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<title>Apéndice C: ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA | Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</title>
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<ul class="summary">
<li><a href="./">Genética II</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Prefacio</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#nuestra-filosofía-del-no-tanto"><i class="fa fa-check"></i>Nuestra filosofía del NO (tanto)</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#qué-es-y-qué-no-es-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>¿Qué ES y qué NO ES este libro?</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#bibliografía-recomendada-para-este-curso"><i class="fa fa-check"></i>Bibliografía recomendada para este curso</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#responsabilidades-y-agradecimientos"><i class="fa fa-check"></i>Responsabilidades y Agradecimientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html#íconos-utilizados-en-este-libro"><i class="fa fa-check"></i>Íconos utilizados en este libro</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte I: Genómica</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="intro.html"><a href="intro.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Introducción a la Genómica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="intro.html"><a href="intro.html#variabilidad-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> Variabilidad genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-composicional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Genómica composicional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-comparativa"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Genómica comparativa</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="intro.html"><a href="intro.html#genómica-funcional"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Genómica funcional</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="intro.html"><a href="intro.html#conclusión"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="intro.html"><a href="intro.html#actividades"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte II: Genética de Poblaciones</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Variación y equilibrio de Hardy-Weinberg</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-dioicas-dos-sexos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Hardy-Weinberg en especies dioicas (dos sexos)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#heterocigotas-freq-alelica"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> H-W: la frecuencia de heterocigotas en función de la frecuencia alélica</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-equilibrio-de-hardy-weinberg-en-cromosomas-ligados-al-sexo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> El equilibrio de Hardy-Weinberg en cromosomas ligados al sexo</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#tres-o-más-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Tres o más alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#la-estimación-de-frecuencias-y-el-equilibrio-o-no"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> La estimación de frecuencias y el equilibrio (o no)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#el-sistema-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> El sistema ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#dónde-se-esconden-los-alelos-recesivos"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> ¿Dónde se “esconden” los alelos recesivos?</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#hardy-weinberg-en-especies-poliploides"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Hardy-Weinberg en especies poliploides</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#geometría-y-genética-los-diagramas-de-de-finetti"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Geometría y Genética: los diagramas de <em>de Finetti</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#estimacion-abo"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> La estimación de frecuencias en el locus ABO</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.12" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#conclusión-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.12</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.13" data-path="variacion.html"><a href="variacion.html#actividades-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.13</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Deriva genética</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-los-procesos-estocásticos-en-la-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> El rol de los procesos estocásticos en la genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> El modelo de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-rol-de-la-subdivisión-poblacional-en-la-evolución-de-las-frecuencias-alélicas"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> El rol de la subdivisión poblacional en la evolución de las frecuencias alélicas</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#cadenas-de-markov"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Cadenas de Markov</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#tamaño-efectivo-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Tamaño efectivo poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#aproximación-de-difusión"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Aproximación de difusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#probabilidad-de-fijación-y-tiempos-de-fijación"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Probabilidad de fijación y tiempos de fijación</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.8" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#el-modelo-coalescente"><i class="fa fa-check"></i><b>3.8</b> El modelo coalescente</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.9" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#conclusión-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.10" data-path="deriva.html"><a href="deriva.html#actividades-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Selección natural</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-concepto-de-fitness"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> El concepto de “<em>fitness</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#selección-natural-en-el-modelo-de-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Selección natural en el modelo de un locus con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#diferentes-formas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Diferentes formas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#el-teorema-fundamental-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> El teorema fundamental de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-mutación"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Equilibrio selección-mutación</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#la-fuerza-de-la-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> La fuerza de la selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#equilibrio-selección-deriva"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Equilibrio selección-deriva</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#otros-tipos-de-selección-y-complejidades"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Otros tipos de selección y complejidades</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#conclusión-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.10" data-path="seleccion.html"><a href="seleccion.html#actividades-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Dinámica de 2 <em>loci</em></a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#desequilibrio-de-ligamiento-y-recombinación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Desequilibrio de ligamiento y recombinación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#la-evolución-en-el-tiempo-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> La evolución en el tiempo del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#otras-medidas-de-asociación"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Otras medidas de asociación</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#selección-en-modelos-de-dos-loci"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Selección en modelos de dos <em>loci</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#arrastre-genético-genetic-hitchhiking-o-genetic-draft"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Arrastre genético (“<em>genetic hitchhiking</em>” o “<em>genetic draft</em>”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#causas-del-desequilibrio-de-ligamiento"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Causas del desequilibrio de ligamiento</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#conclusión-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="dosloci.html"><a href="dosloci.html#actividades-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Apareamientos no-aleatorios</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-concepto-de-identidad-por-ascendencia-ibd"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> El concepto de “identidad por ascendencia” (IBD)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#generalización-de-hardy-weinberg-para-apareamientos-no-aleatorios"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Generalización de Hardy-Weinberg para apareamientos