación media de <span class="math inline">\(f\)</span> en el intervalo que une a <span class="math inline">\(x\)</span> y <span class="math inline">\(x+h\)</span>. Este límite define una nueva función llamada <em>primera derivada de <span class="math inline">\(f\)</span></em> y, como fue mencionado previamente, se simboliza como <span class="math inline">\(f'\)</span>. Si se deriva <span class="math inline">\(f'\)</span>, obtenemos la segunda derivada de <span class="math inline">\(f\)</span>, <span class="math inline">\(f''\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>{-}
Se tiene una explotación ganadera que cría vacas para la producción de carne. Para obtener un modelo simple, se considera que la tasa de crecimiento de las vacas depende únicamente de la cantidad de alimento suministrado por día (que será una función de <span class="math inline">\(x\)</span>).</p>
<p>Se tiene entonces que el crecimiento <span class="math inline">\(C\)</span> depende de <span class="math inline">\(x\)</span>:
<span class="math display">\[C(x) = e^{3x} + x^2.\]</span></p>
<p>Esta ecuación nos dice que el crecimiento queda ligado a la cantidad de alimento mediante una función exponencial más una función polinómica. La tasa de crecimiento se calculará a partir de las derivadas total de la función, obteniendo que <span class="math inline">\(C'(x) = 3e^{3x} + 2x.\)</span></p>
<div id="máximos-y-mínimos-locales-y-absolutos" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Máximos y mínimos locales y absolutos<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#máximos-y-mínimos-locales-y-absolutos" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Tomando la noción de la derivada como la pendiente de la curva en un punto, se puede ver que en aquellos puntos donde la derivada es cero la tangente es horizontal. Esto implica tres posibilidades para ese punto:
1. La función <span class="math inline">\(f\)</span> tiene un <em>máximo local</em> en ese punto.
2. La función <span class="math inline">\(f\)</span> tiene un <em>mínimo local</em> en ese punto.
3. La función <span class="math inline">\(f\)</span> tiene un punto silla, que no es ni máximo ni mínimo de la función.</p>
<p>Un punto <span class="math inline">\(a\)</span> es un máximo local si para un entorno alrededor, la función toma valores menores a <span class="math inline">\(f(a)\)</span>. Si además <span class="math inline">\(f(a)\)</span> es el máximo de los máximos, decimos que es un <em>máximo absoluto</em>.</p>
<p>Lo inverso ocurre si en <span class="math inline">\(a\)</span> hay un mínimo. Existe un entorno alrededor de él para el cual la función toma valores mayores a <span class="math inline">\(f(a)\)</span>. Si además es el mínimo de los mínimos, la función presenta un <em>mínimo absoluto</em>.</p>
<p>En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de una función que tiene un máximo relativo, un mínimo relativo y un punto silla. El mínimo relativo se encuentra en <span class="math inline">\((1,-2)\)</span>, el máximo relativo en <span class="math inline">\((-1,2)\%\)</span> y el punto silla en <span class="math inline">\((0,0)\)</span>. Se puede observar como en los tres casos la tangente al punto es horizontal (derivada nula). Sin embargo, la función toma valores mayores y menores a los del entorno, por lo que no son extremos absolutos.</p>
<embed src="figuras/ptoscriticos.pdf" width="80%" style="display: block; margin: auto;" type="application/pdf" />
<p>Para hallar si un punto es mínimo o máximo se puede trabajar con dos métodos:</p>
<p><strong>Método de la derivada primera</strong></p>
<ul>
<li><p>Para que un punto sea máximo, los puntos adyacentes a él deben ser menores, a la vez que la pendiente a la izquierda de este será positiva y a la derecha negativa.</p></li>
<li><p>Para que un punto sea mínimo, los puntos adyacentes a él deben ser mayores, a la vez que la pendiente a la izquierda de este será negativa y a la derecha positiva.</p></li>
</ul>
<p>Establecido esto, el criterio de la primera derivada dice que una vez que se encuentra un punto donde <span class="math inline">\(f'(a)=0\)</span> se miran las derivadas a la derecha y a su izquierda, concluyendo que:
- Si a la izqierda la derivada es positiva y a la derecha negativa, el punto es un máximo.
