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\chapter{Ecuaciones Diferenciales parciales de la Física}

En Física es común encontrar sistemas descritos por \textit{campos}\footnote{Es decir, funciones que dependen de la posición y/o del tiempo.} ($\Psi$), que satisfacen ecuaciones diferenciales parciales (EDP's). Entre las más
frecuentes destacan las siguientes:
\begin{itemize}
\item Ecuación de Laplace: 
\begin{equation}
\nabla^2\Psi=0, \qquad \Psi(\vec{x}).
\end{equation}
 Esta ecuación aparece, por ejemplo, en el estudio de:
	\begin{itemize}
	\item Electrostática. El \textbf{potencial eléctrico} $\phi$ en una \textit{región sin cargas} satisface la ec. de Laplace.
	\item Hidrodinámica. Un \textit{fluido irrotacional incompresible} en un \textit{movimiento estacionario} con campo de velocidad $\vec{v}=-\vec\nabla\Psi$ satisface
	\begin{equation}
	\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec\nabla (\rho\vec{v})=0 \quad\Rightarrow\quad
	\vec\nabla\cdot\vec{v}=-\nabla^2\Psi=0.
	\end{equation}
	\item Distribución de Temperatura estacionaria: Aquí $\Psi=T(\vec{x},t)$ es el campo de temperaturas de un material, la ecuación del Calor, ver \eqref{eccalor},  se reduce a la ec. de Laplace para $T(\vec{x})$.
	\item Gravitación. Análogo al caso electrostático, con $\Psi=\phi=\text{potencial gravitacional}$.
	\end{itemize}
\item Ecuación de Poisson
\begin{equation}
\nabla^2\Psi=g(\vec{x}),
\end{equation}
donde $g(\vec{x})$ es una función ``fuente'' conocida. Esta EDP es \textit{inhomogénea}, y por lo tanto sus soluciones generales pueden escribirse como $\Psi=\Psi_{\rm h}+\Psi_{\rm p}$, donde $\Psi_{\rm h}$ es solución de la ecuación homogenea correspondiente (en este caso, la ec. de Laplace), y $\Psi_{\rm p}$ una \textbf{solución particular} de la ec. de Poisson.

Por ejemplo, el potencial electrostático $\phi(\vec{x})$ satisface
\begin{equation}
\nabla^2\phi=-\frac{1}{\varepsilon_0}\rho(\vec{x}),
\end{equation}
donde $\varepsilon_0$ es la \textbf{permeabilidad del vacío} y $\rho(\vec{x})$ la \textbf{densidad (volumétrica) de carga eléctrica}.
\item Ecuación de Helmholtz: 
\begin{equation}
\nabla^2\Psi\pm k^2\Psi=0.
\end{equation}
Esta ecuación, conocida también como la ecuación de difusión independiente de tiempo, aparece en el estudio de
	\begin{itemize}
	\item Ondas elásticas en sólidos.
	\item Acústica.
	\item Ondas electromagnéticas.
	\item Reactores nucleares.
	\end{itemize}
\item \href{https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci\%C3\%B3n_del_calor}{Ecuación de difusión del calor} dependiente del tiempo ($\alpha= $ difusividad térmica. Si $c_p$ es la capacidad calorífica del material, $\rho$ su densidad de masa, y $k$ su conductividad térmica, entonces $\alpha=k/\rho c_p$)
\begin{equation}\label{eccalor}
\nabla^2\Psi-\frac{1}{\alpha}\frac{\partial \Psi}{\partial t}=0 .
\end{equation}
\item Ecuación de la onda dependiente del tiempo
\begin{equation}
\nabla^2\Psi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} =0,
\end{equation}
o bien 
\begin{equation}
\square\Psi=0, \qquad \square:=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\ }{\partial t^2}-\nabla^2.
\end{equation}
Esta EDP aparece en modelos de:
\begin{itemize}
\item Ondas elásticas en sólidos, membranas, cuerdas, etc.
\item Ondas electromagnéticas en regiones sin fuentes.
\item Ondas sonoras.
\end{itemize}

