2 线性空间.tex

\chapter{线性空间}

本讲我们将开始回答第 1 讲最后留下的问题，即线性方程组有唯一解、无穷解或无解的本质原因. 这段旅程或许有些漫长，中间会有很多的铺垫，我们将从其中最为基础的概念——线性空间出发进行探讨.

回忆高斯-若当消元法，方程组中每一行或一列都可以视为向量. 我们可以先看下面这个例子：
\begin{example}{}{线性空间引入}
    考虑如下两个方程组
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\begin{cases}
                          x_1+x_2+x_3=0   \\
                          x_1+2x_2+3x_3=0 \\
                          2x_1+3x_2+4x_3=0
                      \end{cases}$

            \item $\begin{cases}
                          x_1+x_2+x_3=0   \\
                          x_1+2x_2+3x_3=0 \\
                          x_1+3x_2+4x_3=0
                      \end{cases}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    不难解得，第一个方程组有无穷解，第二个方程组有唯一解. 从高斯-若当消元法的过程来看，第一个方程组的简化阶梯矩阵出现了全零行，其原因是显而易见的：因为方程组第一行和第二行相加正好是第三行，因此可以直接消去第三行，即三行的系数矩阵的三个行向量
    \[\alpha_1=(1,1,1),\enspace\alpha_2=(1,2,3),\enspace\alpha_3=(2,3,4)\]
    满足$\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3$. 而第二个方程组系数矩阵行向量间没有类似的可互相消去的关系.
\end{example}

从上面这一例子中我们可以看出，方程组的解与系数矩阵的行向量之间的关系密切相关. 因此我们会有一个很自然的想法，即我们需要研究向量之间的关联. 受第1讲基本代数结构的启发，我们应当自然地想到我们需要引入一个代数结构，从而使得我们可以统一地研究向量间的关联，这一代数结构便是线性空间.

\section{线性空间的定义}

\term{线性空间}\index{xianxingkongjian@线性空间 (linear space)}是我们接触的第一个核心概念，作为一种代数结构，它需要在非空集合$V$上定义运算. 我们写下其定义，然后给出解读：
\begin{definition}{线性空间}{}
    设$V$是一个非空集合，$\mathbf{F}$是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们熟知的加法$+$. 在线性空间的定义中，我们要求$\langle V\colon+\rangle$构成Abel群，即其中元素满足如下运算律：
    \begin{enumerate}
        \item (加法结合律) $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma,\enspace\forall \alpha,\beta,\gamma \in V$；

        \item (加法单位元) $\exists 0 \in V$使得$\forall\alpha\in V$ 有 $\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha$；

        \item (逆元) $\forall\alpha\in V,\enspace \exists \beta \in V$，有$\alpha+\beta=\beta+\alpha=0$，记$\beta=-\alpha$；

        \item (交换律) $\forall\alpha, \beta\in V,\enspace \alpha+\beta=\beta+\alpha$.
    \end{enumerate}

    第二种运算和之前学习的其他代数结构不同，我们需要首先引入一个数域$\mathbf{F}$，接下来在$\mathbf{F}\times V$上定义取值于$V$的数乘运算，即$\mathbf{F}\times V$中的每个元素$(\lambda,\alpha)\mapsto \lambda\alpha\in V$，并且数乘运算满足以下性质：$\forall \alpha,\beta \in V,\enspace\forall \lambda,\mu\in\mathbf{F}$以及$\mathbf{F}$上的乘法单位元1，有
    \begin{enumerate}
        \item (数乘单位元) $1\cdot \alpha=\alpha$；

        \item (数乘结合律) $\lambda(\mu\alpha)=(\lambda\mu)\alpha$；

        \item (左分配律) $(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$；

        \item (右分配律) $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$.
    \end{enumerate}

    基于此，我们完整定义了一个线性空间，我们一般称集合$V$关于上述两种运算在域$\mathbf{F}$上构成一个线性空间，简称为$V$在域$\mathbf{F}$上的线性空间，记作$V(\mathbf{F})$. 如果$\mathbf{F}$是实（复）数域，则称$V$为实（复）数域上的线性空间.
\end{definition}
关于线性空间的定义，我们还有如下说明：
\begin{enumerate}
    \item 线性空间还有一个重要的概念是运算封闭，即线性空间中的元素进行加法或数乘运算后，得到的元素仍然是属于线性空间的. 这一点是定义要求的，加法封闭是 Abel 群的要求，因为 Abel 群要求加法运算定义为映射 $V\times V\to V$，因此$V$中两个元素相加后必须仍在$V$中（事实上这是代数系统的共性），数乘注意前述定义中数乘运算``取值于$V$''的要求，即它是 $\mathbf{F}\times V\to V$ 的映射；

    \item 在正文中如没有特殊说明，我们都默认 $\mathbf{F}$ 是数域（特征 $0$ 的域，如 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{C}$），有限域上的情况我们会放在\nameref{chap:有限域矩阵}中进行讨论.

    \item 特别注意线性空间定义在非空集合上，事实上根据加法构成Abel群的要求，最小的线性空间也必须至少包含加法单位元（可以记为$V=\{\vec{0}\}$）. 需要注意的一点是，这里为了区分$V$中的零元和数域中的数0，我们将$V$中零元加粗，此后熟悉记号之后我们可能不再作区分，请读者务必仔细理解区分.

    \item 注意数乘结合律并不是平凡的，事实上 $\lambda(\mu\alpha)$ 是先对 $\alpha$ 数乘 $\mu$，然后数乘 $\lambda$，而 $(\lambda\mu)\alpha$ 是先让 $\lambda$ 和 $\mu$ 做了域 $\mathbf{F}$ 上的乘法，然后再数乘 $\alpha$，这两者的计算过程显然是不同的. 左右分配律也可以做这样的分解，左分配律中等号左侧的加法是 $\mathbf{F}$ 上的加法，右侧的加法是 $V$ 上的加法，右分配律等号两侧的加法都是 $V$ 上的加法. 总而言之，区分清楚这里的加法和数乘在运算定义不再是普通数的加法、数乘的时候非常关键，之后我们会看到这样的例子.

    \item 结合我们上一讲对公理化的研究，事实上我们到目前为止也只定义了上面的加法、数乘运算和几条规则，我们需要忘记其他任何规则，由此出发进行推导出一些看似显然但公理没有直接给出的重要运算性质：
          \begin{enumerate}
              \item 由于加法运算构成Abel群，因此加法零元和逆元是唯一的，从而我们可以定义减法运算为加上一个元素的逆，即$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$；

              \item 事实上，根据公理中的性质，我们可以逐步得到$\lambda(\alpha-\beta)+\lambda\beta=\lambda((\alpha-\beta)+\beta)=\lambda((\alpha+(-\beta))+\beta)=\lambda(\alpha+((-\beta)+\beta))=\lambda(\alpha+\vec{0})=\lambda\alpha$，两边分别加$-(\lambda\beta)$即可以得到
                    \begin{equation}\label{eq:2:线性空间运算性质1}
                        \lambda(\alpha-\beta)=\lambda\alpha-\lambda\beta.
                    \end{equation}
                    上面推导过程中第一个等号来源于数乘分配律，第二个等号来源于减法的定义（加上逆元），第三个等号来源于加法结合律，第四个等号来源于逆元的定义（加起来等于向量加法零元$\vec{0}$），最后一个等号来源于加法单位元的定义. 事实上这一过程是非常清晰的.

                    除此之外，$(\lambda-\mu)\alpha+\mu\alpha=(\lambda-\mu+\mu)\alpha=\lambda\alpha$，两边分别加$-(\mu\alpha)$即可以得到
                    \begin{equation}\label{eq:2:线性空间运算性质2}
                        (\lambda-\mu)\alpha=\lambda\alpha-\mu\alpha.
                    \end{equation}
                    事实上，\autoref{eq:2:线性空间运算性质1} 和\autoref{eq:2:线性空间运算性质2} 可以视为数乘运算对减法也满足分配律（但我们必须时刻牢记在心，数的减法是常规的，向量的减法是加上向量的逆元）.

              \item 在\autoref{eq:2:线性空间运算性质1} 中分别令$\alpha=\beta$和$\alpha=\vec{0}$，在\autoref{eq:2:线性空间运算性质2} 分别令$\lambda=\mu$和$\lambda=0$有如下四条性质：
                    \begin{enumerate}
                        \item $\lambda\cdot \vec{0}=\vec{0}$；

                        \item $\lambda(-\beta)=-(\lambda\beta)$；

                        \item $0\cdot \alpha=\vec{0}$；

                        \item $(-\mu)\alpha=-(\mu\alpha)$.
                    \end{enumerate}
                    我们详细证明前两条如何根据公理一步步推导得到，后两条请读者依照此自行证明.
                    \begin{proof}
                        \begin{enumerate}
                            \item 在\autoref{eq:2:线性空间运算性质1} 中令$\alpha=\beta$，则$\lambda(\alpha-\alpha)=\lambda\alpha-\lambda\alpha$，根据减法定义有$\alpha-\alpha=\alpha+(-\alpha)=\vec{0}$，且$\lambda\alpha-\lambda\alpha=\lambda\alpha+(-(\lambda\alpha))=\vec{0}$，因此$\lambda\cdot \vec{0}=\vec{0}$.