- Si por su parte, a la izquierda del punto la derivada es negativa y a la derecha positiva, el punto es un mínimo.</p>
<p>En el caso que a ambos lados del punto la derivada sea positiva o negativa, no hay ni máximo ni mínimo.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Sea la función <span class="math inline">\(f(x) = 4x^2-8x\)</span>, su derivada es <span class="math inline">\(f'(x) = 8x - 8\)</span>. Para hallar los candidatos a máximos y mínimos, igualamos a cero y obtenemos que <span class="math inline">\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)</span>. Sustituyendo en <span class="math inline">\(f(x)\)</span> obtenemos la otra coordenada del punto, por lo que pasaremos a estudiar si <span class="math inline">\((1,-4)\)</span> es un máximo o un mínimo.</p>
<p>Para ver la derivada a los costados de <span class="math inline">\(x=1\)</span> tomamos un punto a la izquierda (por ejemplo, cero) y otro a la derecha (por ejemplo, dos) y evaluamos el signo de la derivada.
- <span class="math display">\[f'(0) = -8\]</span>
- <span class="math display">\[f'(2) = 8\]</span></p>
<p>Se observa que a la izquierda la derivada es negativa y a la derecha positiva, por lo que el punto <span class="math inline">\((1,-4)\)</span> es un mínimo.</p>
<p><strong>Método de la derivada segunda</strong>
Para utilizar el método de la derivada segunda, se calcula la derivada de <span class="math inline">\(f'(x)\)</span> y se evalúa en <span class="math inline">\(x\)</span>. Si <span class="math inline">\(f''(x)\)</span> es negativa, en <span class="math inline">\(x\)</span> hay un máximo. Por el contrario, si <span class="math inline">\(f''(x)\)</span> es positiva, en <span class="math inline">\(x\)</span> hay un mínimo.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Tomando nuevamente la función <span class="math inline">\(f(x) = 4x^2-8x\)</span>, calculamos su derivada primera y derivada segunda:
<span class="math display">\[f'(x) = 8x - 8 \Rightarrow f''(x) = 8.\]</span> La derivada segunda es la función constante positiva, por lo que en <span class="math inline">\((1,-4)\)</span> la función <span class="math inline">\(f(x)\)</span> presenta un mínimo.</p>
</div>
<div id="proposiciones-importantes-2" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Proposiciones importantes<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#proposiciones-importantes-2" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><strong>Proposición 1: Álgebra de las derivadas</strong>
Sean <span class="math inline">\(f, g: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> derivables en <span class="math inline">\(a\)</span>. Las funciones <span class="math inline">\(f+g, \: f-g, \: f \cdot g, \: \frac{f}{g}\)</span> con <span class="math inline">\(g(a) \neq 0\)</span> son derivables en <span class="math inline">\(a\)</span> y:
1. <span class="math inline">\((f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)\)</span>
2. <span class="math inline">\((f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)\)</span>
3. <span class="math inline">\((f \cdot g)'(a) = f'(a)g(a) + g'(a)f(a)\)</span>
4. <span class="math inline">\((\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) + g'(a)f(a)}{g^2(a)}\)</span></p>
<p><em>Ejemplos:</em>
1. Se tiene <span class="math inline">\(f(x) = x\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = x^2\)</span>, por lo que <span class="math inline">\((f + g)(x) = x + x^2\)</span>. Entonces, la derivada <span class="math inline">\((f + g)'(x) = 1 + 2x\)</span> donde <span class="math inline">\(f'(x)=1\)</span> y <span class="math inline">\(g'(x) = 2x\)</span>.
2. Se tiene <span class="math inline">\(f(x) = e^{x}\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = 4x\)</span>, por lo que <span class="math inline">\((f - g)(x) = e^{x} - 4x\)</span>. Entonces, la derivada <span class="math inline">\((f - g)'(x) = e^{x} - 4\)</span> donde <span class="math inline">\(f'(x)=e^{x}\)</span> y <span class="math inline">\(g'(x) = 4\)</span>.
3. Se tiene <span class="math inline">\(f(x) = e^x\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = x^2\)</span>, por lo que <span class="math inline">\((f \cdot g)(x) = x^2e^{x}\)</span>. Entonces, como <span class="math inline">\(f'(x) = e^{x}\)</span> y <span class="math inline">\(g'(x) = 2x\)</span>, la derivada <span class="math inline">\((f \cdot g)'(x) = x^2e^{x} + 2x e^{x}\)</span>.