\item Ecuación de Klein-Gordon:
\begin{equation}
\square\Psi-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Psi=0.
\end{equation}

\item Ecuación de Schr\"odinger:
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V(\vec{x})\Psi=i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}.
\end{equation}
\end{itemize}

Observaciones:

\begin{itemize}
\item Todas estas ecuaciones son \textit{lineales} en la función desconocida.
\item Las ecuaciones fundamentales de la Física atmosférica son no-lineales, así como también las ecuaciones involucradas en los problemas de turbulencia.
\item Estas ecuaciones son casi todas de segundo orden excepto las ecuaciones de Maxwell y de Dirac que son de primer orden.
\end{itemize}

Las técnicas generales para (intentar) resolver \textit{EDP lineales} que consideraremos en este curso son:
\begin{enumerate}
\item \textbf{Método de separación de variables}: La ecuación diferencial parcial es desdoblada en ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. La solución de la EDP es construida como superposición de soluciones que son el producto de funciones dependientes de cada variable. Usando este método es posible reducir la ec. de la onda, la ec. del calor, y la ec. de Klein-Gordon a la ec. de Helmholtz.
\item \textbf{Método de las transformadas integrales} (Fourier, Laplace, etc.), para resolver EDP inhomogéneas.
\item \textbf{Método de las funciones de Green}, para resolver EDP inhomogéneas.

\end{enumerate}

\section{Clasificación de E.D.P. lineales de segundo orden y Condiciones de Borde}

Una E.D.P. \textit{lineal de segundo orden} de la forma \cite{Hassani}
\begin{equation}\label{EDP2O}
\sum_{j=1}^m a_j(\vec{x})\frac{\partial^2\Psi}{\partial x_j^2}+F\left(\vec{x},\Psi,\vec\nabla\Psi\right)=0,
\end{equation}
o que pueda reducirse a (\ref{EDP2O}) por medio de algún cambio de variables, puede clasificarse en los siguientes tres tipos:
\begin{itemize}
\item \textbf{Elípticas en $\vec{x}_0$:} si en el punto $\vec{x}_0$ todos los coeficientes $a_j(\vec{x}_0)$ son no-nulos y tienen \textit{el mismo signo}. Ejemplo clásico: Ec. de Laplace.
\item \textbf{Ultrahiperbólicas en $\vec{x}_0$:} si en el punto $\vec{x}_0$ todos los coeficientes $a_j(\vec{x}_0)$ son no-nulos, pero \textit{no tienen el mismo signo}. Si sólo uno de los coeficientes tiene signo diferente del resto, la E.D.P. es \textbf{hiperbólica}. Ejemplo clásico: Ec. de onda.
\item \textbf{Parabólica en $\vec{x}_0$:} si en el punto $\vec{x}_0$ al menos uno de los coeficientes $a_j(\vec{x}_0)$ se anula. Ejemplo clásico: Ec. de difusión del calor.
\end{itemize}

Si una E.D.P. de segundo orden es de un tipo dado en todos los puntos de su dominio, se dice simplemente que es de ese tipo (es decir, el tipo no cambia de punto a punto). Esto ocurre, en particular con las E.D.P.'s de segundo orden con coeficientes constantes.

\subsection{Condiciones de Borde y condiciones suficientes para determinar soluciones}
La solución de una EDP en un dominio dado ($\Omega$) requiere especificar información adicional a la ecuación, en la frontera del dominio ($\partial\Omega$). Esta información recibe el nombre de \textbf{Condiciones de Borde} (C. de B.), o \textbf{condiciones de Frontera}, o bien \textbf{condiciones iniciales} y generalizan las condiciones necesarias para resolver una EDO.

