odziv-broda.qmd

# Odziv broda na valovima

Sada kada imamo matematički opis uzburkanog mora (valni spektar), potrebno je odrediti kako će konkretan brod reagirati na to more. Ta reakcija broda naziva se **odziv (e: *response*)**. Odziv može biti kinematički (npr. amplituda poniranja, kut ljuljanja, brzina, ubrzanje) ili strukturni (npr. moment savijanja trupa, poprečna sila, naprezanje u oplati).

## Kut susretanja valova

Prije analize odziva broda, potrebno je definirati geometrijski odnos između smjera napredovanja valova i smjera plovidbe broda. **Kut susretanja valova (e: *heading angle / wave encounter angle*)**, $\mu$, je kut koji zatvara uzdužna simetrala broda (smjer napredovanja) sa smjerom napredovanja valova.

Prema konvenciji u pomorstvenosti, kutovi se definiraju na sljedeći način:

- $\mu = 0°$: **Krmeni valovi (e: *following seas*)** — valovi dolaze s krme, u istom smjeru kao i brod. Ovo su uvjeti u kojima može nastupiti opasno parametarsko ljuljanje ili gubitak smjerne stabilnosti (e: *broaching*).
- $\mu = 45°$ ili $\mu = 315°$: **Krmeno kosi valovi (e: *stern quartering seas*)** — valovi dolaze u krmeni kvartir (e: *quarter*), s desnog boka (e: *starboard*) ili lijevog boka (e: *port*).
- $\mu = 90°$ ili $\mu = 270°$: **Bočni valovi (e: *beam seas*)** — valovi udaraju točno u bok broda, okomito na uzdužnu os. U ovim uvjetima ljuljanje (e: *roll*) je najizraženije.
- $\mu = 135°$ ili $\mu = 225°$: **Pramčano kosi valovi (e: *bow quartering seas*)** — valovi dolaze u pramčani kvartir.
- $\mu = 180°$: **Pramčani valovi (e: *head seas*)** — valovi dolaze prema pramcu, suprotno smjeru plovidbe. U ovim uvjetima poniranje (e: *heave*) i posrtanje (e: *pitch*) su najizraženiji, a frekvencija susretanja s valovima je najveća.

Kut susretanja ima presudan utjecaj na to koji će stupnjevi slobode gibanja biti dominantni, kao i na frekvenciju kojom brod "osjeća" valove.

## Pretpostavka linearnosti i frekvencija susreta

Temelj moderne analize pomorstvenosti je pretpostavka o linearnosti sustava. Pretpostavlja se da je odziv broda linearno proporcionalan visini (amplitudi) vala koji taj odziv uzrokuje. Ako se visina vala udvostruči, udvostručit će se i amplituda posrtanja ili moment savijanja. Ova pretpostavka vrijedi za blaga i umjerena stanja mora, dok za ekstremne oluje postaje manje točna, ali je i dalje inženjerski najkorisnija.

Budući da brod plovi određenom brzinom ($V$) i pod kutom $\mu$ prema valovima, brod ne "osjeća" apsolutnu frekvenciju vala ($\omega$), već prividnu **frekvenciju susreta (e: *encounter frequency*)**, $\omega_e$. Veza između njih dana je izrazom:

$$\omega_e = \omega - \frac{\omega^2}{g} V \cos \mu$$

::: {#fig-frekvencija-susreta}
```{=html}
<div id="encounter-widget" style="font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, sans-serif; border: 1px solid #ddd; border-radius: 8px; padding: 20px; background: #fff; box-shadow: 0 4px 6px rgba(0,0,0,0.05); margin: 20px 0;">
    <h4 style="margin-top: 0; color: #333; margin-bottom: 15px;">Frekvencija susreta (Encounter Frequency)</h4>
    
    <div style="display: flex; gap: 20px; margin-bottom: 15px; flex-wrap: wrap; background: #f8f9fa; padding: 15px; border-radius: 6px;">
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px;">Brzina broda, <span style="font-style: italic;">V</span>: <span id="val-V" style="color: #212529;">15.0</span> čv</label><br>
            <input type="range" id="slider-V" min="0" max="30" value="15.0" step="0.5" style="width: 100%;">
            
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; margin-top: 10px; display: block;">Kut kursa, <span style="font-style: italic;">μ</span>: <span id="val-mu" style="color: #212529;">180</span>°</label>
            <input type="range" id="slider-mu" min="0" max="180" value="180" step="1" style="width: 100%;">
            <div style="display: flex; justify-content: space-between; font-size: 11px; color: #666;">
                <span>0° (Krma)</span>
                <span>90° (Bok)</span>
                <span>180° (Pramac)</span>
            </div>
        </div>
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px;">Period vala, <span style="font-style: italic;">T</span>: <span id="val-T-enc" style="color: #212529;">8.0</span> s</label><br>
            <input type="range" id="slider-T-enc" min="1" max="10" value="4.0" step="0.5" style="width: 100%;">
            
            <div style="margin-top: 20px; padding: 10px; background: #fff; border: 1px solid #dee2e6; border-radius: 4px;">
                <div style="font-size: 13px;">ω = <span id="res-omega">0.79</span> rad/s</div>
                <div style="font-size: 15px; font-weight: bold; color: #0d6efd;">ωₑ = <span id="res-omegae">1.05</span> rad/s</div>
                <div style="font-size: 13px; color: #6c757d;">Tₑ = <span id="res-Te">5.98</span> s</div>
            </div>
        </div>
    </div>

    <div style="position: relative; width: 100%; padding-top: 40%; min-height: 300px; background: #e0f7fa; border-radius: 4px; overflow: hidden; border: 1px solid #b2ebf2;">
        <canvas id="encounter-canvas" style="position: absolute; top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%;"></canvas>
    </div>
</div>

<script>
(function() {
    const canvas = document.getElementById('encounter-canvas');
    const ctx = canvas.getContext('2d');
    
    const sldV = document.getElementById('slider-V');
    const sldMu = document.getElementById('slider-mu');
    const sldT = document.getElementById('slider-T-enc');
    
    const dV = document.getElementById('val-V');
    const dMu = document.getElementById('val-mu');
    const dT = document.getElementById('val-T-enc');
    
    const rW = document.getElementById('res-omega');
    const rWe = document.getElementById('res-omegae');
    const rTe = document.getElementById('res-Te');

    let time = 0;
    let lastTime = performance.now();

    function resizeCanvas() {
        const rect = canvas.parentElement.getBoundingClientRect();
        canvas.width = rect.width;
        canvas.height = rect.height;
    }
    
    window.addEventListener('resize', resizeCanvas);
    resizeCanvas();

    function draw() {
        const now = performance.now();
        const dt = (now - lastTime) / 1000;
        lastTime = now;
        
        const V_knots = parseFloat(sldV.value);
        const mu_deg = parseFloat(sldMu.value);
        const T = parseFloat(sldT.value);
        
        const V = V_knots * 0.51444; // m/s
        const mu = mu_deg * Math.PI / 180;
        const omega = 2 * Math.PI / T;
        const g = 9.81;
        const k = (omega * omega) / g;
        const L_wave = 2 * Math.PI / k;
        const c = omega / k; // wave celerity
        
        const omega_e = omega - k * V * Math.cos(mu);
        const T_e = Math.abs(2 * Math.PI / omega_e);

        time += dt;

        dV.textContent = V_knots.toFixed(1);
        dMu.textContent = mu_deg;
        dT.textContent = T.toFixed(1);
        rW.textContent = omega.toFixed(2);
        rWe.textContent = omega_e.toFixed(2);
        rTe.textContent = isFinite(T_e) ? T_e.toFixed(2) : "∞";

        const width = canvas.width;
        const height = canvas.height;
        ctx.clearRect(0, 0, width, height);
        
        ctx.save();
        ctx.translate(width/2, height/2);
        
        // Fiksna valna duljina (jednaka duljini nacrtanog broda, 100px)
        const visual_L_wave = 100;
        
        // Želimo da brzina pomicanja valova na ekranu (pix/s) bude 
        // direktno proporcionalna frekvenciji susreta (omega_e).
        // Neka osnovni faktor skaliranja za brzinu animacije bude npr. 20
        const animation_speed = omega_e * 20; 
        
        // Udaljenost koju su valovi prešli do sada (akumulirana na temelju brzine i vremena)
        // phaseOffset raste s vremenom.
        const phaseOffset = animation_speed * time; 
        
        // Modulo osigurava da valovi idu u beskonačnost
        const shift = phaseOffset % visual_L_wave;
        
        ctx.strokeStyle = "rgba(2, 136, 209, 0.4)";
        ctx.lineWidth = 3;
        
        const numWaves = Math.ceil(width / visual_L_wave) + 2;
        for(let n = -numWaves; n <= numWaves; n++) {
            const x = n * visual_L_wave - shift;
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(x, -height);
            ctx.lineTo(x, height);
            ctx.stroke();
            
            // Draw subtle shading for wave shape
            ctx.fillStyle = "rgba(2, 136, 209, 0.05)";
            ctx.fillRect(x - visual_L_wave/2, -height, visual_L_wave/2, height*2);
        }
        
        // Draw Ship
        ctx.save();
        // Ship orientation: 
        // mu=180 (Head) -> points towards waves (right)
        // mu=0 (Following) -> points with waves (left)
        ctx.rotate(-mu + Math.PI); 
        
        ctx.fillStyle = "#455a64";
        ctx.shadowBlur = 10;
        ctx.shadowColor = "rgba(0,0,0,0.2)";
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(50, 0); // Bow
        ctx.bezierCurveTo(40, 25, -30, 25, -50, 20); // Side
        ctx.lineTo(-50, -20);
        ctx.bezierCurveTo(-30, -25, 40, -25, 50, 0); // Side
        ctx.closePath();
        ctx.fill();
        ctx.shadowBlur = 0;
        
        // Deck details
        ctx.strokeStyle = "rgba(255,255,255,0.3)";
        ctx.lineWidth = 2;
        ctx.strokeRect(-30, -10, 40, 20);
        
        // Heading vector
        if (V_knots > 0) {
            ctx.strokeStyle = "#ff5722";
            ctx.lineWidth = 3;
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(50, 0);
            ctx.lineTo(50 + V_knots * 2, 0);
            ctx.stroke();
            // Arrowhead
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(50 + V_knots * 2, 0);
            ctx.lineTo(45 + V_knots * 2, -5);
            ctx.moveTo(50 + V_knots * 2, 0);
            ctx.lineTo(45 + V_knots * 2, 5);
            ctx.stroke();
        }
        ctx.restore();
        ctx.restore();
        
        // Text labels for direction (WAVES ALWAYS FROM RIGHT TO LEFT)
        ctx.fillStyle = "#01579b";
        ctx.font = "bold 13px sans-serif";
        ctx.textAlign = "right";
        ctx.fillText("SMJER VALOVA", width - 10, 25);
        ctx.strokeStyle = "#01579b";
        ctx.lineWidth = 2;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(width - 10, 35);
        ctx.lineTo(width - 110, 35);
        ctx.lineTo(width - 100, 30);
        ctx.moveTo(width - 110, 35);
        ctx.lineTo(width - 100, 40);
        ctx.stroke();

        requestAnimationFrame(draw);
    }

    draw();
})();
</script>
```

Vizualizacija utjecaja brzine i kuta kursa na frekvenciju susreta. Radi lakšeg uočavanja, valna duljina u animaciji fiksirana je na duljinu broda. Primijetite kako period vala $T$, brzina $V$ i smjer plovidbe diktiraju brzinu kojom valovi prolaze pored broda (frekvenciju susreta). U pramčanim valovima ($\mu = 180^\circ$) susreti su učestali ($\omega_e > \omega$), dok su u krmenim valovima ($\mu = 0^\circ$) rjeđi ($\omega_e < \omega$).
:::

## Prijenosne funkcije (RAO)

**Prijenosna funkcija** ili **Operator amplitudnog odziva (e: *Response Amplitude Operator - RAO*)** je najvažnija karakteristika svakog broda u pomorstvenosti. RAO nam govori koliki će odziv brod ostvariti kada naiđe na pravilni harmonijski val jedinične amplitude (amplituda = 1 metar) pri određenoj frekvenciji.