4. Se tiene <span class="math inline">\(f(x) = log(x)\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = x^2\)</span>, por lo que <span class="math inline">\((\frac{f}{g})(x) = \frac{e^{x}}{x^2}\)</span>. Entonces, como <span class="math inline">\(f'(x) = \frac{1}{x}\)</span> y <span class="math inline">\(g'(x) = 2x\)</span>, la derivada <span class="math inline">\((\frac{f}{g})'(x) = \frac{\frac{x^2}{x} - 2x log(x)}{x^4}\)</span> que simplificando queda: <span class="math inline">\((\frac{f}{g})'(x) = \frac{1 - 2log(x)}{x^3}\)</span>.</p>
<p>En todos los casos, para obtener la derivada de cada una de las funciones en el punto <span class="math inline">\(a\)</span> se evalua en <span class="math inline">\(x = a\)</span>.</p>
<p><strong>Proposición 2: Regla de la cadena</strong>
Sean <span class="math inline">\(f: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> y <span class="math inline">\(g: \mathbb{Y} \rightarrow \mathbb{R}\)</span>. Además, <span class="math inline">\(a \in X\)</span> y <span class="math inline">\(b\ in Y\)</span>, <span class="math inline">\(f(a) = b\)</span>. Si <span class="math inline">\(f\)</span> es derivable en <span class="math inline">\(a\)</span> y <span class="math inline">\(g\)</span> derivable en <span class="math inline">\(b\)</span>, entonces <span class="math inline">\((g \circ f)'(a) = g'(f(a)).f'(a)\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Sean <span class="math inline">\(f(x) = 4x^2 - 6x - 5\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = x^8\)</span>. La función compuesta <span class="math inline">\(h(x) = (g \circ f)(x) = (4x^2 - 6x -5)^8\)</span>. Aplicando la regla de la cadena, <span class="math inline">\(h'(x)\)</span> será <span class="math inline">\(g'(x)\)</span> evaluada en la función <span class="math inline">\(f\)</span> y luego multiplicada por <span class="math inline">\(f'(x)\)</span>. Se obtiene entonces:
- <span class="math inline">\(g'(x) = 8x^7 \Rightarrow g'(f(x)) = 8(4x^2 - 6x - 5)^7\)</span>
- <span class="math inline">\(f'(x) = 8x - 6\)</span></p>
<p><span class="math display">\[\Rightarrow h'(x) = g'(f(x))f'(x) = 8(4x^2 - 6x - 5)^7(8x - 6).\]</span></p>
<p>Para obtener la derivada en el punto <span class="math inline">\(a\)</span> se evalua en <span class="math inline">\(x = a\)</span>.</p>
</div>
<div id="tabla-de-derivadas" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Tabla de derivadas<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#tabla-de-derivadas" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>A continuación, se presenta una tabla con las derivadas típicas, para facilitar los cálculos. Es importante destacar que tanto <span class="math inline">\(u\)</span> como <span class="math inline">\(v\)</span> son funciones de <span class="math inline">\(x\)</span>, pero se denotan como <span class="math inline">\(u\)</span> y <span class="math inline">\(v\)</span> por simplicidad en la notación.</p>
<table>
<colgroup>
<col width="19%" />
<col width="13%" />
<col width="13%" />
<col width="52%" />
</colgroup>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Simples</th>
<th align="center"></th>
<th align="center"></th>
<th align="center">Compuestas</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center"><em>Función</em></td>
<td align="center"><em>Derivada</em></td>
<td align="center"><em>Función</em></td>
<td align="center"><em>Derivada</em></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(k\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(0\)</span></td>
<td align="center"></td>
<td align="center"></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(x^n\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(nx^{n-1}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u^n\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(nuu'\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{x}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{-1}{x^2}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{u}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{-u'}{u^2}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(\sqrt[n]{x}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{{n-1}\sqrt[n]{x^{n-1}}}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\sqrt[n]{u}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u'}{{n-1}\sqrt[n]{u^{n-1}}}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(e^x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(e^x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(e^u\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u'e^u\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(a^x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(a^x lna\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(a^u\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u'a^u lna\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(ln x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{x}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(ln u\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u'}{u}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(log_a x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{x ln a}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(log_ a u\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u'}{u ln a}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(sen(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(cos(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(sen(u)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u'cos(u)\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(cos(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(-sen(x\)</span><span class="math inline">\()\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(cos(u)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(-u'sen(u)\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(tan(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{1}{cos^2(x)}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(tan(u)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u'}{cos^2(u)}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"></td>
