Skip to content

info2_lab02.md

Latest commit

 

History

History
139 lines (117 loc) · 6.43 KB

info2_lab02.md

File metadata and controls

139 lines (117 loc) · 6.43 KB
number 2
course Informatyka 2
material Instrukcja 2
author B. Górecki, rev. W. Gryglas

Całkowanie numeryczne

Pliki do wykorzystania w poniższym ćwiczeniu można pobrać za pomocą poniższych linków:

1. Wstęp

Całkowanie numeryczne jest jednym z podstawowych algorytmów używanych w obliczeniach inżynierskich. Całkowanie numeryczne zawsze dotyczy obliczania całki oznaczonej (jedno bądź wielowymiarowej). Nigdy natomiast nie dotyczy obliczania całki nieoznaczonej. Wynikiem jego działania jest wartość całki, a w żadnym razie wzór funkcji pierwotnej.

2. Algorytmy całkujące

Wśród podstawowych algorytmów, jakimi będziemy się zajmować są:

  • metoda trapezów,
  • metoda Simpsona oraz
  • kwadratury Gaussa-Legendre'a.

Ćwiczenia

  1. Napisz program, który metodą trapezów obliczy całkę oznaczoną: $$ I = \int_a^bf(x) dx. $$ Algorytm całkowania metodą trapezów jest zaimplementowany. Znajdziesz go w funkcji trapez w pliku kwad.cpp. Nagłówek funkcji trapez ma następującą postać:
double trapez(double a, double b, double (*fun)(double x), int n)

Argumenty a, b i n to odpowiednio dolna i górna granica całkowania oraz liczba punktów, które dzielą przedział całkowania. Trzeci argument to wskaźnik do funkcji. Dzięki niemu procedura trapez jest w stanie obliczyć całkę z dowolnej funkcji. Nazwa funkcji, która jest jednocześnie jej adresem, informuje gdzie można znaleźć instrukcje obliczające wartości funkcji podcałkowej. Poprawne wywołanie to np. trapez(a, b, sin, n); lub trapez(1, 5, sqrt, 100);. Możesz też użyć tej procedury do obliczenia całki z funkcji, którą wcześniej zadeklarowałeś i zdefiniowałeś, np. trapez(a, b, MojaFunkcja, 50);, gdzie definicja funkcji MojaFunkcja ma postać:

double MojaFunkcja(double x) {
  return x * x + sin(x);
}

Zwróć uwagę, że funkcja musi mieć jeden argument typu double i musi zwracać wartość typu double.
Aby zrealizować zadanie z punktu 1, wykonaj następujące czynności:

  • Napisz funkcję, która oblicza wartości $f(x)$ oraz funkcję, która oblicza całkę w sposób analityczny (całkę oblicz na papierze). Umieść ich prototypy przed funkcją główną oraz załącz plik nagłówkowy kwad.h z funkcjami całkującymi.
  • Za pomocą klawiatury podaj wartości a, b oraz n.
  • Oblicz wartość całki numerycznej cn oraz wartość całki analitycznej ca przez wywołanie odpowiednich funkcji.
  • Oblicz błąd $|cn - ca|$.
  • Zapisz do pliku krok całkowania oraz wartość całki obliczonej analitycznie oraz numerycznie.

  1. Przetestuj ten program dla dwóch funkcji: $$ f(x) = \frac{1}{x^2} $$ oraz $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ dla $a = 1$, $b = 5$ oraz $a = 0.1$ i $b = 5$.

  2. Rozszerz program tak, aby zapisywał do pliku kolejne wiersze odpowiadające wartościom $n = 2, 4, 8, \ldots, 2^m$. Liczbę m wczytaj z klawiatury.

  3. Wynik przedstaw graficznie, korzystając z arkusza kalkulacyjnego.

  4. Rozszerz program tak, aby dodatkowo używał metody Simpsona. Jest ona zaimplementowana w funkcji o nagłówku double simpson(double a, double b, double(*fun)(double x), int n).

  5. Otrzymane wyniki przedstaw graficznie.

Wskazówki odnośnie wskaźników do funkcji

Przeanalizuj poniższy kod ilustrujący użycie wskaźników do funkcji. Jakie wartości przyjmują zmienne y1 i y2?

// funkcja: y = 2 * x
double fun1(double x) {
  return 2 * x;
}

// funkcja: y = -x
double fun2(double x) {
  return -x;
}

// funkcja zwaraca y^2
double kwadrat(double xx, double (*pf)(double)) {
  return pf(xx) * pf(xx);
}

void main() {
  double y1 = kwadrat(2., fun1);
  double y2 = kwadrat(2., fun2);
}

3. Dla dociekliwych

Metody trapezów i Simpsona to dość elementarne procedury. W programach obliczeniowych, które wymagają wykonywania wielokrotnych całkowań (często wiele milionów razy - o takich metodach, np. metodzie elementów skończonych stosowanej chociażby w wytrzymałości konstrukcji - będziesz się uczyć na wyższych latach) trzeba używać procedur bardziej wydajnych obliczeniowo. Jedną klasę takich metod, które osiągają dużą dokładność przy niewielkiej liczbie punktów, w których obliczana jest funkcja podcałkowa (o tych punktach mówimy węzły kwadratury) stanowią kwadratury Gaussa.

Kwadratura Gaussa-Legendre'a jest w zdefiniowana dla następującej całki oznaczonej (zawsze w przedziale $x = [-1, 1]$). $$ I = \int_{-1}^{1}{f(x)dx} $$ Taką całkę w sposób przybliżony oblicza się zgodnie z następującym wzorem: $$ \int_{-1}^{1}{f(x)dx} \approx \sum_{i=1}^{n}{w_if(x_i)} $$ Wielkości $w_i$ to kolejne wagi kwadratury, $x_i$ to węzły kwadratury, a $n$ oznacza liczbę węzłów, w których będzie obliczana wartość funkcji podcałkowej.
Aby obliczyć całkę tą kwadraturą, trzeba znać położenia węzłów i wartości wag. Wielkości te można obliczyć lub skorzystać z tablic zawierających obliczone wartości $w_i$ i $n_i$ dla różnych wartości $n$ (przykładowo, można je znaleźć w Internecie1). Położenia węzłów i wartości wag dla $n = 5$ są podane w poniższej tabeli:

$x_i$ $w_i$
-0.9061798459386639927976269 0.2369268850561890875142640
-0.5384693101056830910363144 0.4786286704993664680412915
0.0 0.5688888888888888888888889
0.5384693101056830910363144 0.4786286704993664680412915
0.9061798459386639927976269 0.2369268850561890875142640

Ćwiczenie

  • Zaimplementuj w dowolny sposób metodę całkowania za pomocą kwadratury Gaussa. Zwróć uwagę, że kwadratura ta jest zdefiniowana dla całki w przedziale $[-1, 1]$. Musisz najpierw przekształcić wzór tak aby można było obliczyć całkę w przedziale $[a, b]$ (skorzystaj z zamiany zmiennych).
  • Porównaj otrzymaną wartość z poprzednimi metodami. Ilu podziałów w metodzie trapezów lub Simpsona musisz użyć, aby osiągnąć dokładność całkowania osiąganą przez kwadraturę Gaussa opartą na pięciu węzłach?

Footnotes

  1. Wystarczy do przeglądarki wpisać hasło ,,Legendre Gauss nodes and weights''. Można je także znaleźć choćby pod [adresem](http://holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical- integration/) ↩