Matematički, RAO je omjer amplitude odziva ($\zeta_{a,odziv}$) i amplitude pravilnog vala ($\zeta_a$):

$$RAO(\omega_e) = \frac{\zeta_{a,odziv}}{\zeta_a}$$

Svaki brod ima jedinstven set RAO krivulja (za svih 6 stupnjeva slobode te za globalna opterećenja). Te krivulje nisu statične, već ovise o:

1. **Formi trupa i rasporedu masa** (svaki projekt ima svoj RAO).
2. **Brzini broda (**$V$**)**.
3. **Kutnom smjeru nailaska valova (**$\mu$**)** (npr. pramčani valovi / e: *head seas*, valovi u bok / e: *beam seas*).
4. **Stanju krcanja** (promjena gaza i težišta drastično mijenja RAO).

RAO funkcije dobivaju se ili modelskim ispitivanjima u bazenu (e: *towing tank tests*) ili, danas najčešće, pomoću specijaliziranih hidrodinamičkih softvera koji se temelje na teoriji vrpci (e: *strip theory*) ili 3D panel metodama.

## Spektar odziva (Response Spectrum)

Kada poznajemo valni spektar mora ($S_W$) i prijenosnu funkciju broda ($RAO$), možemo izračunati **spektar odziva broda (e: *response spectrum*)**, $S_R$.

Prema principu linearne superpozicije, energija odziva na nekoj frekvenciji jednaka je energiji vala na toj frekvenciji pomnoženoj s *kvadratom* prijenosne funkcije. Ovo je temeljna jednadžba pomorstvenosti:

$$S_R(\omega_e) = |RAO(\omega_e)|^2 \cdot S_W(\omega_e)$$

Ova jednadžba predstavlja elegantno inženjersko rješenje:

- $S_W(\omega_e)$ opisuje **okoliš** (stanje mora kakvo jest, neovisno o interakciji s brodom).
- $RAO(\omega_e)$ opisuje **brod** (njegove hidrodinamičke značajke, neovisne o trenutnom moru).
- $S_R(\omega_e)$ daje konačan rezultat, **kako se taj specifični brod ponaša na tom specifičnom moru**.

Površina ispod novodobivene krivulje spektra odziva predstavlja nulti spektralni moment odziva ($m_{0,odziv}$), odnosno varijancu. Iz tog momenta, primjenom Rayleighove razdiobe inženjeri računaju ključne statističke vrijednosti. Na primjer, značajnu amplitudu ljuljanja, najveći očekivani moment savijanja u 3 sata oluje ili vjerojatnost da će pramac udariti o valove (e: *slamming probability*).

## Jednadžbe gibanja

Kada brod plovi na valovima, njegovo gibanje opisuje se sustavom diferencijalnih jednadžbi drugog reda (temeljenih na Newtonovom drugom zakonu). Za svaki stupanj slobode gibanja ($i = 1, \dots, 6$), suma inercijalnih, prigušnih i povratnih sila mora biti u ravnoteži s vanjskom uzbudnom silom mora:

$$\sum_{j=1}^{6} \left[ (M_{ij} + A_{ij})\ddot{\eta}_j + B_{ij}\dot{\eta}_j + C_{ij}\eta_j \right] = F_i$$

gdje je $M_{ij}$ matrica vlastite mase i momenata inercije masa samog broda (koja je statična, izračunata iz raspodjele težina), $\eta_j$ pomak (kretanje), $\dot{\eta}_j$ brzina, a $\ddot{\eta}_j$ ubrzanje. Ostali članovi jednadžbe predstavljaju specifične hidrodinamičke i hidrostatičke sile koje dijelimo u tri skupine: **uzbudne sile** (desna strana jednadžbe) te **radijacijske sile** i **povratne (hidrostatičke) sile** (lijeva strana jednadžbe).

### Uzbudne sile (e: Excitation forces)

Ovo su sile kojima nadolazeći valovi djeluju na brod ili odobalni objekt, nastojeći ga pomaknuti iz stanja ravnoteže. Oznaka u jednadžbi je $F_i$, a računaju se uz pretpostavku da je objekt *nepomičan* na valovima. Metoda proračuna ovih opterećenja u potpunosti ovisi o veličini i obliku (vitkosti) samog objekta u odnosu na duljinu vala.

#### Strukture velikog volumena (Brodovi)
Karakteristična dimenzija broda (npr. širina $B$) nije zanemariva u usporedbi s duljinom vala ($\lambda$), što znači da brod značajno mijenja polje tlakova oko sebe. Za takve objekte uzbudna sila sastoji se od dvije komponente:

- **Froude-Krylovljeva sila (e: *Froude-Krylov force*):** Sila koja nastaje uslijed neometanog tlaka samog vala. Računa se integracijom dinamičkog tlaka vala (iz Airyjeve teorije) po uronjenoj površini trupa, uz pretpostavku da prisutnost broda uopće ne ometa i ne mijenja oblik vala. Ovisi isključivo o geometriji vala i geometriji uronjenog dijela trupa.
- **Difrakcijska sila (e: *Diffraction force*):** U stvarnosti, brod je čvrsto tijelo koje predstavlja prepreku. Kada val udari u nepomični trup, on se odbija i deformira (raspršuje). Difrakcijska sila je hidrodinamička korekcija koja uzima u obzir tu promjenu polja tlaka zbog prisutnosti broda. Za brodove se difrakcija rješava numerički (strip teorijom ili 3D panel metodama).