                            \item 在\autoref{eq:2:线性空间运算性质1} 中令$\alpha=\vec{0}$有$\lambda(\vec{0}-\beta)=\lambda\vec{0}-\lambda\beta$，根据减法定义有$\vec{0}-\beta=\vec{0}+(-\beta)=-\beta$（第二个等号来源于加法单位元性质），且$\lambda\vec{0}-\lambda\beta=\vec{0}-\lambda\beta=\vec{0}+(-(\lambda\beta))=-(\lambda\beta)$（第一个等号来源于刚刚证明的$\lambda\cdot \vec{0}=\vec{0}$，第二个等号来源于减法的定义，第三个等号来源于加法单位元性质），因此$\lambda(-\beta)=-(\lambda\beta)$.
                        \end{enumerate}
                    \end{proof}
                    特别地，当$\mu=1$时有$(-1)\alpha=-\alpha$. 即$-1$数乘一个元素可以得到该元素的逆元（虽然代入一般平面向量这一点非常显然，但是我们只能基于公理一步步推导得到这一显然的性质）.

              \item 若$\lambda\alpha=\vec{0}$，则$\lambda=0$或$\alpha=\vec{0}$，这一点也是显然的，因为如果$\lambda\neq 0$，则$\lambda^{-1}$存在，从而$\alpha=1\alpha=(\lambda^{-1}\lambda)\alpha=\lambda^{-1}(\lambda\alpha)=\lambda^{-1}\vec{0}=\vec{0}$（这里的每一个等号都是能找到对应的，请读者自行判断）.

                    最后，综合上述性质我们有方程$\lambda\beta+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_r\alpha_r=\vec{0}$在$\lambda\neq 0$时的解为$\beta=-\lambda^{-1}\lambda_1\alpha_1-\lambda^{-1}\lambda_2\alpha_2-\cdots-\lambda^{-1}\lambda_r\alpha_r$. 我们放在习题中供读者练习.
          \end{enumerate}
\end{enumerate}

或许读者会疑惑为什么线性空间会要求上述这 $8$ 条性质（加法、数乘各 $4$ 条）. 首先需要强调的是技术性层面的结果，这里的加法交换律是可以被其他 $7$ 条推出的，然后注意到逆元的定义依赖于单位元，因此去除掉加法交换律以及单位元存在后其余的 $6$ 条彼此独立，因为我们可以找到这样的例子使得一个集合满足除了其中任意一条公理之外的其它所有公理. 下面我们首先给出加法交换律可以被其它定律推出的证明，然后在 B 组习题\ref{item:2:去除一条线性空间公理}中给出的一些集合满足除了其中任意一条公理之外的其它所有公理例子供读者验证.

\begin{proof}
{
    \allowdisplaybreaks
    设 $\alpha,\beta\in V$, 则有
    \begin{align*}
        \tag{加法单位元}
        \alpha + \beta &= (0 + \alpha) + (\beta + 0)\\
        \tag{逆元}
        &= ((-\alpha + \alpha) + \alpha) + (\beta + (\beta + (-\beta)))\\
        \tag{加法结合律}
        &= -\alpha + ((\alpha + \alpha) + (\beta + \beta)) + (-\beta)\\
        \tag{乘法单位元}
        &= -\alpha + ((1\cdot\alpha + 1\cdot\alpha) + (1\cdot\beta + 1\cdot\beta)) + (-\beta)\\
        \tag{左分配律}
        &= -\alpha + (2\cdot\alpha + 2\cdot\beta) + (-\beta)\\
        \tag{右分配律}
        &= -\alpha + 2\cdot (\alpha + \beta) + (-\beta)\\
        \tag{左分配律}
        &= -\alpha + ((\alpha + \beta) + (\alpha + \beta)) + (-\beta)\\
        \tag{加法结合律}
        &= ((-\alpha + \alpha) + \beta) + (\alpha + (\beta + (-\beta)))\\
        \tag{逆元}
        &= (0 + \beta) + (\alpha + 0)\\
        \tag{加法单位元}
        &= \beta + \alpha
    \end{align*}
}
\end{proof}

接下来我们讨论这些公理蕴含的想法. 不难发现线性空间中定义的运算规则与我们高中学习的平面向量的加法和数乘是非常类似的，我们回顾未竟专题一关于公理化的讨论，实际上这些公理就可以视为从简单的向量加法和数乘抽象出来的一些规则. 而公理的诞生应当是要尽可能简洁——线性空间公理的独立性表明了这一点，而且有足够的表达力——这一点我们将来基于这一定义不断推出线性空间的性质时就会发现非常足够，事实上你现在就能通过我们上面证明的运算性质初步感知到这一点. 因此皮亚诺在 1888 年正式给出这一定义并沿用至今. 但我们需要知道他的工作也是基于前人（如格拉斯曼）的工作不断修正而来的，只是当这些公理被直接摆在我们眼前时，这一自然的不断推进的公理化过程变得很突兀. 回到现实问题，我们需要熟知、记忆这 $8$ 条性质，当然其实难度并不大，Abel 群 $4$ 条性质都有名称标注，数乘运算也是易于记忆的结合律和分配律加单位元性质. 当然，有的同学可能会怀疑，既然加法交换律可以被推出，那么为什么还要写出来呢？我们姑且当作是历史原因——阿贝尔群是一个如此自然美观的结构，为什么不使用呢？当然也有一些深层次的解释这里不便给出.

最后，公理化定义的一个重要作用是使得我们可以不仅仅在向量集合的背景下定义线性空间，这使得我们可以将对于很多结构的研究都转化为对于线性空间的研究. 在下一节中我们将给出一些经典的线性空间的例子，它们分别代表着线性空间在某些方面的抽象，希望读者仔细体会.

\section{线性空间的例子}

我们从最平凡的例子开始，即向量空间 $\mathbf{F}^n$ 和与之有着显然相关性的多项式空间 $\mathbf{F}[x]_{n+1}$.
\begin{example}{平凡的常识}{}
    \begin{enumerate}
        \item $\mathbf{F}^n = \{(a_1,a_2,\cdots,a_n)^\mathrm{T} \mid a_i \in \mathbf{F}\}$ 关于向量的加法和数乘构成线性空间，具体展开而言便是 $\forall (a_1,a_2,\cdots,a_n)^\mathrm{T},(b_1,b_2,\cdots,b_n)^\mathrm{T} \in \mathbf{F}^n, \enspace \forall \lambda \in \mathbf{F}$，有
        \begin{gather*}
            (a_1,a_2,\cdots,a_n)^\mathrm{T} + (b_1,b_2,\cdots,b_n)^\mathrm{T} = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)^\mathrm{T},\\
            \lambda(a_1,a_2,\cdots,a_n)^\mathrm{T} = (\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots,\lambda a_n)^\mathrm{T}.
        \end{gather*}
        \item $\mathbf{F}[x]_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}\}$关于多项式的加法和数乘构成线性空间，具体展开而言便是
        \[
            (p_1+p_2)(x)=p_1(x)+p_2(x),\enspace(\lambda p)(x)=\lambda p(x),\enspace\forall p_1,p_2,p\in\mathbf{F}[x]_{n+1},\enspace\forall \lambda\in\mathbf{F}.
        \]
        这也能解释常见记号的含义：$(k_1p_1+k_2p_2)(x)=k_1p_1(x)+k_2p_2(x)$.
        但我们需要注意 $\mathbf{F}[x]'_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}, a_n\neq 0\}$ 不构成线性空间.
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proof}
    $\mathbf{F}^n$ 的例子过于平凡，不再验证. 我们针对多项式的例子逐条验证公理.
    \begin{enumerate}
        \item $\forall p_1(x), p_2(x), p_3(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}\}$，有
              \begin{align*}
                      & (p_1(x) + p_2(x)) + p_3(x)                                                                                \\
                  ={} & ((a_{10} + a_{11}x + \cdots  + a_{1n}x^n) + (a_{20} + a_{21}x + \cdots  + a_{2n}x^n))                     \\
                  +{} & (a_{30} + a_{31}x + \cdots  + a_{3n}x^n)                                                                  \\
                  ={} & ((a_{10} + a_{20}) + (a_{11} + a_{21}) x + \cdots  + (a_{1n} + a_{2n}) x^n)                               \\
                  +{} & (a_{30} + a_{31}x + \cdots  + a_{3n}x^n)                                                                  \\
                  ={} & (((a_{10} + a_{20}) + a_{30}) + ((a_{11} + a_{21}) + a_{31})x + \cdots + ((a_{1n} + a_{2n}) + a_{3n})x^n) \\
                  ={} & ((a_{10} + (a_{20} + a_{30})) + (a_{11} + (a_{21} + a_{31}))x + \cdots + (a_{1n} + (a_{2n} + a_{3n}))x^n) \\
                  ={} & (a_{10} + a_{11}x + \cdots  + a_{1n}x^n)                                                                  \\
                  +{} & ((a_{20} + a_{21}x + \cdots  + a_{2n}x^n) + (a_{30} + a_{31}x + \cdots  + a_{3n}x^n))                     \\
                  ={} & p_1(x) + (p_2(x) + p_3(x))
              \end{align*}
              注意，在证明过程中，我们用了形式的加法定义（逐次数将系数相加），并诉诸域 $\mathbf{F}$ 上的结合律，这种诉诸基域性质的方式在以后的证明中会经常碰上.