En el caso de EDP's de segundo orden, existen tres tipos principales de C. de B.:

\begin{itemize}
\item C. de B. \textbf{tipo Dirichlet}: donde el valor de la función ($\Psi$) es especificada en (partes de) la frontera ($\partial\Omega$) de la región considerada.
\item C. de B. \textbf{tipo Neumann}: donde el valor de la \textbf{derivada normal de función en la frontera} ($\partial\Psi/\partial t:=\hat{n}\cdot\vec\nabla\Psi$) es especificada en (partes de) la frontera ($\partial\Omega$).
\item C. de B. \textbf{tipo Cauchy}: donde se especifican \textit{simultaneamente} C. de B. tipo Dirichlet y Neumann en (partes de) la frontera ($\partial\Omega$).
\end{itemize}

Por ejemplo, en electroestática (donde el potencial electrostático $\phi$ satisface la ecuación de Poisson), una C. de B. tipo Dirichlet asociada a un dominio espacial $V$ significa especificar un valor del potencial en la frontera $\partial V$, mientras que una C. de B. tipo Neumann equivale a especificar el valor de la componente del campo eléctrico normal a la frontera. 

Existen teoremas de existencia y unicidad de soluciones de EDP's de segundo orden, dependiendo de si la ecuación es parabólica, hiperbólica o elíptica (ver \cite{Riley}, y el capítulo 6 de \cite{MF53} para mayores detalles).

\begin{tcolorbox}
\textbf{Teorema:} Condiciones de borde apropiadas para cada tipo de ecuación:

\begin{itemize}
\item E.D.P. elípticas +  C.de B. tipo \textit{Dirichlet o Neumann} sobre una (hiper)superficie \textit{cerrada}.
\item E.D.P. hiperbólica + C.de B. tipo \textit{Cauchy} sobre una (hiper)superficie \textit{abierta}.
\item E.D.P. parabólica + C.de B. tipo \textit{Dirichlet o Neumann} sobre una (hiper)superficie \textit{abierta}.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}
\subsection{Ejemplo: Difusión del calor unidimensional}

Usando la transformada de Fourier espacial (o temporal) podemos resolver la ecuación de difusión del calor unidimensional, es decir,
\begin{align}\label{ec1dej1}
\alpha \frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 x}-\frac{\partial \psi}{\partial t}=0,
\end{align}
en el dominio $-\infty<x<\infty$, $t\ge 0$, y sujeta a las siguientes condiciones de contorno
\begin{align}
\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\psi(x,t)=0,\label{eq:bc1}\\
\psi(x,0)=\phi(x).\label{eq:bc2}
\end{align}

Aplicando la tranformada de Fourier espacial a la ecuación \eqref{ec1dej1}, se obtiene
\begin{align}
\alpha {\cal F}_{x}[\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 x}]-{\cal F}_{x}[\frac{\partial \psi}{\partial t}]=0.
\end{align}

Además por la condición de contorno \eqref{eq:bc1} tenemos que
\begin{align}
{\cal F}_{x}[\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 x}]=(i k)^2 {\cal F}_{x}[\psi]=(i k)^2 \tilde{\psi}(k,t),
\end{align}
y como
\begin{align}
{\cal F}_{x}[\frac{\partial \psi}{\partial t}]=\frac{\partial}{\partial t}{\cal F}_{x}[\psi],
\end{align}
entonces
\begin{align}
-\alpha k^2 \tilde{\psi}(k,t)-\frac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(k,t)=0.
\end{align}

Por lo tanto, obtenemos una ecuación diferencial más simple, donde la dependencia espacial original ha sido ahora reducida a una dependencia algebraica:
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\tilde{\psi}(k,t)=-\alpha k^2\, \tilde{\psi}(k,t).
\end{align}