#### Vitke strukture (Morisonova jednadžba)
Za razliku od brodskih trupova, odobalne platforme (e: *offshore platforms*), vjetroagregati i cjevovodi često se sastoje od vitkih elemenata. Smatra se da je element vitak ako je njegov karakteristični promjer ($D$) znatno manji od valne duljine (uobičajeni kriterij je $D < 0.2\lambda$). U tom slučaju, objekt zanemarivo malo mijenja oblik vala (nema značajne difrakcijske sile), ali zbog malog presjeka dominiraju sile viskoznog trenja.

Za računanje valnih opterećenja na takve vitke objekte koristi se poluempirijska **Morisonova jednadžba (e: *Morison equation*)**. Ona ukupnu horizontalnu hidrodinamičku silu po jedinici duljine cilindra u oscilatornom strujanju vala računa kao zbroj **inercijske sile** i sile **viskoznog otpora (e: *drag force*)**:

$$f = \underbrace{C_m \rho \frac{\pi D^2}{4} \dot{u}}_{\text{Inercijska sila}} + \underbrace{\frac{1}{2} C_d \rho D u |u|}_{\text{Sila otpora}}$$

gdje su:

- $u$ i $\dot{u}$ — horizontalna brzina i ubrzanje čestica vode (iz npr. Airyjeve teorije linearnih valova),
- $\rho$ — gustoća morske vode,
- $C_m$ — koeficijent inercije ($C_m = 1 + C_a$, gdje je $C_a$ koeficijent dodane mase),
- $C_d$ — koeficijent otpora.

Morisonova jednadžba uvelike pojednostavljuje proračun opterećenja za inženjere u odobalnoj industriji i brodogradnji kada dimenzioniraju vitke appendages (dodatke) broda.