<td align="center"></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u + v\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u' + v'\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"></td>
<td align="center"></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u - v\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u' - v'\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"></td>
<td align="center"></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u \cdot v\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(u'v + uv'\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"></td>
<td align="center"></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u}{v}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div id="derivadas-parciales" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Derivadas parciales<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivadas-parciales" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Para trabajar con derivadas de funciones definidas en intervalos de <span class="math inline">\(\mathbb{R}^n\)</span> con <span class="math inline">\(n > 1\)</span> es necesario definir la <em>derivada parcial</em>. La definición formal para funciones de <span class="math inline">\(\mathbb{R}^2\)</span> dice que:
Sea <span class="math inline">\(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)</span> y <span class="math inline">\((x_0, y_0)\)</span> un punto de <span class="math inline">\(\mathbb{R}^2\)</span>. Se define la derivada parcial de <span class="math inline">\(f\)</span> respecto a la variable <span class="math inline">\(x\)</span> como el siguiente límite (si existe):
<span class="math display">\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h, y_0)-f(x_0, y_0)}{h}.\]</span></p>
<p>La definición es análoga para la derivada parcial de <span class="math inline">\(f\)</span> respecto a la variable <span class="math inline">\(y\)</span>. Se puede definir el límite para todas las variables que tenga la función en caso de ser una función en <span class="math inline">\(\mathbb{R}^n\)</span>.</p>
<p>A nivel práctico, para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se consideran las otras como constantes, que se sabe de secciones previas que su derivada es cero. Se muestran a continuación un ejemplo en <span class="math inline">\(\mathbb{R}^3\)</span>:</p>
<p><em>Ejemplos:</em>{-}
Sea la función <span class="math inline">\(f(x,y,z) = x + xy + z\)</span>. Se calculan las derivadas parciales respecto a las tres variables:
- <span class="math display">\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = 1 + y\]</span> donde la derivada de <span class="math inline">\(z\)</span> es cero porque la consideramos constante y la derivada de <span class="math inline">\(xy\)</span> es <span class="math inline">\(y\)</span> por el mismo motivo.
- <span class="math display">\[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = x.\]</span>
- <span class="math display">\[\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = 1.\]</span></p>
<p><em>Ejemplo de uso:</em>{-}
Se decide ahora complejizar el modelo del que depende el crecimiento de las vacas para acercarse más a la realidad. Se considerará, además la cantidad de alimento suministrado por día (que será una función de <span class="math inline">\(x\)</span>), las condiciones ambientales, como temperatura y humedad (que serán una función de <span class="math inline">\(y\)</span>).</p>
<p>Se tiene entonces que el crecimiento <span class="math inline">\(C\)</span> depende de <span class="math inline">\(x\)</span> e <span class="math inline">\(y\)</span> de la siguiente forma:
<span class="math display">\[C(x,y) = e^{3x} + y^3\]</span>.</p>
<p>Esta ecuación nos dice que el crecimiento queda ligado a la cantidad de alimento mediante una función exponencial y a las condiciones ambientales por una función polinómica.</p>
<p>La tasa de crecimiento dependiendo de cada una de estas variables se calculará a partir de las derivadas parciales. Se podrá obtener la tasa de crecimiento asociado a la variación de la cantidad de alimento calculando <span class="math inline">\(\frac{\partial C}{\partial x} = 3x^2e^{3x}\)</span> y la tasa asociada a las condiciones climáticas calculando <span class="math inline">\(\frac{\partial C}{\partial y} = 3y^2\)</span>. Para calcular cada una de las derivadas, se considera constante la variable que no es de interés.</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="integrales" class="section level2 unnumbered hasAnchor">
<h2>INTEGRALES<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integrales" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>El cálculo integral se utiliza fundamentalmente con dos fines: el primero consiste en la obtención de la función original a partir de su derivada (integral indefinida o primitiva) o bien obtener el área comprendida bajo una curva (integral definida).</p>