        \item 取定 $p_0(x) = 0 \in V$ 则有 $\forall p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, p(x) + p_0(x) = p_0(x) + p(x)$.

        \item $\forall p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, \exists p^*(x) = -a_0 - a_1x - \cdots - a_nx^n \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, p(x) + p^*(x) = p^*(x) + p(x) = p_0(x) = 0$.

        \item $\forall p_1(x), p_2(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}$有
              \begin{align*}
                  p_1(x) + p_2(x)
                   & = (a_{10} + a_{11}x + \cdots + a_{1n}x^n) + (a_{20} + a_{21}x + \cdots + a_{2n}x^n) \\
                   & = (a_{10} + a_{20}) + (a_{11} + a_{21})x + \cdots + (a_{1n} + a_{2n})x^n            \\
                   & = (a_{20} + a_{10}) + (a_{21} + a_{11})x + \cdots + (a_{2n} + a_{1n})x^n            \\
                   & = (a_{20} + a_{21}x + \cdots + a_{2n}x^n) + (a_{10} + a_{11}x + \cdots + a_{1n}x^n) \\
                   & = p_2(x) + p_1(x).
              \end{align*}

        \item 取定 $\lambda = 1 \in \mathbf{F},\forall p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, \lambda \cdot p(x) = p(x)$.

        \item $\forall \lambda, \mu \in \mathbf{F}, p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}$有
              \begin{align*}
                  \lambda(\mu p(x)) & = \lambda(\mu(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n)) = \lambda(\mu a_0 + \mu a_1x + \cdots + \mu a_nx^n)                  \\
                                    & = \lambda \mu a_0 + \lambda \mu a_1x + \cdots + \lambda \mu a_nx^n = (\lambda \mu) (a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n) \\
                                    & = (\lambda \mu)p(x).
              \end{align*}

        \item $\forall \lambda, \mu \in \mathbf{F}, p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}$有
              \begin{align*}
                  (\lambda + \mu) p(x)
                   & = (\lambda + \mu)(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n)                                         \\
                   & = (\lambda + \mu)a_0 + (\lambda + \mu)a_1x + \cdots + (\lambda + \mu)a_nx^n             \\
                   & = \lambda a_0 + \mu a_0 + \lambda a_1x + \mu a_1x+ \cdots + \lambda a_nx^n + \mu a_nx^n \\
                   & = \lambda(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n) + \mu(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n)             \\
                   & = \lambda p(x) + \mu p(x).
              \end{align*}
              这里的第二行到第三行并没有诉诸对单项式的分配律，而是利用了性质 6 和域 $\mathbf{F}$ 上的分配律.

        \item $\forall p_1(x), p_2(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, \lambda \in \mathbf{F}$有
              \begin{align*}
                      & \lambda(p_1(x) + p_2(x))                                                                        \\
                  ={} & \lambda((a_{10} + a_{11}x + \cdots + a_{1n}x^n) + (a_{20} + a_{21}x + \cdots + a_{2n}x^n))      \\
                  ={} & \lambda((a_{10} + a_{20}) + (a_{11} + a_{21})x + \cdots + (a_{1n} + a_{2n})x^n)                 \\
                  ={} & \lambda(a_{10} + a_{20}) + \lambda(a_{11} + a_{21})x + \cdots + \lambda(a_{1n} + a_{2n})x^n     \\
                  ={} & \lambda(a_{10} + a_{11}x + \cdots + a_{1n}x^n) + \lambda(a_{20} + a_{21}x + \cdots + a_{2n}x^n) \\
                  ={} & \lambda p_1(x) + \lambda p_2(x).
              \end{align*}
    \end{enumerate}
    但是对\[\mathbf{F}[x]'_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}, a_n\neq 0\}\]不构成线性空间，其原因在于我们加法不封闭，例如我们取$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中的两个元素$x^n$和$-x^n$，它们的和为$0$，不再满足$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中关于$a_n\neq 0$的条件，因此运算不封闭，不构成线性空间.
\end{proof}

为什么说多项式空间与向量有很显然的联系，是因为我们可以把次数不高于 $n-1$ 次的多项式的所有系数 $a_i(i=0,1,\ldots,n-1)$ 拼成向量 $\alpha=(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})$，因此多项式和向量实际上是很类似的，所以这一例子是平凡的，并且应当作为常识，因为日后会非常常见. 并且请特别注意不构成线性空间的例子，这里我们使用运算不封闭这一条件否认，这是非常常用的，在习题中我们还会见到这样的例子.

除此之外，这里有一个记号上的问题需要澄清，很多教材（包括本书）用 $\mathbf{F}[x]_{n+1}$ 表示次数不超过 $n$ 的多项式的集合，也有一些教材使用 $\mathcal{P}_n(\mathbf{F})$ 表示相同的集合. 其中核心的区别在于下标 $n$ 和多项式次数的关联，读者在面对不同的教材或者试题时应当看清楚相应的定义. 有时我们可能会看到没有下标的 $\mathbf{F}[x]$ 和 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$，这两者分别表示全体任意次数多项式的集合.

下面我们将讨论``不平凡''的例子，所谓的不平凡的原因来源于线性空间定义的三个要素：集合 $V$、数域 $\mathbf{F}$ 和两种运算. 我们将逐一讨论这三个要素的变化对线性空间的影响. 首先是集合中元素的抽象，即线性空间定义中 $V$ 中的元素可以不是向量，也不是类似于上例中多项式的常规的、平凡的形式，可以是非常抽象的与我们认知中``向量''一词相去甚远的，例如：
\begin{example}{向量层面的抽象}{函数和数列线性空间}
    \begin{enumerate}
        \item 设$V=C[a,b]$为定义在闭区间$[a,b]$上的连续实值函数全体，定义$V(\mathbf{R})$，其中加法运算定义为
              \[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\enspace\forall f,g\in C[a,b].\]
              数乘运算定义为
              \[(\lambda f)(x)=\lambda f(x),\enspace\forall f\in C[a,b],\enspace\forall \lambda\in\mathbf{R}.\]
              则$C[a,b]$构成实数域上的线性空间.

        \item 设$V$是以$0$为极限的实数数列全体，定义$V(\mathbf{R})$，其中两个数列的加法和数乘定义为
              \[\{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\},\enspace\lambda\{a_n\}=\{\lambda a_n\},\enspace\forall \{a_n\},\{b_n\}\in V,\enspace\forall \lambda\in\mathbf{R},\]
              则$V$构成实数域上的线性空间.
    \end{enumerate}
\end{example}

本例的证明我们不再像多项式的例子一样展开，因为方法类似. 我们只需要强调 $C[a,b]$ 中的零元就是 $f(x) = 0, \enspace \forall x \in [a,b]$ 的恒等于 $0$ 的函数，而极限为 $0$ 的数列中的零元就是每一项都为 $0$ 的全零数列.

接下来我们考虑数域上的抽象，即线性空间定义中的数域 $\mathbf{F}$ 可以很多变，并且会导致线性空间性质的不同：
\begin{example}{数域层面的抽象}{}
    复数集$\mathbf{C}$是数域$\mathbf{C}$或数域$\mathbf{R}$上的线性空间，实数集$\mathbf{R}$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间，但实数集$\mathbf{R}$不是复数域$\mathbf{C}$上的线性空间. 除此之外，全体实数$\mathbf{R}$定义在整数集$\mathbf{Z}$上不构成线性空间.

    总结而言，$\mathbf{C}(\mathbf{R})$和$\mathbf{C}(\mathbf{C})$以及$\mathbf{R(R)}$都构成线性空间，但$\mathbf{R}(\mathbf{C})$和$\mathbf{R}(\mathbf{Z})$不构成线性空间.
\end{example}

这一例子表明，同一集合可以在不同数域上构成不同的线性空间. 事实上，在下一讲接触维数的定义后，我们将知道构成线性空间的 $\mathbf{C}(\mathbf{R})$ 和 $\mathbf{C}(\mathbf{C})$ 二者的维数是不一样的（见\autoref{ex:不同数域的维数}）. 当然，不同的集合也可以在同一个数域上构成不同的线性空间，例如$\mathbf{C(R)}$和$\mathbf{R(R)}$.