no-aleatorios</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#f-como-correlación-entre-gametos-unidos"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> <span class="math inline">\(F\)</span> como correlación entre gametos unidos</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#endocría-y-depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Endocría y depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#un-caso-extremo-la-autogamia"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Un caso extremo: la autogamia</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-coeficiente-de-endocría-y-los-estadísticos-f"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> El coeficiente de endocría y los estadísticos <em>F</em></a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#el-efecto-wahlund"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> El efecto Wahlund</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#subdivisión-migración-y-el-modelo-de-islas"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Subdivisión, migración y el modelo de islas</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#mecanismos-de-especiación"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Mecanismos de especiación</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#conclusión-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.11" data-path="aparnoalazar.html"><a href="aparnoalazar.html#actividades-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Genética de poblaciones microbianas</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-y-mecanismos-de-herencia-en-procariotas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Genómica y mecanismos de herencia en procariotas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#dinámica-de-las-poblaciones-bacterianas"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Dinámica de las poblaciones bacterianas</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#modelos-haploides-de-selección-natural"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Modelos haploides de selección natural</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#los-modelos-de-moran-y-de-fisión-vs-el-de-wright-fisher"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Los modelos de Moran y de fisión <em>vs</em> el de Wright-Fisher</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.5" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#el-rol-de-la-transferencia-horizontal"><i class="fa fa-check"></i><b>7.5</b> El rol de la transferencia horizontal</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.6" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#seleccionismo-vs-neutralismo-los-procariotas-en-el-debate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.6</b> Seleccionismo <em>vs</em> neutralismo: los procariotas en el debate</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.7" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genómica-poblacional"><i class="fa fa-check"></i><b>7.7</b> Genómica poblacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.8" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#genes-de-resistencia"><i class="fa fa-check"></i><b>7.8</b> Genes de resistencia</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.9" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#introducción-a-la-epidemiología-modelos-compartimentales"><i class="fa fa-check"></i><b>7.9</b> Introducción a la epidemiología: modelos compartimentales</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.10" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#conclusión-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.11" data-path="microbial.html"><a href="microbial.html#actividades-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="part"><span><b>Parte III: Genética Cuantitativa</b></span></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> El modelo genético básico</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#variación-continua-y-discreta"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Variación continua y discreta</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> El modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#modelo-genético-básico-un-locus-con-dos-alelos"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Modelo genético básico: un <em>locus</em> con dos alelos</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.4" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#efecto-medio"><i class="fa fa-check"></i><b>8.4</b> Efecto medio</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.5" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#valor-reproductivo-o-valor-de-cría"><i class="fa fa-check"></i><b>8.5</b> Valor reproductivo (o valor de cría)</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.6" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#desvío-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>8.6</b> Desvío de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.7" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#interacción-genotipo-x-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>8.7</b> Interacción Genotipo x Ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.8" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#la-varianza-en-el-modelo-genético-básico"><i class="fa fa-check"></i><b>8.8</b> La varianza en el modelo genético básico</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.9" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#conclusión-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.9</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.10" data-path="modelogenbas.html"><a href="modelogenbas.html#actividades-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.10</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Parentesco y semejanza entre parientes</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-1"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Parentesco</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-aditivo"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Parentesco aditivo</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Parentesco de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#semejanza-entre-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Semejanza entre parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.5" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estimación-de-las-varianzas-aditiva-y-de-dominancia"><i class="fa fa-check"></i><b>9.5</b> Estimación de las varianzas aditiva y de dominancia</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.6" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#parentesco-genómico"><i class="fa fa-check"></i><b>9.6</b> Parentesco genómico</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.7" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#estudios-de-ascendencia-ancestría"><i class="fa fa-check"></i><b>9.7</b> Estudios de ascendencia (“ancestría”)</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.8" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#conclusión-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.9" data-path="parentesco.html"><a href="parentesco.html#actividades-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Parámetros genéticos: heredabilidad y repetibilidad</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Heredabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-sentido-amplio-y-sentido-estricto"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Heredabilidad en sentido amplio y sentido estricto</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-lograda"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Heredabilidad lograda</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-poblaciones-agronómicas-y-de-laboratorio-vs-poblaciones-naturales"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Heredabilidad en poblaciones agronómicas y de laboratorio vs poblaciones naturales</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-y-filogenética"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Heredabilidad y filogenética</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#heredabilidad-en-la-era-genómica"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> Heredabilidad en la era genómica</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#métodos-más-avanzados-de-estimación"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Métodos más avanzados de estimación</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#repetibilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Repetibilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#la-repetibilidad-como-herramienta-en-la-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> La repetibilidad como herramienta en la predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.10" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#evolucionabilidad"><i class="fa fa-check"></i><b>10.10</b> Evolucionabilidad</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.11" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#conclusión-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.11</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.12" data-path="pargen.html"><a href="pargen.html#actividades-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.12</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html"><i class="fa fa-check"></i><b>11</b> Selección Artificial I</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="11.1" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#factores-de-corrección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.1</b> Factores