::: {#fig-morison-widget}
```{=html}
<div id="morison-widget" style="font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, sans-serif; border: 1px solid #ddd; border-radius: 8px; padding: 20px; background: #fff; box-shadow: 0 4px 6px rgba(0,0,0,0.05); margin: 20px 0;">
    <h4 style="margin-top: 0; color: #333; margin-bottom: 15px;">Morisonova jednadžba za isječak cilindra D = 1m</h4>
    
    <div style="display: flex; gap: 20px; margin-bottom: 20px; flex-wrap: wrap; background: #f8f9fa; padding: 15px; border-radius: 6px;">
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; display: block;">Visina vala (H): <span id="val-H-mor" style="color: #212529;">5.0</span> m</label>
            <input type="range" id="slider-H-mor" min="1" max="20" value="5.0" step="0.5" style="width: 100%;">
            
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; margin-top: 10px; display: block;">Period vala (T): <span id="val-T-mor" style="color: #212529;">8.0</span> s</label>
            <input type="range" id="slider-T-mor" min="4" max="20" value="8.0" step="0.5" style="width: 100%;">
        </div>
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px;">Koeficijent inercije (Cm): <span id="val-Cm-mor" style="color: #212529;">2.0</span></label><br>
            <input type="range" id="slider-Cm-mor" min="1" max="3" value="2.0" step="0.1" style="width: 100%;">
            
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; margin-top: 10px; display: block;">Koeficijent otpora (Cd): <span id="val-Cd-mor" style="color: #212529;">1.0</span></label>
            <input type="range" id="slider-Cd-mor" min="0.5" max="2" value="1.0" step="0.1" style="width: 100%;">
        </div>
        <div style="flex-basis: 100%; margin-top: 10px; padding: 15px; background: #fff; border: 1px solid #dee2e6; border-radius: 4px; font-size: 14px; display: flex; justify-content: space-around; text-align: center; flex-wrap: wrap; gap: 10px;">
            <div style="color: #d32f2f; font-weight: bold;">Maks. Sila otpora<br><span id="res-Fdrag" style="font-size: 18px;">0</span> kN/m</div>
            <div style="color: #1976d2; font-weight: bold;">Maks. Inercijska sila<br><span id="res-Finertia" style="font-size: 18px;">0</span> kN/m</div>
            <div style="color: #388e3c; font-weight: bold;">Maks. Ukupna sila<br><span id="res-Ftotal" style="font-size: 18px;">0</span> kN/m</div>
        </div>
    </div>

    <div style="position: relative; width: 100%; height: 300px; background: #fff; border-radius: 4px; border: 1px solid #ccc;">
        <canvas id="morison-canvas" style="position: absolute; top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%;"></canvas>
    </div>
    <div style="display: flex; justify-content: center; gap: 15px; margin-top: 10px; font-size: 13px;">
        <span style="color: #d32f2f; font-weight: bold;">— Sila otpora (Drag)</span>
        <span style="color: #1976d2; font-weight: bold;">— Inercijska sila</span>
        <span style="color: #388e3c; font-weight: bold; border-bottom: 2px dashed #388e3c;">--- Ukupna sila</span>
    </div>
</div>

<script>
(function() {
    const canvas = document.getElementById('morison-canvas');
    const ctx = canvas.getContext('2d');
    
    const sldH = document.getElementById('slider-H-mor');
    const sldT = document.getElementById('slider-T-mor');
    const sldCm = document.getElementById('slider-Cm-mor');
    const sldCd = document.getElementById('slider-Cd-mor');
    
    const valH = document.getElementById('val-H-mor');
    const valT = document.getElementById('val-T-mor');
    const valCm = document.getElementById('val-Cm-mor');
    const valCd = document.getElementById('val-Cd-mor');
    
    const resFd = document.getElementById('res-Fdrag');
    const resFi = document.getElementById('res-Finertia');
    const resFt = document.getElementById('res-Ftotal');

    function resizeCanvas() {
        const rect = canvas.parentElement.getBoundingClientRect();
        canvas.width = rect.width;
        canvas.height = rect.height;
        draw();
    }
    
    window.addEventListener('resize', resizeCanvas);

    function draw() {
        const D = 1.0; // Fixed diameter
        const H = parseFloat(sldH.value);
        const T = parseFloat(sldT.value);
        const Cm = parseFloat(sldCm.value);
        const Cd = parseFloat(sldCd.value);
        
        valH.textContent = H.toFixed(1);
        valT.textContent = T.toFixed(1);
        valCm.textContent = Cm.toFixed(1);
        valCd.textContent = Cd.toFixed(1);

        const width = canvas.width;
        const height = canvas.height;
        ctx.clearRect(0, 0, width, height);

        const rho = 1025; // kg/m^3
        const omega = 2 * Math.PI / T;
        const Um = Math.PI * H / T; // max velocity at surface (deep water approx)
        
        // Data arrays
        const steps = 100;
        const f_drag = [];
        const f_inertia = [];
        const f_total = [];
        
        let max_Fd = 0;
        let max_Fi = 0;
        let max_Ft = 0;

        for(let i = 0; i <= steps; i++) {
            const t = (i / steps) * T; // One full wave period
            const phase = omega * t;
            
            // Kinematics at surface
            const u = Um * Math.cos(phase);
            const a = -Um * omega * Math.sin(phase);
            
            // Forces per unit length
            const fd = 0.5 * Cd * rho * D * u * Math.abs(u);
            const fi = Cm * rho * (Math.PI * D * D / 4) * a;
            const ft = fd + fi;
            
            f_drag.push(fd);
            f_inertia.push(fi);
            f_total.push(ft);
            
            max_Fd = Math.max(max_Fd, Math.abs(fd));
            max_Fi = Math.max(max_Fi, Math.abs(fi));
            max_Ft = Math.max(max_Ft, Math.abs(ft));
        }
        
        resFd.textContent = (max_Fd / 1000).toFixed(2);
        resFi.textContent = (max_Fi / 1000).toFixed(2);
        resFt.textContent = (max_Ft / 1000).toFixed(2);

        // Drawing chart
        const margin = 30;
        const graphWidth = width - 2 * margin;
        const graphHeight = height - 2 * margin;
        
        // Dynamic scale based on absolute max value
        const absMaxForce = Math.max(max_Fd, max_Fi, max_Ft) * 1.1; // 10% padding
        if (absMaxForce === 0) return; // Prevent division by zero
        
        const scaleY = (graphHeight / 2) / absMaxForce;
        const centerY = height / 2;

        // Draw Axes
        ctx.strokeStyle = "#aaa";
        ctx.lineWidth = 1;
        ctx.beginPath();
        // X axis
        ctx.moveTo(margin, centerY);
        ctx.lineTo(width - margin + 10, centerY);
        ctx.stroke();
        
        // Y axis
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(margin, margin - 10);
        ctx.lineTo(margin, height - margin);
        ctx.stroke();
        
        // Axis Labels
        ctx.fillStyle = "#666";
        ctx.font = "italic 12px sans-serif";
        ctx.textAlign = "right";
        ctx.fillText("Vrijeme (t)", width - margin + 10, centerY + 15);
        ctx.textAlign = "left";
        ctx.fillText("Sila (kN/m)", margin + 5, margin - 10);

        // Function to draw lines
        function drawLine(data, color, isDashed = false) {
            ctx.beginPath();
            ctx.strokeStyle = color;
            ctx.lineWidth = 2;
            if (isDashed) ctx.setLineDash([5, 5]);
            else ctx.setLineDash([]);
            
            for(let i = 0; i <= steps; i++) {
                const x = margin + (i / steps) * graphWidth;
                const y = centerY - data[i] * scaleY;
                if (i === 0) ctx.moveTo(x, y);
                else ctx.lineTo(x, y);
            }
            ctx.stroke();
            ctx.setLineDash([]); // Reset
        }

        drawLine(f_drag, "#d32f2f");      // Red for drag
        drawLine(f_inertia, "#1976d2");   // Blue for inertia
        drawLine(f_total, "#388e3c", true); // Green dashed for total
    }

    // Attach events to sliders
    [sldH, sldT, sldCm, sldCd].forEach(slider => {
        slider.addEventListener('input', draw);
    });

    // Initial setup
    setTimeout(resizeCanvas, 0); // Allow DOM to layout first
})();
</script>
```

Vizualizacija omjera i faznog pomaka inercijske sile i sile otpora prema Morisonovoj jednadžbi.
:::

### Hidrodinamičke sile radijacije

Ove sile reakcije (e: *radiation forces*) nastaju kao reakcija samog fluida na kretanje broda. Računaju se uz pretpostavku da je more *mirno*, a da brod prisilno oscilira. Dok brod oscilira, on "gura" vodu oko sebe, stvarajući vlastite valove i trošeći energiju. Radijacijska sila dijeli se na dvije komponente koje ulaze u matricu sustava:

- **Dodana masa (e: *Added mass*),** $A_{ij}$**:** Komponenta radijacijske sile koja je proporcionalna **ubrzanju** broda ($\ddot{\eta}_j$). Budući da brod pri kretanju mora ubrzavati i određenu masu vode koja ga okružuje, ta se masa vode fiktivno "dodaje" vlastitoj masi broda u jednadžbi. Ovisi o frekvenciji osciliranja i obliku trupa.
- **Prigušenje (e: *Radiation damping*),** $B_{ij}$**:** Komponenta radijacijske sile koja je proporcionalna **brzini** broda ($\dot{\eta}_j$). Kada brod oscilira, on generira površinske valove koji putuju od broda odnoseći (zračeći) mehaničku energiju. Ovaj gubitak energije djeluje kao prigušivač kretanja broda. Najveće prigušenje javlja se pri valjanju (ljuljanju), zbog čega se često ugrađuju i dodatna viskozna prigušenja (ljuljne kobilice / e: *bilge keels*).

