Hypercontractive不等式

[yyoshida]

Hypercontractive不等式

ステートメント

関数$f\colon{-1,1}^n \to \mathbb{R}$と実数$\rho \in [-1,1]$に対し，
$$
T_\rho f(x)=\mathbb{E}{y∼N\rho(x)}[f(y)]
$$
と定義する．
ここで$y∼N_\rho(x)$とは，各$i \in {1,\ldots,n}$について独立に
$$
y_i = \begin{cases}
x_i & \text{確率 } \frac{1+\rho}{2}\
-x_i & \text{確率 } \frac{1-\rho}{2} \
\end{cases}
$$
と選ぶことを指す．

このとき関数$f: {-1,1}^n \to \mathbb{R}$と，$0 \leq \rho \leq \sqrt{\frac{p-1}{q-1}}$なる実数$1 \leq p \leq q \leq \infty$に対して，
$$
|T_\rho f|_q \leq |f|_p
$$
が成り立つ．

出典

R. O'Donnell. Analysis of Boolean Functions (2014).

[delta2323]

ありがとうございます．内容的には問題ないので，もし可能ならばPRとして送っていただくことは可能でしょうか？Chromeのextensionでmathjaxの数式を確認すると，うまくレンダリングできていない部分がありますが，おそらくアンダースコアを適切にエスケープすれば直せると思います．

[yyoshida]

数式の表示ですがvscodeなどですときちんと見えています。想定環境は「chrome拡張でmathjaxを見る」なのでしょうか。関連する問題として、他の項目でも'{'が"\{"と二回''でエスケープされているため、vscodeではエラー扱いになります。一般的には"\"は改行の意味になってしまうと思います。

[delta2323]

想定環境は「chrome拡張でmathjaxを見る」なのでしょうか。

想定環境は特に決めていませんでしたが，GitHub上で直接確認できるのが便利なため，自分はChromeのmathjax拡張を利用していました．Chromeの拡張ではエスケープすると正しくレンダリングができました．

Chromeの拡張を用いてGitHub上でファイルを直接見られるのは便利なのですが，多くの人が利用しているエディタ（atom，vscode，macdownなど）でエラーとなるというのは不便なので，考える必要があると思っています．（両立できれば理想的ですが，今の所そのような解決策は思いついていません）

[delta2323]

また，携帯電話この数式などが見られると便利なのですが，AndroidのChromeではmathjax拡張がないので，携帯電話ではそもそもGitHub上で正しく数式が表示されません．ですので現在の記法はPCでChrome拡張を用いて見る時のみをサポートできている状態となっています．

[delta2323]

もとのHypercontractive不等式からは離れてしまいますが，エスケープ処理の違いに関して少し調査を行いました（必要ならば別issueにして議論をしても良いかもしれません）

_を\_と書かなければいけない問題は，sphinxを使えば解決ができそうです．
\{を\\{と書かなければいけない問題に関しては，（ブラウザが？）バックスラッシュ\を（TeXと異なり）エスケープ記号として利用するために起こる問題のようです．同様の理由から，mathjaxでtexを扱う場合には改行はバックスラッシュを4つ（\\\\）使う必要があるようです．詳しくはmathjaxの，このドキュメント）の"Some content-management systems use ..."のパラグラフをご参照ください．

[delta2323]

mathjaxのレンダリングの問題が未解決ですが，ひとまずHypercontractive不等式についてエントリを作るPRを作成しました（#23）．一点ご相談なのですがこの不等式はREADMEの中でどのカテゴリの式として扱うのが良いでしょうか？現状暫定的に集中不等式のところに置いています．

[yyoshida]

エスケープの問題は恐らく書く側ではなく見る側の都合に合わせるのが良いと思いますが、私はChromeを使っていないのでどうやって書けば良いか悩んでしまいますね。
カテゴリは新しく「ブーリアン関数」の様なカテゴリを作るのが良いと思います。他にもKahn-Kalai-Linial (KKL)定理だとかMajority is the stablest定理だとかが仲間になろうかと思います。

[delta2323]

今検討しているのは，今あるmarkdownのファイルたちからSphinxでHTMLのドキュメントを生成し，ReadTheDocsというホスティングサイトにドキュメントをデプロイするというものです．このような感じになります．このHTML版のドキュメントはSphinxがインストールされていればローカルでもこのドキュメントを生成することができますので，markdownのプレビュー機能が使えるエディターで原稿を書き，完成したらローカルでドキュメントを生成してちゃんとレンダリングされるかを確認するなどのワークフローが可能です（前述のHTMLはrtdブランチのdocsディレクトリ中でmake htmlとコマンドを打てば生成できます）．

ただ，ドキュメント生成ツールとして，Sphinx + ReadTheDocsよりよいものがあるかどうかは検討の余地があります．SphinxはもともとPythonパッケージのドキュメントを書くためのツールで，このような使い方はあまり想定されていないと思われるため，やりたいことが全てできるかはまだわかりません（Sphinxを選んだのは，自分が他のライブラリの開発のプロジェクトで使った経験があったためです）．また，SphinxのreStructured textが主に想定されており，markdownサポートがどのくらい充実しているかはきちんと調べられていません．

[delta2323]

#23 で「ブーリアン関数」のセクションを追加し，Hypercontractive不等式，KKL定理，Majority is the stablest定理を追加しました

[delta2323]

Hypercontractive不等式をマージしました．issueタイトルの内容は終わったので，こちらはクローズして，markdownのレンダリングに関してさらに議論が必要ならば，別にissueを立てようと思いますがいかがでしょうか？