关于数域我们需要强调的并不多，只有一条非常关键的，那就是数域在线性空间$V(\mathbf{F})$中的作用只与数乘运算有关，加法运算与数域没有关系，只和集合$V$中的元素有关，这一点根据定义是显然的. 因此在验证线性空间的过程中，例如$\mathbf{C}(\mathbf{R})$和$\mathbf{C}(\mathbf{C})$之间的差别只在于数域不同，故加法性质是共同满足的，只需各自验证数乘的性质.

\begin{proof}
    这里我们验证$\mathbf{C}(\mathbf{R})$和$\mathbf{C}(\mathbf{C})$都构成线性空间，$\mathbf{R(R)}$证明类似. 我们应当对八条性质逐条验证，但我们在第一讲已经说明了全体复数构成一个域，因此$\mathbf{C}(\mathbf{C})$自动满足线性空间的所有条件，此处不再赘述. 除此之外，$\mathbf{C}(\mathbf{R})$的加法运算与实数无关（回顾线性空间定义，实数只用来参与数乘运算），因此加法Abel群事实上与$\mathbf{C}(\mathbf{C})$一致，都是群$\langle \mathbf{C}\colon+\rangle$，此处也不再验证. 因此这里只验证$\mathbf{C}(\mathbf{R})$数乘运算是否满足线性空间定义的要求：
    \begin{enumerate}
        \item 取定 $1 \in \mathbf{R}, \forall \alpha = a+b\i \in \mathbf{C},\enspace a, b \in \mathbf{R},\enspace 1 \cdot \alpha = 1 \cdot (a+b\i) = a+b\i = \alpha$.

        \item $\forall \lambda, \mu \in \mathbf{R},\enspace \alpha = a+b\i \in \mathbf{C},\enspace a, b \in \mathbf{R}$,
              \begin{align*}
                  \lambda(\mu \alpha) = \lambda(\mu (a+b\i)) = \lambda(\mu a+\mu b\i) = \lambda \mu a + \lambda \mu b\i = (\lambda \mu)(a+b\i) = (\lambda \mu)\alpha.
              \end{align*}

        \item $\forall \lambda, \mu \in \mathbf{R},\enspace \alpha = a+b\i \in \mathbf{C},\enspace a, b \in \mathbf{R}$,
              \begin{align*}
                  (\lambda + \mu) \alpha
                   & = (\lambda a + \lambda b\i) + (\mu a + \mu b\i)            \\
                   & = \lambda(a+b\i)+\mu(a+b\i) = \lambda \alpha + \mu \alpha.
              \end{align*}

        \item $\forall \lambda \in \mathbf{R},\enspace \alpha_1 = a_1+b_1\i, \alpha_2 = a_2+b_2\i \in \mathbf{C},\enspace a_i, b_i \in \mathbf{R},\enspace i = 1, 2$,
              \begin{align*}
                  \lambda(\alpha_1+\alpha_2)
                   & = \lambda((a_1+b_1\i)+(a_2+b_2\i)) = \lambda((a_1+a_2)+(b_1+b_2)\i)                             \\
                   & = \lambda(a_1+a_2)+\lambda(b_1+b_2)\i = (\lambda a_1+\lambda b_1\i)+(\lambda a_2+\lambda b_2\i) \\
                   & = \lambda(a_1+b_1\i)+\lambda(a_2+b_2\i) = \lambda \alpha_1 + \lambda \alpha_2.
              \end{align*}
    \end{enumerate}
    由此我们证明了 $\mathbf{C}(\mathbf{R})$ 构成线性空间.

    对于$\mathbf{R(R)}$的验证同理，下面考察$\mathbf{R}(\mathbf{C})$，它与$\mathbf{R(R)}$定义的集合一致，都是实数集合$\mathbf{R}$，因此加法性质共同满足，因此我们只需验证数乘运算不满足要求即可. 事实上仍然是运算不封闭导致的，回顾封闭的要求$\mathbf{F}\times V\to V$，现在$\mathbf{R(C)}$中的$V=\mathbf{R}$，数域$\mathbf{F}=\mathbf{C}$，我们取复数$i$与实数$1$进行数乘，结果为$i\notin\mathbf{R}$，破坏了封闭性，故$\mathbf{R(C)}$不构成线性空间.
\end{proof}

最后我们考察 $\mathbf{R(Z)}$，事实上我们会发现运算封闭以及与运算规律都是满足的，那为何不是线性空间呢？事实上这里开了个小玩笑，这是因为 $\mathbf{Z}$ 不是数域！我们知道最小的数域是有理数域 $\mathbf{Q}$，因而 $\mathbf{Z} \subsetneq \mathbf{Q}$ 不是数域，因此 $\mathbf{R(Z)}$ 不构成线性空间.

实际上抽象代数中有一个与线性空间类似的概念，但数乘运算可以使用环，不强制要求域，这称为环上的模，我们给出其定义：
\begin{definition}{模的定义}{}
    设 $R$ 是一个环，$M$ 是一个加法Abel群，若定义了数乘运算 $R \times M \to M$，满足
    \begin{enumerate}
        \item $\forall \alpha \in M, \enspace 1\alpha = \alpha$；
        \item $\forall r, s \in R, \forall \alpha \in M, \enspace r(s\alpha) = (rs)\alpha$；
        \item $\forall r, s \in R, \forall \alpha \in M, \enspace (r+s)\alpha = r\alpha + s\alpha$；
        \item $\forall r \in R, \forall \alpha, \beta \in M, \enspace r(\alpha + \beta) = r\alpha + r\beta$.
    \end{enumerate}
    则称 $M$ 是环 $R$ 上的左模，或左 $R$-模，简记为 $_R M$. 对称地，也可以定义右模，即上述定义环 $R$ 中的元素是乘在模 $M$ 元素右边的，记作 $M_R$. 如果有环 $R, S$，$M$ 是左 $R$-模，又是右 $S$-模，且
    \[
        \forall r \in R, s \in S, \alpha \in M, (r \alpha) s = r (\alpha s)
    \]
    则称它为 $(R, S)$-双模，记作 $_R M_S$.
\end{definition}

不难验证 $\mathbf{R}$ 是 $(\mathbf{Z},\mathbf{Z})$-双模.

最后，我们考虑运算的抽象，即线性空间定义中的加法和数乘可以不是我们熟悉的数之间的运算：
\begin{example}{运算层面的抽象}{运算与同构}
    $V$是正实数全体$\mathbf{R}^+$，定义$V(\mathbf{R})$上的加法和数乘为
    \begin{gather*}
        a\oplus b=ab \\
        \lambda\circ a=a^\lambda
    \end{gather*}
    则如上定义的$V(\mathbf{R})$是$\mathbf{R}$上的线性空间.
\end{example}

这一例子给出了一个非常不自然的运算定义，当然证明时仍然是按照运算封闭和八条性质逐条验证即可，我们留作下一讲的 B 组习题\ref{item:3:正实数线性空间}供读者验证，这里给出另一种基于同构的理解其构成线性空间的方式.

我们可以定义映射$\varphi\colon\mathbf{R}\to\mathbf{R}^+$，其中$\phi(x)=e^x$，则$\varphi$是一个双射（这是一个有反函数$\ln x$的可逆映射）. 我们如何理解这个双射呢？实际上在两个集合之间建立双射就说明两个集合之间的元素具有一一对应的关系，例如每个$\mathbf{R}$中的元素$a$对应唯一的一个$\mathbf{R}^+$中的元素$e^a$，反之每个$\mathbf{R}^+$中的元素$b$对应唯一的一个$\mathbf{R}$中的元素$\ln b$. 例如$\mathbf{R}$中的元素$0$唯一对应于$\mathbf{R}^+$中的1，而$\mathbf{R}^+$中的1又反过来唯一与$\mathbf{R}$中的$0$对应，事实上两个集合中所有元素都可以像$0$和$1$这样两两凑对（例如$(1,e)$也能凑对，可以记为$(a,\varphi(a))$），这就是双射``一一对应''的意义.