de corrección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.2" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#la-respuesta-a-la-selección-y-su-predicción"><i class="fa fa-check"></i><b>11.2</b> La respuesta a la selección y su predicción</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.3" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#diferencial-de-selección-e-intensidad-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>11.3</b> Diferencial de selección e intensidad de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.4" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intensidad-de-selección-y-proporción-seleccionada"><i class="fa fa-check"></i><b>11.4</b> Intensidad de selección y proporción seleccionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.5" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#intervalo-generacional"><i class="fa fa-check"></i><b>11.5</b> Intervalo generacional</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.6" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#medidas-de-la-respuesta"><i class="fa fa-check"></i><b>11.6</b> Medidas de la respuesta</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.7" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#progreso-genético-generacional-y-anual"><i class="fa fa-check"></i><b>11.7</b> Progreso genético generacional y anual</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.8" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#cambio-en-las-frecuencias-alélicas-bajo-selección-artificial"><i class="fa fa-check"></i><b>11.8</b> Cambio en las frecuencias alélicas bajo selección artificial</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.9" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#el-diferencial-de-selección-direccional-y-la-identidad-de-robertson-price"><i class="fa fa-check"></i><b>11.9</b> El diferencial de selección direccional y la identidad de Robertson-Price</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.10" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#conclusión-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.10</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="11.11" data-path="selartifI.html"><a href="selartifI.html#actividades-10"><i class="fa fa-check"></i><b>11.11</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="12" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html"><i class="fa fa-check"></i><b>12</b> Correlaciones y respuesta correlacionada</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="12.1" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#causas-genéticas-y-ambientales-de-las-correlaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>12.1</b> Causas genéticas y ambientales de las correlaciones</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.2" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#introducción-al-path-analysis"><i class="fa fa-check"></i><b>12.2</b> Introducción al “<em>path analysis</em>”</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.3" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#métodos-para-determinar-la-correlación-genética"><i class="fa fa-check"></i><b>12.3</b> Métodos para determinar la correlación genética</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.4" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-correlación-fenotípica-y-su-relación-con-la-correlación-genética-aditiva-y-ambiental"><i class="fa fa-check"></i><b>12.4</b> La correlación fenotípica y su relación con la correlación genética aditiva y ambiental</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.5" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#respuesta-correlacionada"><i class="fa fa-check"></i><b>12.5</b> Respuesta correlacionada</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.6" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#matrices-de-varianza-covarianza"><i class="fa fa-check"></i><b>12.6</b> Matrices de varianza-covarianza</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.7" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#la-forma-generalizada-de-la-ecuación-del-criador"><i class="fa fa-check"></i><b>12.7</b> La forma generalizada de la ecuación del criador</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.8" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#conclusión-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.8</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="12.9" data-path="correlacionada.html"><a href="correlacionada.html#actividades-11"><i class="fa fa-check"></i><b>12.9</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="13" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html"><i class="fa fa-check"></i><b>13</b> Selección Artificial II</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="13.1" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#criterios-y-objetivos-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.1</b> Criterios y objetivos de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.2" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#selección-basada-en-un-solo-tipo-de-fuente-de-información"><i class="fa fa-check"></i><b>13.2</b> Selección basada en un solo tipo de fuente de información</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.3" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#combinando-la-información-proporcionada-por-diferentes-tipos-de-parientes"><i class="fa fa-check"></i><b>13.3</b> Combinando la información proporcionada por diferentes tipos de parientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.4" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-de-selección-para-varias-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.4</b> Métodos de selección para varias características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.5" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#índices-de-selección-para-múltiples-características"><i class="fa fa-check"></i><b>13.5</b> Índices de selección para múltiples características</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.6" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#métodos-y-técnicas-avanzadas-de-selección"><i class="fa fa-check"></i><b>13.6</b> Métodos y técnicas avanzadas de selección</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.7" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#conclusión-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.7</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="13.8" data-path="selartifII.html"><a href="selartifII.html#actividades-12"><i class="fa fa-check"></i><b>13.8</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="14" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html"><i class="fa fa-check"></i><b>14</b> Endocría, exocría, consanguinidad y depresión endogámica</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="14.1" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-aumento-de-la-consanguinidad-a-partir-del-número-de-individuos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.1</b> El aumento de la consanguinidad a partir del número de individuos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.2" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#el-coeficiente-de-consanguinidad-en-razas-lecheras"><i class="fa fa-check"></i><b>14.2</b> El coeficiente de consanguinidad en razas lecheras</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.3" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#depresión-endogámica"><i class="fa fa-check"></i><b>14.3</b> Depresión endogámica</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.4" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#exocría-y-heterosis"><i class="fa fa-check"></i><b>14.4</b> Exocría y heterosis</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.5" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#modelo-genético-de-cruzamientos"><i class="fa fa-check"></i><b>14.5</b> Modelo genético de cruzamientos</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.6" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#conclusión-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="14.7" data-path="endoexo.html"><a href="endoexo.html#actividades-13"><i class="fa fa-check"></i><b>14.