<div id="integral-indefinida-o-primitiva" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Integral indefinida o Primitiva<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integral-indefinida-o-primitiva" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sea <span class="math inline">\(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)</span>, se dice que <span class="math inline">\(F\)</span> es una primitiva de <span class="math inline">\(f\)</span> si <span class="math inline">\(F'(x) = f(x), \: a \leq x \leq b\)</span>. Si <span class="math inline">\(F_1\)</span> y <span class="math inline">\(F_2\)</span> son dos primitivas de <span class="math inline">\(f\)</span>, <span class="math inline">\(F_1 = F_2 + \mathbb{C}\)</span>. Esto implica que una función tiene infinitas primitivas que difieren únicamente por una constante.</p>
<p>Se define entonces la integral indefinida cómo:
<span class="math display">\[\int f(x) \: dx = F(x) + k.\]</span></p>
<p>De las definiciones anteriores se puede considerar a la integral como la operación inversa de la derivada o <em>antiderivada</em>. A continuación se presenta una tabla con las primitivas más comunes, donde se puede hacer la comparación con la tabla de derivadas previa para confirmar la idea de “antiderivada”.</p>
<table>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center"><span class="math inline">\(f(x)\)</span></th>
<th align="center"><span class="math inline">\(F(x)\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(k\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(kx + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(kx^n\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{kx^{n+1}}{n+1} + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(kx^{-1}\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(kln|x| + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(e^x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(e^x + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(a^x\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{a^x}{ln(a)} + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(sen(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(-cos(x) + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center"><span class="math inline">\(cos(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(sen(x) + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center"><span class="math inline">\(tan(x)\)</span></td>
<td align="center"><span class="math inline">\(-ln|cos(x)| + \mathbb{C}\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div id="integral-definida" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Integral definida<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integral-definida" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Cuando se quiere hallar el área algebraica que hay debajo de una curva se trabaja con la integral definida, que se expresa de la siguiente forma: <span class="math inline">\(\int_a^b f(x) \: dx\)</span>, donde <span class="math inline">\([a,b]\)</span> es el intervalo de integración. Se define como área algebraica el número real positivo o negativo obtenido contando con un signo positivo las áreas por arriba del eje x, mientras que son negativas las áreas por debajo de este.</p>
<p>Para hallar el área debajo de la curva <span class="math inline">\(f\)</span> se usa el método de Riemann que consiste en aproximar la región de la curva por regiones rectangulares más pequeñas. El área total se calcula sumando el área de cada uno de estos rectángulos. Se calcula el área por defecto (la altura del rectángulo está determinada por el mínimo entre <span class="math inline">\(f(a)\)</span> y <span class="math inline">\(f(b)\)</span>) y por exceso (la altura del rectángulo está determinada por el máximo entre <span class="math inline">\(f(a)\)</span> y <span class="math inline">\(f(b)\)</span>). Tomando particiones cada vez más angostas, las áreas por exceso y defecto se asemejan cada vez más al área real de la curva y se dice que una función es integrable si estas áreas coinciden. Finalmente, se puede definir el área de la función como el límite de la suma de las áreas de las aproximaciones con el ancho de los intervalos teniendo a cero.</p>
</div>
<div id="relación-entre-primitiva-e-integral-definida" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Relación entre Primitiva e Integral definida<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#relación-entre-primitiva-e-integral-definida" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>El segundo teorema fundamental del cálculo dice:</p>
<p>Sea <span class="math inline">\(f\)</span> continua en un intervalo abierto <span class="math inline">\(I\)</span>, <span class="math inline">\(F\)</span> una primitiva cualquiera y <span class="math inline">\(a, \: b\)</span> dos puntos cualesquiera dentro de <span class="math inline">\(I\)</span>. Para todo <span class="math inline">\(a\)</span> y <span class="math inline">\(b\)</span>, <span class="math inline">\(F(b) = F(a) + \int_a^{b} f(x) \: dx\)</span>.</p>
<p>Despejando la integral de la igualdad anterior, se puede calcular su valor como una simple substracción entre la primitiva evaluada en dos puntos de interés, por lo que el problema de integración pasa a ser cómo hallar la primitiva de la función objetivo.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>{-}
La tasa de consumo de alimento de una vaca en un día está dada por una función <span class="math inline">\(f(t)\)</span>, donde <span class="math inline">\(t\)</span> representa el tiempo en días. Queremos determinar la cantidad total de alimento consumido por todas las vacas en el rebaño durante un mes, que es equivalente a calcular el área bajo la curva de la función <span class="math inline">\(f(t)\)</span> durante ese período de tiempo y luego multiplicarlo por la cantidad de vacas.</p>
<p>Para eso primero se calcula la primitiva de <span class="math inline">\(f(t)\)</span>, obteniendo la función <span class="math inline">\(F(t)\)</span> para cualquier periodo de tiempo.