除此之外，映射$\varphi$还有另一个重要的性质. 我们不难发现，
\begin{gather*}
    \varphi(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=\varphi(x)\oplus\varphi(y),\enspace\forall x,y\in\mathbf{R} \\
    \varphi(\lambda x)=e^{\lambda x}=(e^x)^\lambda=\lambda\circ\varphi(x),\enspace\forall x,\lambda\in\mathbf{R}
\end{gather*}

这两条性质将进一步加深``一一对应''的含义. 第一条关于加法的性质实际上说明了，在$\mathbf{R}$中任意两个元素$x$和$y$做$\mathbf{R}$中的加法的结果，与$x$和$y$``凑对''的元素$\varphi(x)$和$\varphi(y)$做$\mathbf{R}^+$中的加法的结果也是``凑对''的，也就是说，$\mathbf{R}$中两个元素做了加法，正好对应于$\mathbf{R}^+$中的两个元素也做了加法. 例如，$\mathbf{R}$中元素$2$和$3$做加法后结果为$5$，而$\mathbf{R}^+$中元素$e^2$和$e^3$做$\mathbf{R}^+$中加法后结果为$e^5$，所有参与加法的三个元素是完全对应的. 事实上数乘也是如此，对$\mathbf{R}$中元素的数乘运算也对应于$\mathbf{R}^+$中对应的元素做数乘运算. 具有这样保持两个代数结构运算的性质的映射$\varphi$我们称之为``同态''，特别地，若代数结构为线性空间，则称之为``线性映射''. 更进一步地，若映射$\varphi$是双射，则称之为``同构''，特别地，若代数结构为线性空间，则称之为``线性同构''（或者在线性代数的讨论场景下，不产生歧义时简称同构）. 我们在此给出一个初步的定义：
\begin{definition}{}{同构}
    设$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，若映射$\varphi\colon V(\mathbf{F})\to W(\mathbf{F})$满足
    \begin{gather*}
        \varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta),\enspace\forall\alpha,\beta\in V(\mathbf{F}) \\
        \varphi(\lambda\alpha)=\lambda\varphi(\alpha),\enspace\forall\alpha\in V(\mathbf{F}),\enspace\forall\lambda\in\mathbf{F}
    \end{gather*}
    则称$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$的一个\textbf{同态}，若$\varphi$是双射，则称$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$的一个\textbf{同构}，若$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$的一个同构，则称线性空间$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$是\textbf{同构的}，记为$V(\mathbf{F})\cong W(\mathbf{F})$.
\end{definition}

与之前的讨论对应的，我们需要注意\autoref{def:同构} 中，$\alpha+\beta$中的加法是线性空间$V$中的加法，而$\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)$中的加法是线性空间$W$中的加法，数乘也是类似的. 这一点在定义中没有直接体现，但它是``同态''的本质，即保持运算，因此非常重要. 例如\autoref{ex:运算与同构} 中两个线性空间的加法数乘运算的定义差别很大，但我们可以构造出一个同构映射$\varphi$，使得$\varphi$保持了两个空间加法和数乘的完美对应.

我们将在后续章节中进一步讨论同构的性质，现在我们可以总结经过这一例子对于同构的认识：事实上同构就是两个线性空间之间元素有了一一对应的关系，并且其中一个线性空间的元素做了加法和数乘的运算，另一个线性空间对应的元素也做了加法和数乘运算（这两个运算分别是两个线性空间中对应的），因此这样两个线性空间事实上可以看成是``一模一样的''，因为我们可以集合上做元素的对应，然后它们运算也是有对应关系，这已经将线性空间``在集合上定义运算''的所有要素集齐，故可以说是``一模一样''的. 因此通过构建了$\varphi$这一映射，我们发现在这一奇特的运算定义下，$\mathbf{R}^+$事实上拥有了和$\mathbf{R}$一样的结构，所以它自然就是一个线性空间，本质上无需多余的验证. 当然，如果觉得上面这段话无法完全说服你，那在后续正式讨论同构之后我们再回过头看想必会有更深的理解.

总而言之，在上例以及习题中我们可以看到很多特殊的线性空间，它们集合中的元素不一定是数或向量，运算也不一定是熟知的数的运算和向量的数乘，对这些空间我们需要学会熟练判断，从而加深对``在集合上定义运算''的理解. 除此之外我们也简单引入了同构的概念遮蔽了两个线性空间之间运算的不同，因此即使运算变得面目全非，$\mathbf{R}^+$仍然构成了线性空间. 需要注意的是，同构是线性空间中非常重要的概念，我们将在后续详细讨论.

\section{线性子空间}

对于一个代数结构，一个很自然地问题是：这个代数结构的子集是否也具有相同的结构呢？因此我们将介绍线性子空间的定义：
\begin{definition}{线性子空间}{} \index{xianxingkongjian!zi@线性子空间 (linear subspace), 子空间 (subspace)}
    设$W$是线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集，如果$W$对$V$中的运算也构成域$\mathbf{F}$上的线性空间，则称$W$是$V$的\term{线性子空间}（简称\term{子空间}）.
\end{definition}

请注意定义中的非空子集的要求，建议验证子空间时先验证非空. 接下来自然的问题便是，什么时候$V$的子集$W$对$V$中的运算也构成域$\mathbf{F}$上的线性空间？事实上这一条件是惊人地简单与美观的：
\begin{theorem}{}{子空间判别}
    数域 $\mathbf{F}$ 上的线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集$W$为$V$的子空间的充分必要条件是$W$对于$V(\mathbf{F})$的线性运算封闭.
\end{theorem}

这表明只要子空间非空且其中的元素满足对原空间的加法和数乘运算封闭即可构成原空间的子空间. 这一定理的证明也非常简单，必要性显然，因为子空间也是线性空间，而构成线性空间必须满足运算封闭，故不再赘述. 对于充分性，实际上要证明的是满足运算封闭的子集一定仍然能保持线性空间的八条性质. 我们只需要作如下思考：
\begin{enumerate}
    \item 结合律、分配律以及数乘运算律是一定满足的，例如我们回顾加法结合律的定义$a+(b+c)=(a+b)+c,\enspace\forall a,b,c\in V$，由于这一性质对于任意$V$中元素成立，则若$a,b,c\in W\subseteq V$也必有这一性质成立（更通俗而言就是子集$W$中的元素也是$V$中的，因此必然受$V$中运算性质的限制）；

    \item 于是现在还剩下加法单位元和逆元仍不能保证存在，因为这不仅与运算法则相关，更与集合中元素的存在相关——取子集可能使得加法单位元和逆元被拿掉. 但在定理要求的数乘封闭性下这是不可能的：由于$\mathbf{F}$是数域，因此所有有理数都是其子集，因此$0,-1\in\mathbf{F}$. $\forall \alpha\in V$，我们由于数乘封闭性可知，$0\cdot\alpha=0\in W$，$(-1)\cdot\alpha=-\alpha\in W$，因此$W$中也有加法单位元和逆元.
\end{enumerate}

具体的证明只需要将上面的描述形式化即可，这里不再赘述. 下面我们来看两个常见的例子体会子空间的判别方法：
\begin{example}{}{常见子空间}
    回答下列关于子空间的判定问题：
    \begin{enumerate}
        \item \label{item:2:常见子空间:1}
              说明$\mathbf{R}[x]_2$是$\mathbf{R}[x]_3$的子空间；

        \item \label{item:2:常见子空间:2}
              判断$W_1=\left\{(x,y,z) \;\middle|\; \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}=z\right\},\enspace W_2=\{(x,y,z) \mid x+y+z=1,\enspace x-y+z=1\}$是否为$\mathbf{R}^3$的子空间；

        \item \label{item:2:常见子空间:3}
              试说明齐次线性方程组$AX=0$的解集是线性空间$\mathbf{F}^n$的一个子空间（我们称之为齐次线性方程组的\term{解空间}），但非齐次线性方程组的解不再构成线性空间.
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 只需证明$\mathbf{R}[x]_2 \subseteq \mathbf{R}[x]_3$，以及$\mathbf{R}[x]_2$对$\mathbf{R}[x]_3$中的加法和数乘封闭即可.

              $\forall v \in \mathbf{R}[x]_2$，可被写作$v=a+bx,a,b \in \mathbf{R}$. 又有$\mathbf{R}[x]_3=\{a+bx+cx^2,a,b,c \in \mathbf{R}\}$，取$c=0$，有$v=a+bx \in \mathbf{R}[x]_3$，因此$\mathbf{R}[x]_2 \subseteq \mathbf{R}[x]_3$.

              对于$\mathbf{R}[x]_3$中的加法和数乘：
              \[mv_1+nv_2=m(a_1+b_1x)+n(a_2+b_2x)=(ma_1+na_2)+(mb_1+nb_2)x \in \mathbf{R}[x]_3\]
              所以$\mathbf{R}[x]_2$是$\mathbf{R}[x]_3$的子空间.

        \item 对于此类给出条件求解子空间的问题，实际上很容易理解，因为$W_1$实际上就是所有满足方程组
              \[\begin{cases}
                      x-3z=0 \\
                      y-2z=0
                  \end{cases}\]
              的向量，而$W_2$实际上就是所有满足方程组
              \[\begin{cases}
                      x+y+z=1 \\
                      x-y+z=1
                  \end{cases}\]
              的向量. 因此我们只需要验证这两个方程组的解集是否对加法和数乘封闭即可.

              对 $W_1$: 引入参数$t$，
              \[W_1=\left\{(3t,2t,t) \;\middle|\; \frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z = t\right\}\]
              对于$\forall v_1, v_2 \in W_1, v_1 = (3t_1, 2t_1, t_1), v_2 = (3t_2, 2t_2, t_2)$，有
              \begin{align*}
                  av_1 + bv_2 & = (3at_1 + 3bt_2, 2at_1 + 2bt_2, at_1 + bt_2)           \\
                              & = (3(at_1 + bt_2), 2(at_1 + bt_2), at_1 + bt_2) \in W_1
              \end{align*}
              故$W_1$封闭，是 $\mathbf{R}^3$ 的子空间.