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="15" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html"><i class="fa fa-check"></i><b>15</b> Normas de reacción e interacción genotipo x ambiente</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.1" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#plasticidad-fenotípica-y-normas-de-reacción"><i class="fa fa-check"></i><b>15.1</b> Plasticidad fenotípica y normas de reacción</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.2" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#interacción-gxe-en-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.2</b> Interacción GxE en dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.3" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#correlación-genética-a-través-de-dos-ambientes"><i class="fa fa-check"></i><b>15.3</b> Correlación genética a través de dos ambientes</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.4" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#genética-cuantitativa-de-la-interacción-gxe"><i class="fa fa-check"></i><b>15.4</b> Genética cuantitativa de la interacción GxE</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.5" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#otros-ejemplos-de-interacción-genotipo-ambiente"><i class="fa fa-check"></i><b>15.5</b> Otros ejemplos de interacción genotipo-ambiente</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.6" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#conclusión-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.6</b> Conclusión</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.7" data-path="GxE.html"><a href="GxE.html#actividades-14"><i class="fa fa-check"></i><b>15.7</b> Actividades</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice A: CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.8" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#fracciones"><i class="fa fa-check"></i><b>15.8</b> FRACCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.9" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#proporcionalidad"><i class="fa fa-check"></i><b>15.9</b> PROPORCIONALIDAD</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.10" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#cifras-significativas-y-redondeo"><i class="fa fa-check"></i><b>15.10</b> CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.11" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#notación-científica"><i class="fa fa-check"></i><b>15.11</b> NOTACIÓN CIENTÍFICA</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.12" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#ecuaciones"><i class="fa fa-check"></i><b>15.12</b> ECUACIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.13" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#funciones"><i class="fa fa-check"></i><b>15.13</b> FUNCIONES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.14" data-path="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html"><a href="apéndice-a-conceptos-matemáticos-básicos.html#sumatoria-y-productoria"><i class="fa fa-check"></i><b>15.14</b> SUMATORIA Y PRODUCTORIA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice B: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.15" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#límites"><i class="fa fa-check"></i><b>15.15</b> LÍMITES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.16" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#derivadas"><i class="fa fa-check"></i><b>15.16</b> DERIVADAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.17" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#integrales"><i class="fa fa-check"></i><b>15.17</b> INTEGRALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.18" data-path="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html"><a href="apéndice-b-cálculo-diferencial-e-integral.html#ecuaciones-diferenciales"><i class="fa fa-check"></i><b>15.18</b> ECUACIONES DIFERENCIALES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice C: ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.19" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#matrices"><i class="fa fa-check"></i><b>15.19</b> MATRICES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.20" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#norma-producto-escalar-y-producto-vectorial"><i class="fa fa-check"></i><b>15.20</b> NORMA, PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.21" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#agregar-imagen-vectores"><i class="fa fa-check"></i><b>15.21</b> AGREGAR IMAGEN VECTORES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.22" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#transformaciones-lineales"><i class="fa fa-check"></i><b>15.22</b> TRANSFORMACIONES LINEALES</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.23" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#valores-y-vectores-propios"><i class="fa fa-check"></i><b>15.23</b> VALORES Y VECTORES PROPIOS</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.24" data-path="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html"><a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#derivada-de-la-forma-cuadrática"><i class="fa fa-check"></i><b>15.24</b> DERIVADA DE LA FORMA CUADRÁTICA</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><i class="fa fa-check"></i>Apéndice D: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="15.25" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#probabilidad-y-conteo"><i class="fa fa-check"></i><b>15.25</b> PROBABILIDAD Y CONTEO</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.26" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#variables-aleatorias"><i class="fa fa-check"></i><b>15.26</b> VARIABLES ALEATORIAS</a></li>
<li class="chapter" data-level="15.27" data-path="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html"><a href="apéndice-d-probabilidad-y-estadística.html#estimadores"><i class="fa fa-check"></i><b>15.27</b> ESTIMADORES</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="16" data-path="bibliografia.html"><a href="bibliografia.html"><i class="fa fa-check"></i><b>16</b> Bibliografía</a></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Introducción a la Genética de Poblaciones y a la Genética Cuantitativa</a>
</h1>
</div>
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<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica" class="section level1 unnumbered hasAnchor">
<h1>Apéndice C: ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<div id="matrices" class="section level2 hasAnchor" number="15.19">
<h2><span class="header-section-number">15.19</span> MATRICES<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Se define una matriz <span class="math inline">\(A\)</span> de <span class="math inline">\(m\)</span> filas y <span class="math inline">\(n\)</span> columnas (<span class="math inline">\(m \times n\)</span>) como una función <span class="math inline">\(A: {1,...,m} \times {1,...,n} \rightarrow \mathbb{R}\)</span> con entradas <span class="math inline">\(a_{ij}\)</span> donde la <span class="math inline">\(i\)</span> indica a qué fila pertenece y la <span class="math inline">\(j\)</span> la columna. Se reprensenta de la siguiente forma:</p>
<p><span class="math display">\[A = \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix}\]</span></p>
<p><em>Ejemplo:</em></p>
<p><span class="math display">\[A = \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \end{matrix}\]</span>
Matriz de <span class="math inline">\(3 \times 4\)</span>, tres filas y cuatro columnas.</p>
<div id="relación-con-los-sistemas-de-ecuaciones" class="section level3 hasAnchor" number="15.19.1">
<h3><span class="header-section-number">15.19.1</span> Relación con los sistemas de ecuaciones<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#relación-con-los-sistemas-de-ecuaciones" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sea el sistema de ecuaciones
<span class="math display">\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots\\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\]</span></p>
<p>se le llama <em>matriz del sistema de ecuaciones</em> a la matriz <span class="math inline">\(A\)</span> de dimensión <span class="math inline">\((m,n)\)</span> que contiene los coeficientes del mismo:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix}\]</span></p>
<p>y <em>matriz ampliada del sistema</em> a la matriz de dimensión <span class="math inline">\((m,n+1)\)</span> que contiene los coeficientes y el término independiente:
<span class="math display">\[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} | \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\]</span></p>
<p><em>Ejemplo:</em>
El sistema de ecuaciones
<span class="math display">\[\begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 3x + 6y - 5z = 0 \\
2x + 4y - 3z = 1 \end{cases}\]</span></p>
<p>La matriz del sistema de ecuaciones en este caso es:
<span class="math display">\[A = \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \\ 2 & 4 & -3 \end{matrix}\]</span></p>
<p>y la matriz ampliada es:
<span class="math display">\[A = \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \\ 2 & 4 & -3 \end{matrix} | \begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\]</span></p>
<p>A partir de la matriz ampliada se puede aplicar un método sencillo para resolver el sistema de ecuaciones. Aplicando transformaciones elementales (interamcio, suma y resta entre filas de la matriz), se puede llevar la matriz a su formato <em>escalerizado</em> y así despejar las incógnitas del sistema. Una matriz se encuentra escalerizada si cumple con las siguientes condiciones:
1. Todas las filas, salvo (quizás) la primera, comienzan con una sucesión de ceros.
2. Cada fila tiene al principio por lo menos un cero más que la fila inmediata superior.</p>
<p>Se deja para el lector revisar a fondo la bibliografía sobre el método de escalerización, cómo realizarlo y cómo usarlo para resolver el sistema de ecuaciones.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Se muestra a continuación un ejemplo de matriz escalerizada:
<span class="math display">\[E = \begin{matrix} 3 & 6 & -5 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & -3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{matrix} | \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \\-2 \\ 1 \end{matrix}\]</span></p>
</div>
<div id="álgebra-de-matrices" class="section level3 hasAnchor" number="15.19.2">
<h3><span class="header-section-number">15.19.2</span> Álgebra de matrices<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#álgebra-de-matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>A continuación se definiran algunas operaciones con matrices.</p>