  ![Ljuljna kobilica (e: *bilge keel*) na trupu krstarice MS *Oosterdam* u suhom doku — uzdužno rebro uz uzvojni dio trupa koje dodaje viskozno prigušenje i tako smanjuje ljuljanje. Izvor: Wikimedia Commons (autor: Caplars, CC BY-SA 4.0).](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Kimkiel_MS_Oosterdam%2C_droogdok_Palermo.jpg/960px-Kimkiel_MS_Oosterdam%2C_droogdok_Palermo.jpg){#fig-ljuljna-kobilica width="70%"}

Važno je napomenuti da, kada brod ima brzinu napredovanja ($V > 0$), matrice dodane mase i prigušenja više nisu nužno simetrične, a njihovi članovi (posebno oni koji povezuju poniranje i posrtanje) postaju izrazito zavisni o brzini broda. To znači da brod pri različitim brzinama "osjeća" različitu dodanu masu vode, što izravno utječe na njegove vlastite frekvencije i amplitude odziva.

### Povratne sile (e: restoring forces)

Ove sile teže vratiti brod u početni, uspravni položaj ravnoteže nakon što ga je val pomaknuo. Oznaka u jednadžbi je $C_{ij}$, a sila je proporcionalna samom **pomaku** ($\eta_j$). **Povratna sila (e: *Restoring force/moment*)** je isključivo **hidrostatička** komponenta. Nastaje zbog promjene volumena istisnine (uzgona) i položaja težišta uzgona kada brod zaroni, izroni, nagne se ili posrne. Matrica krutosti $C_{ij}$ je povezana sa hidrostatikom broda, odnosno površinom vodne linije i metacentarskom visinom (e: *metacentric height - GM*).

Zajedničko djelovanje inercijalnih sila (M + A), hidrodinamičkog prigušenja (B) i hidrostatičke krutosti (C) najlakše je shvatiti kroz klasični "Free Decay" test (test slobodnog opadanja), u kojem se brod nagne u mirnoj vodi i pusti da slobodno oscilira dok se potpuno ne umiri.

::: {#fig-decay-widget}
```{=html}
<div id="decay-widget" style="font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, sans-serif; border: 1px solid #ddd; border-radius: 8px; padding: 20px; background: #fff; box-shadow: 0 4px 6px rgba(0,0,0,0.05); margin: 20px 0;">
    <h4 style="margin-top: 0; color: #333; margin-bottom: 15px;">Slobodno ljuljanje (Roll Free Decay)</h4>
    
    <div style="display: flex; gap: 20px; margin-bottom: 20px; flex-wrap: wrap; background: #f8f9fa; padding: 15px; border-radius: 6px;">
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; display: block;">Dodana masa valjanja (A₄₄): <span id="val-A-dec" style="color: #212529;">20</span>% M₄₄</label>
            <input type="range" id="slider-A-dec" min="5" max="50" value="20" step="5" style="width: 100%;">
            <div style="font-size: 11px; color: #666; margin-bottom: 10px;">Povećava ukupnu tromost sustava.</div>
            
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; display: block;">Hidrostatska povratna krutost (GM): <span id="val-C-dec" style="color: #212529;">1.5</span> m</label>
            <input type="range" id="slider-C-dec" min="0.5" max="4.0" value="1.5" step="0.1" style="width: 100%;">
            <div style="font-size: 11px; color: #666;">Teži vratiti brod u uspravan položaj.</div>
        </div>
        <div style="flex: 1; min-width: 200px;">
            <label style="font-weight: bold; font-size: 14px; display: block;">Prigušenje valjanja (B₄₄): <span id="val-B-dec" style="color: #212529;">5</span>% kritičnog</label>
            <input type="range" id="slider-B-dec" min="1" max="20" value="5" step="1" style="width: 100%;">
            <div style="font-size: 11px; color: #666; margin-bottom: 10px;">Odvođenje energije radijacijom i viskoznim otporom.</div>
            
            <div style="margin-top: 15px; padding: 10px; background: #fff; border: 1px solid #dee2e6; border-radius: 4px; font-size: 14px;">
                <div style="color: #455a64;">Prirodni period ljuljanja (T₄): <span id="res-T-dec" style="font-weight: bold; color: #0d6efd;">0</span> s</div>
            </div>
        </div>
    </div>

    <div style="position: relative; width: 100%; height: 250px; background: #fff; border-radius: 4px; border: 1px solid #ccc;">
        <canvas id="decay-canvas" style="position: absolute; top: 0; left: 0; width: 100%; height: 100%;"></canvas>
    </div>
</div>

<script>
(function() {
    const canvas = document.getElementById('decay-canvas');
    const ctx = canvas.getContext('2d');
    
    const sldA = document.getElementById('slider-A-dec');
    const sldB = document.getElementById('slider-B-dec');
    const sldC = document.getElementById('slider-C-dec');
    
    const valA = document.getElementById('val-A-dec');
    const valB = document.getElementById('val-B-dec');
    const valC = document.getElementById('val-C-dec');
    
    const resT = document.getElementById('res-T-dec');

    function resizeCanvas() {
        const rect = canvas.parentElement.getBoundingClientRect();
        canvas.width = rect.width;
        canvas.height = rect.height;
        draw();
    }
    
    window.addEventListener('resize', resizeCanvas);

    function draw() {
        const addedMassPerc = parseFloat(sldA.value);
        const dampingPerc = parseFloat(sldB.value);
        const GM = parseFloat(sldC.value);
        
        valA.textContent = addedMassPerc;
        valB.textContent = dampingPerc;
        valC.textContent = GM.toFixed(1);

        const width = canvas.width;
        const height = canvas.height;
        ctx.clearRect(0, 0, width, height);

        // Fictional ship properties
        const M44 = 10000; // base moment of inertia
        const disp = 10000; // displacement * g
        
        const A44 = M44 * (addedMassPerc / 100);
        const M_total = M44 + A44;
        
        const C44 = disp * GM; // Restoring coefficient
        
        // Undamped natural frequency
        const omega_n = Math.sqrt(C44 / M_total);
        const T_n = 2 * Math.PI / omega_n;
        
        resT.textContent = T_n.toFixed(2);
        
        // Damping
        const B_crit = 2 * Math.sqrt(C44 * M_total);
        const B44 = B_crit * (dampingPerc / 100);
        const zeta = B44 / B_crit; // damping ratio
        
        // Damped natural frequency
        const omega_d = omega_n * Math.sqrt(1 - zeta * zeta);
        
        // Drawing chart
        const margin = 30;
        const graphWidth = width - 2 * margin;
        const graphHeight = height - 2 * margin;
        const centerY = height / 2;

        // Draw Axes
        ctx.strokeStyle = "#aaa";
        ctx.lineWidth = 1;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(margin, centerY);
        ctx.lineTo(width - margin + 10, centerY);
        ctx.stroke();
        
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(margin, margin - 10);
        ctx.lineTo(margin, height - margin);
        ctx.stroke();
        
        ctx.fillStyle = "#666";
        ctx.font = "italic 12px sans-serif";
        ctx.textAlign = "right";
        ctx.fillText("Vrijeme (t)", width - margin + 10, centerY + 15);
        ctx.textAlign = "left";
        ctx.fillText("Kut nagiba (°)", margin + 5, margin - 10);

        // Calculate data points
        const steps = 200;
        const maxTime = 40; // simulate 40 seconds
        const initialAngle = 15; // 15 degrees initial roll
        
        const scaleY = (graphHeight / 2) / 20; // scale for max 20 degrees
        
        ctx.beginPath();
        ctx.strokeStyle = "#ff5722";
        ctx.lineWidth = 2;
        
        for(let i = 0; i <= steps; i++) {
            const t = (i / steps) * maxTime;
            
            // Free decay equation: e^(-zeta * omega_n * t) * cos(omega_d * t)
            const decayEnv = Math.exp(-zeta * omega_n * t);
            const angle = initialAngle * decayEnv * Math.cos(omega_d * t);
            
            const x = margin + (t / maxTime) * graphWidth;
            const y = centerY - angle * scaleY;
            
            if (i === 0) ctx.moveTo(x, y);
            else ctx.lineTo(x, y);
        }
        ctx.stroke();
        
        // Draw exponential decay envelope
        ctx.beginPath();
        ctx.strokeStyle = "rgba(0,0,0,0.15)";
        ctx.lineWidth = 1;
        ctx.setLineDash([5, 5]);
        for(let i = 0; i <= steps; i++) {
            const t = (i / steps) * maxTime;
            const decayEnv = initialAngle * Math.exp(-zeta * omega_n * t);
            
            const x = margin + (t / maxTime) * graphWidth;
            const y = centerY - decayEnv * scaleY;
            
            if (i === 0) ctx.moveTo(x, y);
            else ctx.lineTo(x, y);
        }
        ctx.stroke();
        ctx.setLineDash([]);
    }

    [sldA, sldB, sldC].forEach(slider => {
        slider.addEventListener('input', draw);
    });

    setTimeout(resizeCanvas, 0);
})();
</script>
```