              对 $W_2$: 有反例. 取 $u_1 = (1, 0, 0), u_2 = (0, 0, 1) \in W_2$，但 $W_1 + W_2 = (1, 0, 1)$ 不满足 $x + y + z = 1$，故 $W_2$ 不封闭，不是 $\mathbf{R}^3$ 的子空间.

        \item 设齐次线性方程组 $AX=0$ 的解构成的集合是 $W_1$，$\forall X_1, X_2 \in W_1$，有 $AX_1 = AX_2 = 0$，所以 $\forall a, b \in \mathbf{F}$，
              \[A(a X_1 + b X_2) = A(a X_1) + A(b X_2) = a AX_1 + b AX_2 = 0\]
              故 $W_1$ 封闭，是 $\mathbf{F}^n$ 的子空间.

              设非齐次线性方程组 $AX = \beta,\enspace \beta \in \mathbf{F}^m,\enspace \beta \neq 0$ 的解构成的集合是 $W_2$，$\forall X_1, X_2 \in W_2$，有 $AX_1 = AX_2 = \beta$，所以 $A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = 2\beta \neq \beta$. 故 $W_2$ 不封闭，不是 $\mathbf{F}^n$ 的子空间.
    \end{enumerate}
\end{solution}

上例中 \ref*{item:2:常见子空间:2} 表明过原点的直线/平面构成三维空间的子空间，不过原点的无法保持线性性. 事实上 \ref*{item:2:常见子空间:2} 和 \ref*{item:2:常见子空间:3} 在表述同一个问题，\ref*{item:2:常见子空间:2} 从几何角度描述了 \ref*{item:2:常见子空间:3} 中齐次/非齐次线性方程组的解集. 事实上，在定义了子空间后，如果一个线性空间的子集也构成线性空间，我们就可以对其进行同样的研究. 这一想法在我们后续的内容中十分重要， 现在需要大家先熟知子空间的定义和判别.

最后我们需要注意一个名词的定义. 线性空间有两个子空间称为平凡子空间，即仅含零元的子集$\{0\}$和其自身$V$. 而其它子空间称为非平凡子空间.

\section{线性表示 \quad 线性扩张}

在高中平面向量的学习中我们知道，两个单位向量$(1,0)$和$(0,1)$可以表示出整个平面的所有向量，高中我们也称这样的向量为平面向量的基底. 接下来我们将二维平面扩展至任意线性空间，同样讨论有关于``表示''、``基底''的问题.

我们首先来看线性组合和线性表示的概念：
\begin{definition}{}{}
    设$V(\mathbf{F})$是一个线性空间，$\alpha_i\in V,\enspace\lambda_i\in \mathbf{F}\enspace(i=1,2,\ldots,m)$，则向量$\alpha=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_m\alpha_m$称为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$在域$\mathbf{F}$的线性组合，或说$\alpha$在域$\mathbf{F}$上可用向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示.
\end{definition}
这和我们高中所学的用向量的基底表示其他向量是完全一致的. 基于此，我们给出线性扩张的定义：
\begin{definition}{线性扩张}{} \index{xianxingkuozhang@线性扩张 (linear span)}
    设$S$是线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集，我们称
    \[ \spa(S)=\{\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbf{F},\enspace\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in S,\enspace k\in\mathbf{N}_+\} \]
    为$S$的\term{线性扩张}，即$S$中所有有限子集在域$\mathbf{F}$上的一切线性组合组成的$V(\mathbf{F})$的子集.
\end{definition}
注意，有的教材中也中使用 $L$ 表示线性扩张. 考虑到本讲义记号统一性，我们采用更加常用并且不会与之后其它定义的记号冲突的$\spa$.

下面的定理告诉我们可以通过线性扩张构造子空间：
\begin{theorem}{}{线性扩张构造子空间}
    线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集$S$的线性扩张$\spa(S)$是$V$中包含$S$的最小子空间.
\end{theorem}
仍然利用平面向量进行直观的理解，平面（也显然在平面向量加法和数乘下构成线性空间）$\mathbf{R}^2$可以由向量$(1,0)$和$(0,1)$扩张而成. 由这一定理的结果我们可以将一个向量组的线性扩张称为向量组的张成空间. 这一定理的证明思想非常重要，因此在此给出：

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item 首先我们证明$\spa(S)$是$V$的子空间.
              \begin{enumerate}
                  \item $\spa(S)$非空：由于$S$非空，且$S\subseteq\spa(S)$显然成立：取$\lambda=1,\enspace\forall s\in S,\enspace \lambda s=s\in\spa(S)$. 因此$\spa(S)$非空；

                  \item 设$\alpha,\beta\in\spa(S)$，则存在$\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbf{F},\enspace \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in S,\enspace\mu_1,\ldots,\mu_l\in\mathbf{F},\enspace\beta_1,\ldots,\beta_l\in S$，使得
                        \begin{gather*}
                            \alpha=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k \\
                            \beta=\mu_1\beta_1+\cdots+\mu_l\beta_l
                        \end{gather*}
                        因此我们可以得到$\spa(S)$
                        \begin{enumerate}
                            \item 关于加法封闭：$\alpha+\beta=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k+\mu_1\beta_1+\cdots+\mu_l\beta_l\in\spa(S)$；

                            \item 关于数乘封闭：$\lambda\alpha=\lambda\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda\lambda_k\alpha_k\in\spa(S)$（数域关于乘法运算封闭，故$\lambda\lambda_i\in\mathbf{F},\enspace i=1,\ldots,k$）.
                        \end{enumerate}
              \end{enumerate}
              综上，$\spa(S)$是$V$的子空间；

        \item 接下来我们证明$\spa(S)$是包含$S$的最小子空间. 设$W$是$V$的任一子空间，我们只需证明$\spa(S)\subseteq W$.

              事实上，类似于前面$S\subseteq\spa(S)$的证明我们有$S\subseteq W$，故$S$中元素都在$W$中. 且由\autoref{thm:子空间判别} 可知子空间中元素一定关于加法、数乘封闭，因此$\forall {\alpha}=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k\in\spa(S)$. 由于$\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in S\subseteq W,\enspace\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbf{F}$，因此$\alpha\in W$，从而$\spa(S)\subseteq W$，由此得证.
    \end{enumerate}
\end{proof}

上述证明的重要性在于，我们在这一个证明中练习了子集的证明方法、子空间的充要条件以及对于``最小''问题证明的一般方法. 希望读者能掌握其中的每一个思想与技巧. 此外，这一定理有很强的直观性，因为线性扩张实际上就是将子集中的元素进行无穷次重复的线性组合，将所有可能经过线性运算获得的向量都生成了，因此线性扩张的结果一定保障了线性运算的封闭.

\begin{summary}

    本讲我们追随着第一讲最末尾关于线性方程组为什么无解、有唯一解或无穷解的问题，展开我们对线性方程组一般理论的讨论. 我们首先通过一个例子引入我们为什么要研究线性空间——因为我们需要了解向量之间的关联，从直觉上这与线性方程组解的情况是有关系的. 我们给出了线性空间的定义——其核心仍然是在集合上定义满足一定条件的运算，事实上就是对我们高中就熟知的向量加法数乘规则的抽象，然后我们讨论了基于这一公理化的定义我们可以得到的性质. 我们介绍了线性空间的子空间的定义与判别方法，引入了线性表示、线性扩张的概念并说明了我们如何通过线性扩张得到子空间——实际上这些内容放在向量空间中都可以找到直观的几何解释，因此理解起来并不困难.

    事实上，这一讲的内容是比较抽象的，因为线性空间的定义实际上就是将我们熟知的向量加法数乘运算抽象出来，从而适用于所有有类似结构的集合，因此读者在学习时可能会自动带入一些高中平面向量的直观，然后发现显然的问题不用证，复杂的问题摸不着头脑，但读者应当在未竟专题一中训练了基于定义和公理的数学证明思想，我们也尽力给出大量经典的例子，将推导过程写得非常详细，所以整体而言思路应当是清晰易懂的.

\end{summary}

\begin{exercise}
    \exquote[毕达哥拉斯]{在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.}

    \begin{exgroup}
        \item 检验下列集合对指定的加法和数乘运算是否构成实数域上的线性空间.
        \begin{enumerate}
            \item 有理数集$\mathbf{Q}$对普通的数的加法和乘法；

            \item 集合$\mathbf{R}^2$对通常的向量加法和如下定义的数量乘法：$\lambda\cdot(x,y)=(\lambda x,y)$；

            \item $\mathbf{R}_+^n$（即$n$元正实数向量）对如下定义的加法和数乘运算：
                  \begin{gather*}
                      (a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n)=(a_1b_1,\ldots,a_nb_n) \\
                      \lambda\cdot(a_1,\ldots,a_n)=(a_1^\lambda,\ldots,a_n^\lambda)
                  \end{gather*}

            \item 集合 $V$ 为区间 $[a, b]$ 上所有函数值 $\geqslant 0$ 的实变量函数，即：
                  \[V=\{f \mid f(x) \geqslant 0, \forall x \in [a, b] \}\]
                  对通常的函数加法和数与函数的乘法，即：
                  \begin{gather*}
                      (f \oplus g)(x) = f(x) + g(x) \\
                      (\lambda \circ f)(x) = \lambda f(x)
                  \end{gather*}

            \item \[V_1= \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{R}, f(-x)=-f(x)\}\]
                  \[V_2= \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{R}, f(0)=1, f(-x)=f(x)\}\]
                  对题(4)所定义的加法和数量乘法.