Resolviendo esta ecuación respecto a la variable $t$, encontramos
\begin{align}
\tilde{\psi}(k,t)=\tilde{\psi}(k,0)\,e^{-\alpha k^2 t}.
\end{align}
Por otro lado, empleando la condición \eqref{eq:bc2} vemos que
\begin{align}
\tilde{\psi}(k,0) = {\cal F}_{x}[\psi(x,0)]={\cal F}_{x}[\psi(x)] =\tilde{\phi}(k).
\end{align}
En consecuencia,
\begin{align}
\tilde{\psi}(k,t)=\tilde{\phi}(k)\,e^{-\alpha k^2 t}.
\end{align}
Con esto, la solución $\psi(x,t)$ del problema es dada por la transformada inversa,
\begin{align}
\psi(x,t) &= {\cal F}^{-1}[\tilde{\psi}(k,t)]= {\cal F}^{-1}[\tilde{\phi}(k)\,e^{-\alpha k^2 t}]
\end{align}
o, más explícitamente,
\begin{align}
\psi(x,t) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\psi}(k,t)e^{ikx} dk\notag \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\phi}(k)e^{-\alpha k^2 t}e^{ikx} dk,
\end{align}
con
\begin{align}
\tilde{\phi}(k)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)e^{ikx}dx.
\end{align}

Por ejemplo, si
\begin{align}
\phi(x)=T_{0}\,\delta(x),
\end{align}
entonces
\begin{align}
\tilde{\phi}(k)=T_{0}\,{\cal F}_{x}[\delta(x)]=T_{0}.
\end{align}
Por consiguiente,
\begin{align}
\psi(x,t) &= T_{0}{\cal F}^{-1}[e^{-\alpha k^2 t}].
\end{align}

Adaptando nuestro resultado para la transformada inversa de la función gaussiana, es decir \eqref{Tfinvgauss}, podemos escribir
\begin{align}
{\cal F}^{-1}[e^{-\alpha k^2 t}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi\alpha t}}e^{-x^2/4\alpha t}.
\end{align}
%\begin{align}
%\psi(x,t)=\frac{T_{0}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha k^2 t} e^{ikx}dk
%=\frac{T_{0}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha k^2 t+ikx}dk,
%\end{align}
%pero completando cuadrados vemos que
%\begin{align}
%-\alpha k^2 t+ikx=&-\alpha t \left( k^2-\frac{ikx}{\alpha t}\right)\notag \\
%=&-\alpha t \left( k^2-\frac{ikx}{\alpha t}+\left(\frac{ix}{2\alpha t}\right)^2-\left(\frac{ix}{2\alpha t}\right)^2\right)\notag \\
%=&-\alpha t\left( \left(k-\frac{ix}{2\alpha t} \right)^2 +\frac{x^2}{4 \alpha^2 t^2}\right)\notag \\
%=& -\alpha t \left(k-\frac{ix}{2\alpha t} \right)^2-\frac{x^2}{4 \alpha t},
%\end{align}
%luego
%\begin{align}
%\psi(x,t)=&\frac{T_{0}}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{4 \alpha t}} e^{-\alpha t \left(k-\frac{ix}{2\alpha t} \right)^2} dk\notag \\
%=&\frac{T_{0} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha t}}}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha t \left(k-\frac{ix}{2\alpha t} \right)^2} dk,
%\end{align}
%y haciendo el cambio de variables $y:=\sqrt{\alpha t}(k-ix/2\alpha t)$ se tiene que $dy=\sqrt{\alpha t} dk$, entonces
%\begin{align}
%\psi(x,t)=&\frac{T_{0} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha t}}}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}e^{-y^2} \frac{dy}{\sqrt{\alpha t}},
%\end{align}
Por lo tanto, se ha hallado que\footnote{En el repositorio de estos apuntes, en particular en \href{https://github.com/gfrubi/FM2/blob/master/Notebooks/Ejemplo-Difusion-Calor-1D.ipynb}{este link} puede encontrar un notebook con gráficos y animaciones de la solución.}
\begin{align}
\psi(x,t)=&\frac{T_{0}}{2\sqrt{\pi \alpha t}}e^{-\frac{x^2}{4 \alpha t}},\qquad \forall t>0.
\end{align}