Vizualizacija utjecaja dodane mase, prigušenja i povratne sile (GM) na slobodno prigušeno valjanje broda (Free Decay test).
:::

## Metode proračuna

Budući da stvarni brodovi imaju složenu, trodimenzionalnu geometriju trupa, prijenosne funkcije (RAO) nije moguće izračunati analitički (pomoću jednostavnih formula). U modernoj brodograđevnoj praksi, RAO se određuje na dva osnovna načina: eksperimentalno i numerički.

Ispitivanje fizičkih modela broda u specijaliziranim bazenima opremljenim generatorima valova (poput *Brodarskog instituta*). Iako su najpouzdanija metoda i služe za validaciju, izrazito su skupa i dugotrajna, pa se provode samo u završnim fazama projekta.

![Ispitivanje modela broda u bazenu za tegljenje (model kontejnerskog broda *Emma Maersk*, MARIN). Modelska su ispitivanja najpouzdaniji, ali skup i dugotrajan način određivanja prijenosnih funkcija. Izvor: Wikimedia Commons (autor: MARIN, Maritime Research Institute Netherlands, CC BY-SA 3.0).](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Emma_Maersk_2.jpg/960px-Emma_Maersk_2.jpg){#fig-bazen width="70%"}

Za svakodnevni inženjerski proračun pomorstvenosti koriste se računalni programi temeljeni na hidrodinamičkim teorijama različite složenosti:

- **Teorija vrpci (e: *Strip theory*)** je tradicionalni industrijski standard za konvencionalne, vitke brodove s brzinom napredovanja ($V > 0$). Brod se reže na niz dvodimenzionalnih poprečnih presjeka (vrpci). Hidrodinamičke sile računaju se za svaku vrpcu zasebno i zatim integriraju po duljini broda. Metoda je iznimno brza i hardverski nezahtjevna. Poznati softveri: **Maxsurf Motions** (bivši Seakeeper), **Shipmo3D**, **PDSTRIP** (open-source), **Octopus** (ABB).