            \item $V = \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{C}, f(-x)= \overline{f(x)} \}$.
                  对题(4)所定义的加法和数量乘法.
        \end{enumerate}

        \begin{answer}
            \begin{enumerate}
                \item 有理数集 $Q$ 关于实数乘法不封闭，不构成实数域上的线性空间.

                \item $\mathbf{R}^2$ 关于通常向量加法构成交换群，封闭性也显然成立. 再看数乘.
                      \begin{enumerate}
                          \item $\exists \lambda=1$ 使得 $\lambda\cdot(x,y)=(\lambda x,y)=(x,y)$.

                          \item $\lambda(\mu\cdot(x,y))=\lambda\cdot(\mu x,y)=((\lambda\mu)x,y)=(\lambda\mu)\cdot(x,y)$.

                          \item $(\lambda+\mu)\cdot(x,y)=((\lambda+\mu)x,y)=(\lambda x,y)+(\mu x,y)$. 因此$(\lambda+\mu)\cdot(x,y)=\lambda\cdot(x,y)+\mu\cdot(x,y)$ 成立.

                          \item $\lambda((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=\lambda\cdot(x_1+x_2,y_1+y_2)=(\lambda x_1+\lambda x_2,y_1+y_2)=(\lambda x_1,y_1)+(\lambda x_2,y_2)$，因此$\lambda((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=(\lambda x_1,y_1)+(\lambda x_2,y_2)$.

                          \item （封闭性）$\forall \lambda \in \mathbf{R},\lambda\cdot(x,y)=(\lambda x,y)\in \mathbf{R}^2$，封闭性满足.

                                综上，$\mathbf{R}^2$ 关于通常向量加法与该数乘构成实数域上的向量空间.
                      \end{enumerate}

                \item \begin{enumerate}
                          \item 对于加法，显然，封闭性，结合律，交换律成立. 存在加法单位元 $(1,1,\ldots,1)$ 有
                                \begin{align*}
                                    (1,1,\ldots,1)+(a_1,a_2,\ldots,a_n) & = (a_1,a_2,\ldots,a_n)+(1,1,\ldots,1) \\
                                                                        & = (a_1,a_2,\ldots,a_n)
                                \end{align*}
                                由于为正实数向量，则对于 $(a_1,\ldots,a_n)$，存在唯一的逆元 $\left(\dfrac 1{a_1},\ldots,\dfrac 1{a_n}\right)$，使得 $(a_1,\ldots,a_n)+\left(\dfrac 1{a_1},\ldots,\dfrac 1{a_n}\right)=(1,\ldots,1)$.

                          \item 对于数乘，显然有封闭性成立，乘法单位元为 $\lambda_0=1$. 又有
                                \begin{enumerate}
                                    \item \begin{align*}
                                                  & \lambda(\mu\cdot(a_1,\ldots,a_n))            \\
                                              ={} & \lambda\cdot(a_1^\mu,\ldots,a_n^\mu)         \\
                                              ={} & ((a_1^\mu)^\lambda,\ldots,(a_n^\mu)^\lambda) \\
                                              ={} & (a_1^{\lambda\mu},\ldots,a_n^{\lambda\mu})
                                          \end{align*}
                                          因此 $\lambda(\mu\cdot(a_1,\ldots,a_n))=(\lambda\mu)\cdot(a_1,\ldots,a_n)$ 成立.

                                    \item \begin{align*}
                                                  & (\lambda+\mu)\cdot(a_1,\ldots,a_n)                         \\
                                              ={} & (a_1^{\mu+\lambda},\ldots,a_n^{\mu+\lambda})               \\
                                              ={} & (a_1^\lambda a_1^\mu,\ldots,a_n^\lambda a_n^\mu)           \\
                                              ={} & (a_1^\lambda,\ldots,a_n^\lambda)+(a_1^\mu,\ldots,a_n^\mu),
                                          \end{align*}
                                          因此 $(\lambda+\mu)\cdot(a_1,\ldots,a_n)=\lambda\cdot(a_1,\ldots,a_n)+\mu(a_1,\ldots,a_n)$，第一个加号为数的加法，第二个加号为定义的向量加法.

                                    \item $\lambda\cdot((a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n))=\lambda\cdot(a_1b_1,\ldots,a_nb_n)=(a_1^\lambda b_1^\lambda,\ldots,a_n^\lambda b_n^\lambda)=(a_1^\lambda,\ldots,a_n^\lambda)+(b_1^\lambda,\ldots,b_n^\lambda)$，因此 $\lambda\cdot((a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n))=\lambda\cdot(a_1,\ldots,a_n)+\lambda\cdot(b_1,\ldots,b_n)$.
                                \end{enumerate}
                                综上有 $\mathbf{R}_+^n$ 对如下加法和数乘构成实数域线性空间.
                      \end{enumerate}


                        \item 当 $\lambda<0$ 时，$(\lambda\circ f)(x)=\lambda f(x)\leqslant 0$，是函数值 $\le0$ 的实变量函数，则 $\lambda f(x)\not\in V$，即关于数乘不封闭，不构成线性空间.

                        \item $V_1$ 是奇函数集合，只需验证 $V_1$ 对加法和数乘封闭即可. 这显然成立. 则 $V_1$ 构成线性空间. 对于 $V_2$：当 $\lambda\neq 1$，有 $(\lambda\circ f)(0)=\lambda f(0)=\lambda\neq 1$. 则 $(\lambda\circ f)(x)\in V_2$，$V_2$ 不封闭，不构成线性空间.

                        \item 先验证 $V$ 非空：有 $f(x)=0,\forall x\in \mathbf{R}$，则 $f(x)\in V$，即 $V$ 非空. 再验证封闭性：对于 $(f\oplus g)(x)$，有 $(f\oplus g)(-x)=f(-x)+g(-x)=\overline{f(x)}+\overline{g(x)}=\overline{f(x)+g(x)}=\overline{(f\oplus g)(x)}$. 对于 $(\lambda\circ f)(x)$，有 $(\lambda\circ f)(-x)=\lambda f(-x)=\lambda\overline{f(x)}$. 由于 $\lambda \in \mathbf{R}$，则 $\lambda \overline{f(x)}=\overline{\lambda f(x)}=\overline{(\lambda\circ f)(x)}$. 因此 $V$ 关于 $\mathbf{R}$ 的函数加法和数乘封闭. 再给出加法零元 $f(x)=0$，数乘单位元 $\lambda=1$. 其余性质还请读者自行验证. 总之，$V$ 构成 $\mathbf{R}$ 上线性空间.
            \end{enumerate}
        \end{answer}

        \item 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间：
        \begin{enumerate}
            \item $W = \{(x_1,\ldots,x_n) \in F^n \mid a_1 x_1+\cdots +a_n x_n =0\}$, 其中 $a_1, \ldots, a_n$ 为域 $F$ 中的固定数量.

            \item $W_1 = \{(x,1,0) \in \mathbf{R}^3 \}$, $W_2 = \{(x,y,0) \in \mathbf{R}^3\}$.

            \item $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-3y+z = 0\}$, $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-3y+z = 1\}$.

            \item $W_1 = \left\{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \middle|\ \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-4}{1} = \dfrac{z-1}{-3}\right\}$,

                  $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-y = 0, x+y+z = 0\}$.

            \item $W_1 = \{p(x) \in R[x] \mid p(1) = 0\}$, $W_2 = \{P(x) \in R[x]_n \mid p(1) = p(0)\}$（此题主要就是要判断满足一定条件的多项式是否构成子空间）.

            \item $W = \{f \in F(-\infty, +\infty) \mid f(-x)=f(x), \forall x \in R\}$, 其中 $F(-\infty, +\infty)$ 是所有定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.
        \end{enumerate}

        \begin{answer}
            \begin{enumerate}
                \item 对于集合 \( W = \{(x_1, \ldots, x_n) \in F^n \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0\} \)：

                首先，我们来判断该集合是否为线性空间的子空间. 判断一个集合是否为线性空间的子空间需要满足以下三个条件：

                \begin{enumerate}
                    \item \text{零向量在其中}：

                    当 \( x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 \) 时，方程 \( a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \) 显然成立，因此零向量 \( (0, 0, \ldots, 0) \) 属于 \( W \).