Si consideramos un mes de treinta días, calculamos luego la integral definida en el intervalo <span class="math inline">\([0,30]\)</span> para así obtener la función deseada. Para eso, utilizamos la expresión que vincula la integral definida con su primitiva, evaluando <span class="math inline">\(F(t)\)</span> en <span class="math inline">\(t=0\)</span> y <span class="math inline">\(t=30\)</span>.</p>
</div>
<div id="métodos-de-integración" class="section level3 unnumbered hasAnchor">
<h3>Métodos de integración<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#métodos-de-integración" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>A continuación se realiza una breve descripción de distintos métodos para calcular integrales.</p>
<div id="integración-por-sustitución" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Integración por sustitución<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integración-por-sustitución" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sea <span class="math inline">\(g\)</span> una función derivable y <span class="math inline">\(F\)</span> una primitiva de <span class="math inline">\(f\)</span>. Si <span class="math inline">\(u = g(x)\)</span>
<span class="math inline">\(\Rightarrow \int f(g(x))g'(x) \: dx = \int f(u) \: du = F(u) + C = F(g(x)) + C\)</span>.</p>
<p>Esto implica que si la función a integrar es una función compuesta y está multiplicada por su derivada, se puede hacer un cambio de variable sencillo para simplificar el cálculo de la primitiva. Si se tiene una integral definida en el intervalo <span class="math inline">\((a,b)\)</span> los extremos de integración pasan a ser <span class="math inline">\((g(a), g(b))\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em></p>
<p>Se quiere calcular la integral:
<span class="math display">\[\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2xcos(x^2) \: dx.\]</span></p>
<p>Se observa que tomando <span class="math inline">\(g(x) = x^2\)</span>, que tiene como derivada <span class="math inline">\(3x^2\)</span> podemos expresar la integral para aplicar el método de sustitución. Realizando el cambio de variable <span class="math inline">\(u = g(x)\)</span>, <span class="math inline">\(g'(x) dx = du\)</span> y cambiando los límites de integración a <span class="math inline">\((0, \pi)\)</span> (que resultan de calcular <span class="math inline">\(g(2)\)</span> y <span class="math inline">\(g(4)\)</span>), se obtiene:
<span class="math display">\[\int_0^{\pi} cos(u) \: du= sen(\pi) - sen(0) = 0.\]</span></p>
</div>
<div id="integración-por-partes" class="section level4 unnumbered hasAnchor">
<h4>Integración por partes<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integración-por-partes" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>De la expresión de la derivada del producto, se puede deducir otra forma de calcular una integral que se denomina <em>Integración por partes</em>. Si se quiere calcular la integral de una función <span class="math inline">\(k(x)\)</span>, se buscaran dos funciones <span class="math inline">\(f\)</span> y <span class="math inline">\(g\)</span> tales que <span class="math inline">\(k\)</span> se pueda expresar como el producto de <span class="math inline">\(f\)</span> y <span class="math inline">\(g'\)</span>. La integral entonces de <span class="math inline">\(f \cdot g'\)</span> se puede calcular a partir de la siguiente expresión:
<span class="math display">\[\int f(x) \cdot g'(x) \: dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \: dx + \mathbb{C}.\]</span></p>
<p>En el caso de una integral definida, la expresión a calcular es:
<span class="math display">\[\int_a^b f(x) \cdot g'(x) \: dx = \left. f(x)g(x) \right|_a^b- \int_a^b f'(x) g(x) \: dx + \mathbb{C}\]</span></p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Calcular la primitiva de <span class="math inline">\(\int xsen(x) \: dx\)</span>.</p>
<p>En primera instancia debe elegirse cual será la función <span class="math inline">\(f\)</span> y cual será <span class="math inline">\(g'\)</span>. Es importante aclarar que la elección de estas funciones es a conveniencia del lector, considerando cual de las opciones tiene primitiva más simple de hallar. En este caso, es simple calcular la primitiva de cualquiera de las dos funciones, por lo que la elección es indistinta. Se elige <span class="math inline">\(f(x) = x\)</span> y <span class="math inline">\(g'(x) = sen(x)\)</span>.</p>
<p>Se procede a calcular <span class="math inline">\(f'(x) = 1\)</span> y <span class="math inline">\(g(x) = -cos(x)\)</span> (se deduce de la tabla), para luego aplicar la función de integración por partes:
<span class="math display">\[\int xsen(x) \: dx = -xcos(x) - \int -cos(x) + \mathbb{C} = -xcos(x) + sen(x) + \mathbb{C}\]</span></p>
<p>donde en el último paso se calculó la integral del <span class="math inline">\(cos(x)\)</span> a partir de la tabla de primitivas típicas.</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="ecuaciones-diferenciales" class="section level2 unnumbered hasAnchor">
<h2>ECUACIONES DIFERENCIALES<a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#ecuaciones-diferenciales" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Una <em>ecuación diferencial</em> es una igualdad en la que la incógnita es una función desconocida <span class="math inline">\(y\)</span> (derivable hasta orden <span class="math inline">\(k\)</span>) y en la que aparece alguna de las derivadas de la función desconocida. El orden de la ecuación queda determinado por el orden de la máxima derivada que aparece. Por ejemplo, es de orden uno si la única derivada que aparece es la derivada primera, de orden dos si aparece la derivada segunda (independientemente de si está la derivada primera o no). Son ecuaciones utilizadas para modelar muchos problemas físicos del mundo real, por ejemplo, las oscilaciones de un péndulo.</p>
<p>Una <em>ecuación diferencial ordinaria</em> tiene como función incógnita una función que depende únicamente de una variable, por lo que <span class="math inline">\(y = f(x)\)</span>. Por otra parte, las <em>ecuaciones diferenciales en derivadas parciales</em> tienen como función incógnita una función que depende de más de una variable, por ejemplo, <span class="math inline">\(y = f(x,y)\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplos:</em>
A continuación, se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que modelan problemas físicos. En cada caso se detalla si la ecuación es ordinaria o parcial y el orden.</p>
<table>
<colgroup>
<col width="42%" />
<col width="28%" />
<col width="18%" />
<col width="10%" />
</colgroup>
<thead>
<tr class="header">
<th align="center">Problema</th>
<th align="center">Ecuación</th>
<th align="center">Tipo</th>
<th align="center">Orden</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td align="center">Movimiento circular uniforme</td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{d \theta (t)}{dt}\)</span> <span class="math inline">\(= \omega\)</span></td>
<td align="center">Ordinaria</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">Movimiento armónico simple</td>
<td align="center"><span class="math inline">\(y''+k^2y=0\)</span></td>
<td align="center">Ordinaria</td>
<td align="center">2</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td align="center">Ecuación del calor en una barra infinita</td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)</span></td>
<td align="center">Parcial</td>
<td align="center">2</td>
</tr>
<tr class="even">
<td align="center">Ecuación de la cuerda</td>
<td align="center"><span class="math inline">\(\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)</span></td>
<td align="center">Parcial</td>
<td align="center">2</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><em>Ejemplo de ecuación diferencial de primer orden con solución:</em> {-}</p>
<p>Se tiene una población de vacas y se quiere modelar en crecimiento de la misma. Para eso, se utiliza el modelo Malthus desarrollado en 1798 que relaciona el crecimiento de la población con su mortalidad y natalidad, de acuerdo a la siguiente ecuación: <span class="math inline">\(\frac{dP(t)}{dt} = mP(t) - nP(t)\)</span>. <span class="math inline">\(P(t)\)</span> es el número de invidividuos mientras que <span class="math inline">\(m\)</span> y <span class="math inline">\(n\)</span> la natalidad y mortalidad respectivamente. Reescribiendo y denominando <span class="math inline">\(m-n = r\)</span>, se obtiene <span class="math inline">\(\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)\)</span>.</p>
<p>Para hallar la solución a la ecuación, se llevan a un lado todas los términos dependientes del tiempo, obteniendo así que <span class="math inline">\(\frac{dP(t)}{dt}\frac{1}{P(t)} = r\)</span>. Integrando a ambos lados de la ecuación, se llega a que <span class="math inline">\(ln(P(t)) + c = {rt}\)</span> y aplicando la ecuación inversa al logaritmo a ambos lados de la ecuación se obtiene:
<span class="math display">\[P(t) = ce^{rt}\]</span>.</p>
<p><em>Ejemplo de ecuación diferencial de segundo orden con solución:</em> {-}</p>
</div>
</div>
</section>
</div>
</div>
</div>
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</div>
</div>
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