<div id="suma-de-matrices" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.1">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.1</span> Suma de matrices:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#suma-de-matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sean A y B dos matrices de <span class="math inline">\(m \times n\)</span> con coeficientes <span class="math inline">\((a_{ij})\)</span> y <span class="math inline">\((b_{ij})\)</span>, <span class="math inline">\(i = 0,...,m\)</span>, <span class="math inline">\(j = 0,...,n\)</span>. Se define la suma de matrices <span class="math inline">\((+)\)</span> de manera que <span class="math inline">\(A+B = C\)</span> con <span class="math inline">\(C\)</span> de coeficientes <span class="math inline">\((c_{ij})\)</span> y <span class="math inline">\(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)</span>. Es importante notar que para sumar dos matrices, deben ser de la misma dimensión.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
La suma de las matrices <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)</span> y <span class="math inline">\(B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)</span> da como resultado la matriz
<span class="math display">\[C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}\]</span></p>
<p>Cada coeficiente de la matriz resultante es la suma de los coeficientes en la misma posición de las matrices sumando.</p>
</div>
<div id="resta-de-matrices" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.2">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.2</span> Resta de matrices:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#resta-de-matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sean A y B dos matrices de <span class="math inline">\(m \times n\)</span> con coeficientes <span class="math inline">\((a_{ij})\)</span> y <span class="math inline">\((b_{ij})\)</span>, <span class="math inline">\(i = 0,...,m\)</span>, <span class="math inline">\(j = 0,...,n\)</span>. Se define la resta de matrices <span class="math inline">\((-)\)</span> de manera que <span class="math inline">\(A-B = C\)</span> con <span class="math inline">\(C\)</span> de coeficientes <span class="math inline">\((c_{ij})\)</span> y <span class="math inline">\(c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}\)</span> Es importante notar que para restar dos matrices deben ser de la misma dimensión.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
La resta de <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)</span> y <span class="math inline">\(B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)</span> da como resultado la matriz
<span class="math display">\[C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -5 & -5 \\ 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}\]</span></p>
<p>Cada coeficiente de la matriz resultante es la resta de los coeficientes en la misma posición de las matrices sumando.</p>
</div>
<div id="producto-de-matriz-y-escalar" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.3">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.3</span> Producto de matriz y escalar:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#producto-de-matriz-y-escalar" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sea <span class="math inline">\(\lambda \in \mathbb{R}\)</span> y <span class="math inline">\(A\)</span> una matriz de dimensión <span class="math inline">\(m \times n\)</span> y coeficientes <span class="math inline">\((a_{ij})\)</span>. Se define el producto de <span class="math inline">\(\lambda\)</span> y <span class="math inline">\(A\)</span> tal que <span class="math inline">\(\lambda A = B\)</span>, donde cada coeficiente <span class="math inline">\(b_{ij} = \lambda a_{ij}\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Sean <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)</span> y <span class="math inline">\(\lambda = 3\)</span>, la matriz <span class="math inline">\(B\)</span> que resulta del producto <span class="math inline">\(\lambda A\)</span> es:
<span class="math display">\[B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}\]</span></p>
</div>
<div id="producto-de-matrices" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.4">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.4</span> Producto de matrices:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#producto-de-matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sea <span class="math inline">\(A\)</span> una matriz de <span class="math inline">\(m \times p\)</span> y <span class="math inline">\(B\)</span> de dimensión <span class="math inline">\(p \times n\)</span>, se define el producto entre ellas como <span class="math inline">\(A \cdot B = C\)</span> de dimensión <span class="math inline">\(m \times n\)</span>, con los coeficientes <span class="math inline">\(c_{ij} = \sum_{h=1}^p a_{ih}b_{hj}\)</span>. A diferencia de la suma y la resta, las matrices a multiplicar no necesariamente deben tener iguales dimensiones. Lo que deben cumplir es que sean <em>matrices conformables</em>, la cantidad de columnas de la primera debe ser igual a la cantidad de filas de la segunda.</p>
<p>El producto entre matrices no es conmutativo. Para matrices conformables de distintas dimensiones, si se da vuelta el orden de las matrices a multiplicar, la operación queda mal definida. En caso de poder realizarse el producto con factores conmutados, el resultado es distinto.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Se muestra el producto entre matrices con un ejemplo, que ayudará a entender mejor las operaciones a realizar.</p>
<p><span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix}\)</span> y <span class="math inline">\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)</span></p>
<p>Para hallar el coeficiente de la fila y columna uno, se toma la primera fila de <span class="math inline">\(A\)</span> y la primera columna de <span class="math inline">\(B\)</span>. Se multiplican posición a posición y se suman los resultados. La primera fila de <span class="math inline">\(A\)</span> es <span class="math inline">\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)</span> mientras que la columna de <span class="math inline">\(B\)</span> es <span class="math inline">\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)</span>. El producto entre ellos posición a posición es <span class="math inline">\(\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}\)</span>. La suma de estos tres valores es <span class="math inline">\(4\)</span>, por lo que <span class="math inline">\(c_{11} = 4\)</span>. Para <span class="math inline">\(c_{21}\)</span> se toma la segunda fila de <span class="math inline">\(A\)</span> y la primera columna de <span class="math inline">\(B\)</span> y se procede de la misma forma.</p>
<p>Repitiendo el procedimiento para todos los <span class="math inline">\(c_{ij}\)</span>, se obtiene una matrix de dimensión <span class="math inline">\(4 \times 2\)</span>,
<span class="math display">\[C = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -1 & 4 \\ -2 & 1 \\ -7 & -6\end{pmatrix}\]</span></p>
</div>
<div id="trasposición" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.5">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.5</span> Trasposición:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#trasposición" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Sea la matriz <span class="math inline">\(A\)</span> de dimensiones <span class="math inline">\(m \times n\)</span> con coeficientes <span class="math inline">\((a_{ij})\)</span>, se define la matriz traspuesta <span class="math inline">\(A^t\)</span> como <span class="math inline">\(A^t = ((a_{ij}^t)) = ((a_{ji}))\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Sea <span class="math display">\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix}\]</span> su matriz traspuesta queda:
<span class="math display">\[A^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 & -1\end{pmatrix}\]</span></p>
<p><strong>Propiedades de la matriz traspuesta:</strong>
1. <span class="math inline">\((A+B)^t = A^t + B^t\)</span>
2. <span class="math inline">\((\lambda^t A)^t = \lambda A^t\)</span>
3. <span class="math inline">\((A\cdot B)^t = B^t \cdot A^t\)</span>
4. <span class="math inline">\((A^t)^t = A\)</span></p>
</div>
<div id="inversión" class="section level4 hasAnchor" number="15.19.2.6">
<h4><span class="header-section-number">15.19.2.6</span> Inversión:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#inversión" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Para definir la inversión de matrices es importante previamente definir la <em>Matriz Identidad</em>. Se le llama <em>identidad</em> de tamaño <span class="math inline">\(n\)</span> a la matriz de dimensiones <span class="math inline">\(n \times n\)</span> tal que:
<span class="math display">\[\mathbb{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix}\]</span></p>
<p>Tiene unos únicamente en la diagonal, mientras que el resto de los coeficientes son cero. Esta matriz cumple la propiedad de neutro del producto matricial, por lo que <span class="math inline">\(A\cdot \mathbb{I}_n = \mathbb{I}_n \cdot A = A\)</span>.</p>
<p>Se define, ahora sí, una <em>matriz invertible</em>. Se dice que una matriz <span class="math inline">\(A\)</span> de <span class="math inline">\(n \times n\)</span> es invertible si y solo si existe una matriz <span class="math inline">\(B\)</span> de <span class="math inline">\(n \times n\)</span> tal que <span class="math inline">\(A\cdot B = \mathbb{I}_n = B \cdot A\)</span>.</p>
<p>Las matrices invertibles son sí o sí matrices cuadradas. La matriz <span class="math inline">\(B\)</span> que multiplicada por <span class="math inline">\(A\)</span> devuelve la identidad es una matriz única y se le denomina <em>matriz inversa de <span class="math inline">\(A\)</span></em>, cumpliendo que <span class="math inline">\(B = A^{-1}\)</span>.</p>
