2020-06-01.md

tags	vaje, or, zaloge
hackmd	https://hackmd.io/a40xSpj5QB6ix5TEPi6uJA
plugins	mathjax

Operacijske raziskave - vaje 1.6.2020

---

Upravljanje zalog

$$ \begin{aligned} K &\dots \text{stroški naročila} \\ c &\dots \text{cena enote} \\ \nu &\dots \text{prodane/porabljene enote na časovno enoto} \\ \lambda &\dots \text{proizvedene enote na časovno enoto} \\ s &\dots \text{cena skladiščenja enote na časovno enoto} \\ p &\dots \text{cena primanjkljaja enote na časovno enoto} \[1ex] \tau &\dots \text{dolžina cikla} \\ M &\dots \text{velikost naročila - največja zaloga} \\ m &\dots \text{največji primanjkljaj} \\ S &\dots \text{enotski stroški (brez plačila artiklov)} \[1ex] \alpha &= \nu (1 - \nu/\lambda) \\ \beta &= 1 + s/p \[1ex] \tau^* &= \sqrt{2K\beta \over s\alpha} \\ M^* &= \sqrt{2K\alpha \over s\beta} = \tau^* {\alpha \over \beta} \\ S^* &= \sqrt{2Ks\alpha \over \beta} = M^* s \\ m^* &= \tau^* \alpha - M^* = \tau^* \alpha (1 - 1/\beta) \end{aligned} $$

---

Naloga 1

V trgovini vsak teden prodajo $600$ škatel toaletnega papirja. Vsako naročilo stane $25 €$, za posamezno škatlo pa trgovina plača $3 €$. Cena skladiščenja posamezne škatle je $0.05 €$ na teden.

1. Denimo, da primanjkljaj ni dovoljen. Kako pogosto naj trgovina naroča toaletni papir? Kako velika naj bodo naročila?
2. Kaj pa, če dovolimo primanjkljaj, ki nas stane $2 €$ na teden za vsako škatlo?

---

$$ \begin{aligned} \alpha = \nu &= 600 \\ K &= 25 € \\ c &= 3 € \\ s &= 0.05 € \\ \lambda &= \infty \end{aligned} $$

1. $$ \begin{aligned} p &= \infty € \ \beta &= 1 \[1ex] \tau^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \over 0.05 € \cdot 600} = \sqrt{50 € \over 30 €} = \sqrt{5/3} \approx 1.29 \ M^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \cdot 600 \over 0.05 €} = \sqrt{600000} \approx 774.60 \ S^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \cdot 600 \cdot 0.05 €} = \sqrt{1500} € \approx 38.73 € \end{aligned} $$

2. $$ \begin{aligned} p &= 2€ \ \beta &= 1 + 0.05/2 = 1.025 \[1ex] \tau^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \cdot 1.025 \over 0.05 € \cdot 600} \approx 1.31 \ M^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \cdot 600 \over 0.05 € \cdot 1.025} \approx 765.09 \ S^* &= \sqrt{2 \cdot 25 € \cdot 600 \cdot 0.05 € \over 1.025} \approx 38.25 € \ m^* &= \tau^* \alpha - M^* = 1.31 \cdot 600 - 765.09 \approx 19.13 \end{aligned} $$

---

Naloga 2

Tovarna Mitsuzuki načrtuje, da bo naslednje leto izdelala $10000$ stereo televizorjev. Odločijo se, da zvočnikov ne bodo izdelovali sami, ampak jih bodo (po dva za vsak televizor) naročili pri ponudniku najkvalitetnejših zvočnikov, ki je predložil naslednji cenik:

število zvočnikov v enem naročilu	cena zvočnika
1 -- 1999	$150 €$
2000 -- 4999	$135 €$
5000 -- 7999	$125 €$
8000 -- 19999	$120 €$
20000 ali več	$115 €$

Poleg tega naročilo pošiljke stane Mitsuzuki $500 €$, letni stroški skladiščenja vsakega zvočnika pa znašajo $20%$ njegove cene. Koliko zvočnikov naj vsakič naročijo in kakšni so skupni stroški naročil za naslednje leto?

https://github.com/jaanos/operacijske-raziskave/blob/master/vaje/UpravljanjeZalog/Zvocniki.ipynb

---

Naloga 3

Tovarna avtomobilov za svoje potrebe izdeluje akumulatorje. Vsako leto proizvedejo $10000$ avtomobilov, izdelajo pa lahko $25000$ akumulatorjev letno. Stroški zagona proizvodnje so $200 €$, stroški zaloge pa $0.25 €$ letno za vsak akumulator. Primanjkljaja ne dovolimo. Kolikokrat na leto naj zaženejo proizvodnjo akumulatorjev? Koliko časa naj traja proizvodnja? Koliko akumulatorjev naj takrat izdelajo? Kako veliko skladišče potrebujejo?

---

$$ \begin{aligned} \nu &= 10000 \\ \lambda &= 25000 \\ K &= 200 € \\ s &= 0.25 € \\ p &= \infty € \\ \beta &= 1 \\ \alpha &= 10000 \cdot (1 - 10000/25000) = 6000 \[1ex] \tau^* &= \sqrt{2 \cdot 200 € \over 0.25 € \cdot 6000} \approx 0.516 \\ M^* &= \sqrt{2 \cdot 200 € \cdot 6000 \over 0.25 €} \approx 3098.39 \\ S^* &= \sqrt{2 \cdot 200 € \cdot 6000 \cdot 0.25 €} \approx 774.60 \\ t_p^* &= {M^* \over \lambda - \nu} \approx 0.207 \\ P^* &= \tau^* \nu = t_p^* \lambda \approx 5163.98 \end{aligned} $$

---

Naloga 4

Marta izdeluje nakit iz školjk v delavnici, ki jo najema v bližini ljubljanske tržnice, in ga prodaja po vnaprej dogovorjeni ceni. Povpraševanje je $10$ kosov na teden, stroški skladiščenja so $0.2 €$ za kos na teden. Zagonski stroški izdelovanja nakita so $150 €$. Marta lahko na teden izdela $12.5$ kosa nakita. Dovoli si, da pride do primanjkljaja, pri čemer jo ta stane $0.8 €$ za kos nakita na teden. Kako naj Marta organizira proizvodnjo in skladiščenje, da bo imela čim manj stroškov?

$$ \begin{aligned} \nu &= 10 \\ s &= 0.2 € \\ K &= 150 € \\ \lambda &= 12.5 \\ p &= 0.8 € \[1ex] \alpha &= 10 (1 - 10/12.5) = 2 \\ \beta &= 1 + 0.2/0.8 = 1.25 \[1ex] \tau^* &= \sqrt{2 \cdot 150 € \cdot 1.25 \over 0.2 € \cdot 2} = \sqrt{375 \over 0.4} \approx 30.62 \\ M^* &= 30.62 \cdot {2 \over 1.25} \approx 48.99 \\ S^* &= 48.99 \cdot 0.2 € \approx 9.80 € \\ m^* &= 30.62 \cdot 2 - 48.99 \approx 12.25 \\ t_p^* &= {M^* + m^* \over \lambda - \nu} = {\tau^* \alpha \over \lambda - \nu} \approx 24.49 \\ P^* &= \tau^* \nu \approx 306.19 \end{aligned} $$