  ![U teoriji vrpci brod se „reže“ na niz poprečnih presjeka (rebara), za koje se zasebno računaju hidrodinamičke sile i potom integriraju po duljini broda. Prikazan je nacrt brodskih linija s mrežom rebara, vodnih linija i uzdužnica. Izvor: Wikimedia Commons (autor: Remi Kaupp, CC BY-SA 3.0 / GFDL).](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Lines_plan_en.svg){#fig-teorija-vrpci width="80%"}
- **Panel metoda (e: *Panel method*)** dijeli trup broda ispod vodne linije na stotine ili tisuće malih ravnih površina (panela). Metoda promatra cijeli 3D oblik odjednom i rješava potencijal strujanja. Znatno je točnija od teorije vrpci za brodove punijih formi, katamarane te odobalne pomorske objekte (platforme) pri nultoj ili maloj brzini, no zahtijeva više računalne snage. Poznati softveri: **DNV Sesam (WADAM/HydroD)**, **WAMIT** (svjetski standard za odobalne objekte), **ANSYS AQWA**, **HydroSTAR** (Bureau Veritas), **Nemoh** (open-source).
- **Računalna dinamika fluida (e: *Computational Fluid Dynamics - CFD*)** je najnaprednija, ali i najsloženija metoda koja rješava Navier-Stokesove jednadžbe. Za razliku od prethodnih metoda koje pretpostavljaju idealan fluid, CFD najčešće uzima u obzir viskoznost vode, turbulentno strujanje, lomljenje valova na pramcu te snažne nelinearne efekte velikih amplituda. Zbog ogromnih zahtjeva za procesorskom snagom koristi se uglavnom za znanstvena istraživanja i specifične probleme. Poznati softveri: **Siemens STAR-CCM+**, **OpenFOAM**, **ANSYS Fluent**, **NUMECA Fine/Marine**.

## Kratkoročna statistika odziva broda

Nakon što smo, pomoću prijenosnih funkcija (RAO) i valnog spektra, izračunali **spektar odziva (e: *response spectrum*)**, površina ispod te krivulje daje nam varijancu odziva, odnosno **nulti spektralni moment odziva (**$m_{0R}$**)**.

Budući da smo ranije utvrdili da se amplitude valova pokoravaju Rayleighovoj razdiobi, uz pretpostavku linearnosti, **amplitude odziva (e: *response amplitudes*)** također slijede Rayleighovu razdiobu. To nam omogućava izračun ključnih statističkih pokazatelja za bilo koje kretanje ili opterećenje.

Primjerice, **značajna amplituda odziva (e: *significant response amplitude*)** je prosjek jedne trećine najvećih amplituda u zadanom stanju mora, a računa se jednako kao i za valove:

$$R_s = 2 \sqrt{m_{0R}}$$

Općenito, vjerojatnost da će (bilo koja!) amplituda odziva ($r$) premašiti neku zadanu, kritičnu vrijednost ($R_c$) računa se integracijom Rayleighove razdiobe:

$$P(r > R_c) = \exp\left(-\frac{R_c^2}{2m_{0R}}\right)$$

Dva najvažnija i najopasnija nelinearna fenomena koja se analiziraju ovom metodom su **naplavljivanje palube** i **udaranje pramca o valove**. Za oba fenomena ključno je izračunati **relativno gibanje (e: *relative motion*)** tj. vertikalnu udaljenost između pomične površine vala i pomičnog trupa broda u određenoj točki (najčešće na pramčanoj okomici).

### Naplavljivanje palube (e: *Deck wetness / Green water*)

Naplavljivanje palube događa se kada relativno gibanje mora premaši visinu pramčanog **nadvođa (e: *freeboard*)**, $F$. U tom trenutku goleme mase krute vode prelijevaju se preko palube, ugrožavajući opremu, teret i posadu, te uzrokujući snažna udarna opterećenja na valobran (e: *breakwater*) i nadgrađe.

Pretpostavimo li da je varijanca relativnog vertikalnog gibanja na pramcu $m_{0s}$, vjerojatnost da će pojedinačni val uzrokovati naplavljivanje palube iznosi:

$$P(wet) = \exp\left(-\frac{F^2}{2m_{0s}}\right)$$

Ovaj se izraz u projektiranju koristi za optimizaciju visine pramca, gaza broda te odabir adekvatnog nadvođa prema pravilima o teretnoj vodenoj liniji (e: *Load Line Convention*).

### Udaranje pramca o valove (e: *Bow slamming*)

Udaranje pramca (*slamming*) znatno je složeniji i opasniji fenomen od naplavljivanja. Da bi došlo do *slamminga*, prema poznatoj Ochi-Motterovoj teoriji, moraju se istovremeno ispuniti **dva stroga kinematička uvjeta**:

1. **Uvjet izranjanja:** Relativno gibanje mora biti veće od lokalnog gaza broda na pramcu ($d$). Drugim riječima, dno pramca mora potpuno izaći iz vode.
2. **Uvjet brzine udarca:** Pri ponovnom uranjanju u more, relativna vertikalna brzina udara mora biti veća od određene **kritične brzine (e: *critical threshold velocity*)**, $v_{cr}$. Ako brod uroni polako, to nije *slam*, već obično poniranje. Kritična brzina ovisi o duljini i formi broda.

Kako su relativno gibanje i relativna brzina statistički nezavisne varijable, ukupna vjerojatnost *slamminga* ($P(slam)$) umnožak je vjerojatnosti ispunjavanja prvog i drugog uvjeta:

$$P(slam) = \exp\left(-\frac{d^2}{2m_{0s}}\right) \cdot \exp\left(-\frac{v_{cr}^2}{2m_{0v}}\right) = \exp\left(-\left(\frac{d^2}{2m_{0s}} + \frac{v_{cr}^2}{2m_{0v}}\right)\right)$$

gdje je:

- $m_{0s}$ -- nulti spektralni moment (varijanca) relativnog vertikalnog gibanja na pramcu.
- $m_{0v}$ -- nulti spektralni moment (varijanca) relativne vertikalne brzine na pramcu.

U praksi, broj udara pramca u vremenskom periodu $T$ računa se množenjem ove vjerojatnosti s ukupnim brojem ciklusa (susreta s valovima) u tom periodu. Ako je vjerojatnost prevelika, kapetan je prisiljen poduzeti **voljni gubitak brzine (e: *voluntary speed loss*)** ili promijeniti kurs kako bi sačuvao strukturu broda od oštećenja.