<p><strong>Propiedad de la matriz inversa:</strong>
Sean <span class="math inline">\(A\)</span> y <span class="math inline">\(B\)</span> dos matrices cuadradas de dimensión <span class="math inline">\(n\)</span>:
<span class="math display">\[(A\cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\]</span></p>
</div>
</div>
<div id="determinante-de-una-matriz" class="section level3 hasAnchor" number="15.19.3">
<h3><span class="header-section-number">15.19.3</span> Determinante de una matriz<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#determinante-de-una-matriz" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>El <em>determinante</em> de una matriz cuadrada es un número, real o complejo, que se calcula a partir de cada matriz. Se trabajará con la definición inductiva del determinante, donde para una matriz de tamaño <span class="math inline">\(n \times n\)</span> se define a partir del determinante de una matriz de <span class="math inline">\((n-1) \times (n-1)\)</span>.</p>
<p>El determinante de <span class="math inline">\(A\)</span>, <span class="math inline">\(|A|\)</span>, de una matriz de <span class="math inline">\(1 \times 1\)</span> es el propio número. Para una matriz de <span class="math inline">\(2 \times 2\)</span>, <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)</span> el determinante es el número <span class="math inline">\(|A| = ad - bc\)</span>. Para una matriz de <span class="math inline">\(n \times n\)</span>, el determinante se define como: <span class="math display">\[\Rightarrow |A| = (-1)^{1+1} a_{11}|A_{11}|+ ... + (-1)^{i+1}a_{i1}|A_{i1}|+...+(-1)^{n+1}a_{n1}|A_{n1}|\]</span></p>
<p><em>Ejemplos:</em></p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>Calcular el determinante de la siguiente matriz: <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix}\)</span>.</li>
</ol>
<p><span class="math display">\[\Rightarrow |A| = (-1)^2 (1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right| + (-1)^3(0) \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right| + (-1)^4 (-1) \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right|\]</span>
<span class="math display">\[= -5 + 0 + (-1)(-1) = -4\]</span></p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li>Calcular el determinante de <span class="math inline">\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 0\end{pmatrix}\)</span></li>
</ol>
<p><span class="math display">\[\Rightarrow |B| = (-1)^2(1) \left| \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 0 \end{matrix} \right| + (-1)^3(1) \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 0 \end{matrix} \right| + (-1)^4 (0) \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 0 \end{matrix} \right| + (-1)^5(3)\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \end{matrix} \right| = 6 + 3 - 6 = 3\]</span></p>
<p>Los determinantes de las matrices <span class="math inline">\(3 \times 3\)</span> se calcularon como en el ejemplo <span class="math inline">\((1)\)</span>.</p>
<p>Si bien se definió el determinante utilizando los elementos de la primera columna y sus matrices adjuntas, por propiedades del determinante puede utilizarse cualquier fila o columna que el lector crea conveniente.</p>
<p>El determinante tiene gran importancia en la inversión de matrices. En primera instancia, una matriz cuadrada que tenga determinante cero no es invertible. Además, si se tiene una matriz de <span class="math inline">\(2 \times 2\)</span> <span class="math inline">\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)</span>, la matriz inversa se puede calcular como:
<span class="math display">\[A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}\]</span></p>
</div>
</div>
<div id="norma-producto-escalar-y-producto-vectorial" class="section level2 hasAnchor" number="15.20">
<h2><span class="header-section-number">15.20</span> NORMA, PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#norma-producto-escalar-y-producto-vectorial" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="vectores" class="section level3 hasAnchor" number="15.20.1">
<h3><span class="header-section-number">15.20.1</span> Vectores<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#vectores" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Un vector <span class="math inline">\(\vec{x}\)</span> es un elemento geométrico que consiste de una flecha que parte desde el origen y va hasta un punto de dimensión <span class="math inline">\(n\)</span> determinado por las coordenadas <span class="math inline">\(x_i\)</span>. Los vectores son elementos con módulo (determinado por el largo), dirección y sentido (hacia donde va la flecha), siendo estos dos representables por el ángulo del vector.</p>
<p>El ángulo también se puede utilizar para medir cuánto difieren dos vectores entre sí. Si el ángulo entre ellos es cero, son colineales y apuntan en el mismo sentido. Si es de <span class="math inline">\(180°\)</span>, son colineales pero tienen sentidos opuestos. Si es de <span class="math inline">\(90°\)</span> o <span class="math inline">\(270°\)</span> se dice que son ortogonales.</p>
</div>
</div>
<div id="agregar-imagen-vectores" class="section level2 hasAnchor" number="15.21">
<h2><span class="header-section-number">15.21</span> AGREGAR IMAGEN VECTORES<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#agregar-imagen-vectores" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="distancia-y-norma" class="section level3 hasAnchor" number="15.21.1">
<h3><span class="header-section-number">15.21.1</span> Distancia y norma<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#distancia-y-norma" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se define la <em>distancia entre dos puntos</em> como la longitud del segmento entre ellos, una función <span class="math inline">\(d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}^+\)</span>, que satisface:
1. <span class="math inline">\(d(A,B) = d(B,A) \: \forall A \in E\)</span>
2. <span class="math inline">\(d(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B\)</span>
3. <span class="math inline">\(d(A,C) \leq d(A,B) + d(B,C) \: \forall A,B,C \in E\)</span></p>
<p>A partir de la distancia, se define la <em>norma de un vector</em> <span class="math inline">\(v = \vec{AB}\)</span> como la distancia <span class="math inline">\(d(A,B)\)</span> y se denota como <span class="math inline">\(||v||\)</span>. La norma cumple que:
1. <span class="math inline">\(||v|| \geq 0; ||v|| = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}\)</span>
2. <span class="math inline">\(||av|| = |a| ||v|| \: \forall a \in \mathbb{R}, \: \forall v \in V\)</span>
3. <span class="math inline">\(||u+v|| \leq ||u|| + ||v|| \: \forall u,v \in V\)</span></p>
<p>En particular, siendo <span class="math inline">\(A = (x_a, y_a)\)</span> y <span class="math inline">\(B = (x_b, y_b)\)</span>, se define la norma dos como <span class="math inline">\(||v||_2 = \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}\)</span>.</p>
</div>
<div id="producto-escalar" class="section level3 hasAnchor" number="15.21.2">
<h3><span class="header-section-number">15.21.2</span> Producto escalar<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#producto-escalar" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Dados los vectores <span class="math inline">\(u\)</span> y <span class="math inline">\(v\)</span> de <span class="math inline">\(V\)</span>, se llama <em>producto escalar</em> o <em>producto interno</em> de <span class="math inline">\(u\)</span> por <span class="math inline">\(v\)</span> al número escalar <span class="math inline">\(||u||\,||v|| cos \theta\)</span>, donde <span class="math inline">\(\theta\)</span> es el ángulo BAC de tres puntos tales que <span class="math inline">\(\vec{AB} = u\)</span> y <span class="math inline">\(\vec{AC} = v\)</span>.</p>
<p><strong>Propiedades:</strong>
1. <span class="math inline">\(u \cdot v = v \cdot u\)</span>
2. <span class="math inline">\((a \cdot u) \cdot v = a \cdot (u \cdot v) = u \cdot (a \cdot v)\)</span>
3. <span class="math inline">\((u_1 + u_2) \cdot v = u_1\cdot v + u_2 \cdot v\)</span>
4. <span class="math inline">\(v \dot v \geq 0 y v \cdot v = 0 \Leftrightarrow v = 0\)</span></p>
<div id="ortogonalidad-y-producto-escalar" class="section level4 hasAnchor" number="15.21.2.1">
<h4><span class="header-section-number">15.21.2.1</span> Ortogonalidad y producto escalar:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#ortogonalidad-y-producto-escalar" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Dos vectores <span class="math inline">\(u, v\)</span> son ortogonales si <span class="math inline">\(u \cdot v = 0\)</span>.</p>
</div>
</div>
<div id="producto-vectorial" class="section level3 hasAnchor" number="15.21.3">
<h3><span class="header-section-number">15.21.3</span> Producto vectorial<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#producto-vectorial" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se define el <em>producto vectorial</em> como una función <span class="math inline">\(V \times V \rightarrow V\)</span> que a cada par de vectores <span class="math inline">\(v, u\)</span> le asocia un vector, que se denota <span class="math inline">\(v \wedge u\)</span>, que cumple:
1. <span class="math inline">\(||v \wedge u||=||v|| \cdot ||u|| sen \theta\)</span> donde <span class="math inline">\(\theta\)</span> es el ángulo entre <span class="math inline">\(v\)</span> y <span class="math inline">\(u\)</span>.
2. <span class="math inline">\((v\wedge u)\cdot v = 0\)</span> y <span class="math inline">\((v\wedge u) \cdot u = 0\)</span></p>
<p>Además, <span class="math inline">\(v \wedge u = 0\)</span> si y solo si <span class="math inline">\(v\)</span> y <span class="math inline">\(u\)</span> son colineales (en particular, si alguno de ellos es el vector <span class="math inline">\(\vec{0}\)</span>).</p>
</div>
</div>
<div id="transformaciones-lineales" class="section level2 hasAnchor" number="15.22">
<h2><span class="header-section-number">15.22</span> TRANSFORMACIONES LINEALES<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#transformaciones-lineales" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Sean <span class="math inline">\(V\)</span> y <span class="math inline">\(W\)</span> dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo <span class="math inline">\(K\)</span>. Se define como una <em>transformación lineal</em> a una función <span class="math inline">\(T: V\rightarrow W\)</span> que cumple:
1. <span class="math inline">\(T(u+v) = T(u) + T(v)\)</span> <span class="math inline">\(\forall u, v \in V\)</span>.
2. <span class="math inline">\(T(a\cdot v) = aT(v)\)</span> <span class="math inline">\(\forall a \in K\)</span>, <span class="math inline">\(\forall v \in V\)</span>.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Sea <span class="math inline">\(C^1 = \{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} / f\)</span> es derivable<span class="math inline">\(\}\)</span> y <span class="math inline">\(F = \{f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\}\)</span></p>
<p>La transformación <span class="math inline">\(T: C^1 \rightarrow F\)</span> tal que <span class="math inline">\(T(f) = f'\)</span> es una transformación lineal ya que cumple:
1. <span class="math inline">\(T(f_1 + f_2) = (f_1+f_2)' = f_1' + f_2' = T(f_1) + T(f_1)\)</span>
2. <span class="math inline">\(T(\alpha f) = (\alpha f)' = \alpha f' = \alpha T(f)\)</span></p>
<div id="núcleo-e-imagen-de-una-transformación-lineal" class="section level3 hasAnchor" number="15.22.1">
<h3><span class="header-section-number">15.22.1</span> Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#núcleo-e-imagen-de-una-transformación-lineal" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sean <span class="math inline">\(V\)</span> y <span class="math inline">\(W\)</span> espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo <span class="math inline">\(K\)</span> y <span class="math inline">\(T: V\rightarrow W\)</span> una transformación lineal. Se define el <em>núcleo de la transformación lineal</em> <span class="math inline">\(T\)</span> al conjunto de <span class="math inline">\(V\)</span> cuya imagen por <span class="math inline">\(T\)</span> es el vector nulo <span class="math inline">\(\Rightarrow N(T) = \{ v \in V: \: T(v) = \vec{0}\}\)</span> La imagen de <span class="math inline">\(T\)</span> es el conjunto <span class="math inline">\(Im(T) = \{w \in W: \: \exists v \in V\)</span> con <span class="math inline">\(w = T(v)\}\)</span></p>
</div>
<div id="geometría-de-matrices" class="section level3 hasAnchor" number="15.22.2">
<h3><span class="header-section-number">15.22.2</span> Geometría de matrices<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#geometría-de-matrices" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se definen un vector <span class="math inline">\(\vec{x}\)</span> y otro vector <span class="math inline">\(\vec{y}\)</span> tal que <span class="math inline">\(y = Ax\)</span>. El vector <span class="math inline">\(\vec{y}\)</span> tendrá coordenadas distintas a las del vector <span class="math inline">\(\vec{x}\)</span> a menos que <span class="math inline">\(A\)</span> sea una matriz cuadrada. Por lo tanto, se dice que <span class="math inline">\(A\)</span> describe una transformación (en particular rotación y escalado) del sistema de coordenadas de <span class="math inline">\(x\)</span> a un nuevo sistema de coordenadas <span class="math inline">\(y\)</span>.</p>
<p>Para definir las componentes de rotación y escalado de una matriz, conviene comenzar definiendo una matriz ortonormal. Una matriz <span class="math inline">\(U\)</span> es ortonormal si: <span class="math display">\[\mathbf{u}_i^T \mathbf{u}_j = \begin{cases} 1 \; if \;i = j \\ 0 \; if \;i \neq j\end{cases}\]</span></p>
<p>También se denominan <em>unitarias</em> y cumplen que <span class="math inline">\(\mathbf{U}^T\mathbf{U}=\mathbf{I}\)</span>.</p>
<p>Si se multiplica un vector por estas matrices, no hay escalado si no únicamente rotación dado que las matrices ortonormales preservan los productos internos. Las matrices de rotación son de la forma <span class="math display">\[\begin{pmatrix} cos\phi & -sen\phi \\ sen\phi & cos\phi \end{pmatrix}\]</span></p>
<p>donde <span class="math inline">\(\phi\)</span> determina el ángulo de rotación.</p>
<p>La transformación de escalado quedará descripta por los valores y vectores propios a tratar en la siguiente sección.</p>
</div>
</div>
<div id="valores-y-vectores-propios" class="section level2 hasAnchor" number="15.23">
<h2><span class="header-section-number">15.23</span> VALORES Y VECTORES PROPIOS<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#valores-y-vectores-propios" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="de-una-transformación-lineal" class="section level3 hasAnchor" number="15.23.1">
<h3><span class="header-section-number">15.23.1</span> De una transformación lineal:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#de-una-transformación-lineal" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sea <span class="math inline">\(V\)</span> un espacio vectorial sobre el conjunto de escalares <span class="math inline">\(\mathbb{K}\)</span> y <span class="math inline">\(T: V \rightarrow V\)</span> una transformación lineal. Se llama <em>vector propio</em> de <span class="math inline">\(T\)</span>, asociado al <em>valor propio</em> <span class="math inline">\(\lambda \in \mathbb{K}\)</span> a todo vector <span class="math inline">\(\vec{v} \neq 0\)</span> tal que <span class="math inline">\(T(v) = \lambda v\)</span>.</p>
<p>Los valores propios describen como será el escalado de los vectores en su nuevo espacio vectorial que queda determinado por los vectores propios.</p>
</div>
<div id="de-una-matriz" class="section level3 hasAnchor" number="15.23.2">
<h3><span class="header-section-number">15.23.2</span> De una matriz:<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#de-una-matriz" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Sea <span class="math inline">\(A\)</span> una matriz cuadrada con entradas en <span class="math inline">\(\mathbb{K}\)</span>. Se llama <em>vector propio</em> de <span class="math inline">\(A\)</span> asociado al <em>valor propio</em> <span class="math inline">\(\lambda \in \mathbb{K}\)</span> a todo vector no nulo de <span class="math inline">\(\mathbb{K}^n\)</span> tal que:
<span class="math display">\[A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\]</span></p>
<p><strong>Proposición:</strong>
Sean <span class="math inline">\(V\)</span> un espacio vectorial sobre el cuerpo <span class="math inline">\(\mathbb{K}\)</span>, <span class="math inline">\(T : V \rightarrow V\)</span> una transformación lineal y <span class="math inline">\(A\)</span> una matriz asociada a la transformación lineal <span class="math inline">\(T\)</span>. Entonces <span class="math inline">\(\lambda\)</span> es valor propio de <span class="math inline">\(T\)</span> si y solo si <span class="math inline">\(\lambda \in \mathbb{K}\)</span> y <span class="math inline">\(\text{det} (A - \lambda I) = 0\)</span>.</p>
<p>Se le llama <em>polinomio característico</em> de una matriz cuadrada al polinomio representado por <span class="math inline">\(x_A{\lambda}\)</span> que resulta de calcular <span class="math inline">\(\text{det} (A-\lambda I)\)</span>. La <em>ecuación característica</em> es <span class="math inline">\(x_A{\lambda} = 0\)</span> y a todas las soluciones de ella se les llama <em>raíces características</em>. Estas soluciones, como se vio previamente, son los valores propios.</p>
<p><em>Ejemplo:</em>
Hallar los valores propios de la matriz <span class="math inline">\(A\)</span> asociada a la transformación lineal <span class="math inline">\(T\)</span>:
<span class="math display">\[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]</span></p>
<p>Se calcula el determinante de <span class="math inline">\(A - \lambda I\)</span>:
<span class="math display">\[\text{det}(A-\lambda I) = \left| \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 \\ 3 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} \right| == (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda + 7) = 0\]</span></p>
<p>Hallando las raíces de la ecuación previa se obtiene:</p>
<p><span class="math display">\[\Rightarrow \begin{matrix} \lambda_1 = 1 \\ \lambda_ 2 = 2 + i\sqrt{3}\\ \lambda_3 = 2 - i\sqrt{3} \end{matrix}\]</span></p>
<p>Para hallar los vectores propios, se sustituye cada uno de los valores propios en la matriz <span class="math inline">\(A - \lambda I\)</span> para resolver el sistema <span class="math display">\[(A - \lambda I) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\]</span>.
Será vector propio el vector <span class="math inline">\(v = \begin{pmatrix}x_1, x_2,...,x_n\end{pmatrix}\)</span> con <span class="math inline">\(x_1, x_2,...,x_n\)</span> soluciones del sistema.</p>
</div>
<div id="diagonalización-de-una-matriz" class="section level3 hasAnchor" number="15.23.3">
<h3><span class="header-section-number">15.23.3</span> Diagonalización de una matriz<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#diagonalización-de-una-matriz" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Se le denomina <em>matriz diagonal</em> a aquellas matrices que todos sus términos por fuera de la diagonal principal son nulos. Se busca llevar una matriz a su forma diagonal, para lo que se calcularán sus valores propios. Si <span class="math inline">\(A\)</span> tiene <span class="math inline">\(n\)</span> valores propios reales, se puede definir una matriz <span class="math inline">\(D\)</span> diagnoal, tal que <span class="math inline">\(A = P^{-1}DP\)</span> donde <span class="math inline">\(P\)</span> es una matriz invertible compuesta por los vectores propios en columnas. Además, en ese caso, <span class="math inline">\(D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \end{pmatrix}\)</span>.</p>
<p>La matriz <span class="math inline">\(D\)</span> es única a menos del orden de <span class="math inline">\(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n\)</span>. A la matriz <span class="math inline">\(P\)</span> la llamamos <em>base</em> de la transformación a diferencia de <span class="math inline">\(D\)</span> no es única.</p>
</div>
</div>
<div id="derivada-de-la-forma-cuadrática" class="section level2 hasAnchor" number="15.24">
<h2><span class="header-section-number">15.24</span> DERIVADA DE LA FORMA CUADRÁTICA<a href="apéndice-c-algebra-lineal-y-geometría-analítica.html#derivada-de-la-forma-cuadrática" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<p>Queremos estudiar la derivada de la forma cuadrática: <span class="math inline">\(f(x) = \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}\)</span> donde <span class="math inline">\(\mathbf{x}\)</span> es un vector en <span class="math inline">\(\mathbf{R^m}\)</span> y <span class="math inline">\(A\)</span> una matriz de dimensión <span class="math inline">\(m \times m\)</span>. Reescribiendo de forma tal que se nombra a la transformada <span class="math inline">\(\mathbf{A}\mathbf{x}\)</span> como una función <span class="math inline">\(y(x)\)</span> se llega a que <span class="math inline">\(f(x,y(x)) = \mathbf{x}^T y(x)\)</span>.</p>
<p>Se puede derivar <span class="math inline">\(f(x)\)</span> usando la fórmula de derivada total, obteniendo que <span class="math inline">\(f'(x,y(x)) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}y'(x)\)</span>.</p>
<p>Para llegar a la expresión final, se realizará el análisis de cada sumando de manera independiente.</p>
<p>En primera instancia, se calcula la derivada <span class="math inline">\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x^T y(x)}{\partial x}\)</span>. Tomando <span class="math inline">\(y(x)\)</span> fijo, la derivada de la expresión es la derivada de un producto interno, por lo que resulta en <span class="math inline">\(\frac{\partial x^Ty(x)}{\partial x} = y(x)^T = \mathbf{x}^T \mathbf{A}^T\)</span>.</p>
<p>El segundo sumando tiene por un lado la derivada de la función <span class="math inline">\(f\)</span> según <span class="math inline">\(y\)</span>, que siguiendo el procedimiento del previamente explicado es <span class="math inline">\(\mathbf{x}^T\)</span>. Por otro lado, <span class="math inline">\(y'(x)\)</span> es la derivada del producto de una matriz y un vector, que resulta en la matriz. Por lo tanto, el segundo sumando nos queda <span class="math inline">\(\frac{\partial f}{\partial y}.y'(x) = \mathbf{x}^T \mathbf{A}\)</span>.</p>
<p>Sustituyendo y operando, se obtiene <span class="math inline">\(f'(x,y(x)) = 2\mathbf{x}^T \mathbf{A}^T\)</span>.</p>
</div>
</div>
</section>
</div>
</div>
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</div>
</div>
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