                    \item \text{封闭性（加法）}：

                    假设 \( \mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n) \) 和 \( \mathbf{w} = (y_1, \ldots, y_n) \) 属于 \( W \)，即：
                    \[
                    a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \quad \text{且} \quad a_1y_1 + \cdots + a_ny_n = 0.
                    \]
                    那么，对于 \( \mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \)，有：
                    \[
                    a_1(x_1 + y_1) + \cdots + a_n(x_n + y_n) = (a_1x_1 + \cdots + a_nx_n) + (a_1y_1 + \cdots + a_ny_n) = 0 + 0 = 0.
                    \]
                    因此，\( \mathbf{v} + \mathbf{w} \in W \).

                    \item \text{封闭性（数乘）}：

                    对于任意 \( \mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n) \in W \) 和任意 \( \lambda \in F \)，有：
                    \[
                    a_1(\lambda x_1) + \cdots + a_n(\lambda x_n) = \lambda (a_1x_1 + \cdots + a_nx_n) = \lambda \cdot 0 = 0.
                    \]
                    因此，\( \lambda \mathbf{v} \in W \).
                \end{enumerate}

                由于上述三个条件均满足，集合 \( W \) 是 \( F^n \) 的一个子空间.

                \item 对于集合 \( W_1 = \{(x, 1, 0) \in \mathbb{R}^3\} \) 和 \( W_2 = \{(x, y, 0) \in \mathbb{R}^3\} \)：

                \begin{enumerate}
                    \item \text{对于 \( W_1 \)}：

                    \begin{itemize}
                        \item \text{零向量在其中}：零向量 \( (0, 0, 0) \) 不在 \( W_1 \) 中，因为 \( W_1 \) 中的第二个分量始终为 1，因此零向量不在 \( W_1 \) 中.
                        \item 因为零向量不在 \( W_1 \) 中，所以 \( W_1 \) 不是子空间.
                    \end{itemize}

                    \item \text{对于 \( W_2 \)}：

                    \begin{itemize}
                        \item \text{零向量在其中}：当 \( x = 0, y = 0 \) 时，向量 \( (0, 0, 0) \in W_2 \).
                        \item \text{封闭性（加法）}：假设 \( \mathbf{v} = (x_1, y_1, 0) \in W_2 \) 和 \( \mathbf{w} = (x_2, y_2, 0) \in W_2 \)，则：
                        \[
                        \mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, 0) \in W_2.
                        \]
                        \item \text{封闭性（数乘）}：对于 \( \lambda \in \mathbb{R} \) 和 \( \mathbf{v} = (x, y, 0) \in W_2 \)，有：
                        \[
                        \lambda \mathbf{v} = (\lambda x, \lambda y, 0) \in W_2.
                        \]
                    \end{itemize}
                \end{enumerate}

                因此，\( W_2 \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的一个子空间.

                \item 对于集合 $W_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 3y + z = 0\}$ 和 $W_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 3y + z = 1\}$：
                \begin{enumerate}
                    \item \text{零向量在其中}：当 $x = 0, y = 0, z = 0$ 时，方程 $x - 3y + z = 0$ 显然成立，因此零向量 $(0, 0, 0) \in W_1$.
                    \item \text{封闭性（加法）}：假设 $\mathbf{v} = (x_1, y_1, z_1) \in W_1$ 和 $\mathbf{w} = (x_2, y_2, z_2) \in W_1$，则：
                    \[
                    (x_1 - 3y_1 + z_1) = 0 \quad \text{且} \quad (x_2 - 3y_2 + z_2) = 0.
                    \]
                    对于 $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$，有：
                    \[
                    (x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 - 3y_1 + z_1) + (x_2 - 3y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0.
                    \]
                    因此，$\mathbf{v} + \mathbf{w} \in W_1$.
                    \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} = (x, y, z) \in W_1$，有：
                    \[
                    \lambda x - 3(\lambda y) + \lambda z = \lambda(x - 3y + z) = \lambda \cdot 0 = 0.
                    \]
                    因此，$\lambda \mathbf{v} \in W_1$.
                \end{enumerate}
                综上所述，$W_1$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一个子空间.
                \begin{enumerate}
                    \item \text{零向量不在其中}：若 $(0, 0, 0) \in W_2$，则必须满足 $0 - 3 \cdot 0 + 0 = 1$，这显然不成立，因此零向量不在 $W_2$ 中.
                \end{enumerate}
                因为零向量不在 $W_2$ 中，所以 $W_2$ 不是子空间.

                \item 对于集合 $W_1 = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid \frac{x}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 1}{-3} \right\}$ 和 $W_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = 0, x + y + z = 0\}$：

                这个集合的方程表示一个直线的参数方程. 通常直线不是子空间，因为它不通过原点. 因此，$W_1$ 不是子空间.

                \begin{enumerate}
                    \item \text{零向量在其中}：当 $x = 0, y = 0, z = 0$ 时，方程 $x - y = 0$ 和 $x + y + z = 0$ 都成立，因此零向量 $(0, 0, 0) \in W_2$.
                    \item \text{封闭性（加法）}：假设 $\mathbf{v} = (x_1, y_1, z_1) \in W_2$ 和 $\mathbf{w} = (x_2, y_2, z_2) \in W_2$，即：
                    \[
                    x_1 - y_1 = 0, \quad x_1 + y_1 + z_1 = 0
                    \]
                    \[
                    x_2 - y_2 = 0, \quad x_2 + y_2 + z_2 = 0
                    \]
                    对于 $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$，有：
                    \[
                    (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) = 0 + 0 = 0,
                    \]
                    \[
                    (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0.
                    \]
                    因此，$\mathbf{v} + \mathbf{w} \in W_2$.
                    \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} = (x, y, z) \in W_2$，有：
                    \[
                    \lambda x - \lambda y = \lambda (x - y) = \lambda \cdot 0 = 0,
                    \]
                    \[
                    \lambda x + \lambda y + \lambda z = \lambda (x + y + z) = \lambda \cdot 0 = 0.
                    \]
                    因此，$\lambda \mathbf{v} \in W_2$.
                \end{enumerate}
                综上所述，$W_2$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一个子空间.

                \item 对于集合 $W_1 = \{p(x) \in \mathbb{R}[x] \mid p(1) = 0\}$ 和 $W_2 = \{P(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid p(1) = p(0)\}$：

                \begin{enumerate}
                    \item \text{零多项式在其中}：零多项式 $p(x) = 0$ 满足 $p(1) = 0$，因此零多项式 $p(x) = 0 \in W_1$.
                    \item \text{封闭性（加法）}：假设 $p(x), q(x) \in W_1$，即 $p(1) = 0$ 且 $q(1) = 0$，那么对于 $p(x) + q(x)$，有：
                    \[
                    (p(x) + q(x))(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0,
                    \]
                    因此 $p(x) + q(x) \in W_1$.
                    \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意实数 $\lambda$ 和 $p(x) \in W_1$，有：
                    \[
                    (\lambda p(x))(1) = \lambda p(1) = \lambda \cdot 0 = 0,
                    \]
                    因此 $\lambda p(x) \in W_1$.
                \end{enumerate}
                综上所述，$W_1$ 是一个子空间.

                \begin{enumerate}
                    \item \text{零多项式在其中}：零多项式 $p(x) = 0$ 显然满足 $p(1) = p(0)$，因此零多项式 $p(x) = 0 \in W_2$.
                    \item \text{封闭性（加法）}：假设 $p(x), q(x) \in W_2$，即 $p(1) = p(0)$ 且 $q(1) = q(0)$，那么对于 $p(x) + q(x)$，有：
                    \[
                    (p(x) + q(x))(1) = p(1) + q(1), \quad (p(x) + q(x))(0) = p(0) + q(0).
                    \]
                    因为 $p(1) = p(0)$ 和 $q(1) = q(0)$，所以 $p(1) + q(1) = p(0) + q(0)$，即 $p(x) + q(x) \in W_2$.
                    \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意实数 $\lambda$ 和 $p(x) \in W_2$，有：
                    \[
                    (\lambda p(x))(1) = \lambda p(1), \quad (\lambda p(x))(0) = \lambda p(0).
                    \]
                    因为 $p(1) = p(0)$，所以 $\lambda p(1) = \lambda p(0)$，即 $\lambda p(x) \in W_2$.
                \end{enumerate}
                综上所述，$W_2$ 是一个子空间.

                \item 对于集合 $W = \{f \in F(-\infty, +\infty) \mid f(-x) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}\}$：

                \begin{enumerate}
                    \item \text{零函数在其中}：零函数 $f(x) = 0$ 显然满足 $f(-x) = f(x)$，因此零函数 $f(x) = 0 \in W$.
                    \item \text{封闭性（加法）}：假设 $f(x), g(x) \in W$，即 $f(-x) = f(x)$ 且 $g(-x) = g(x)$，那么对于 $f(x) + g(x)$，有：
                    \[
                    (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x),
                    \]
                    因此 $f(x) + g(x) \in W$.
                    \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意实数 $\lambda$ 和 $f(x) \in W$，有：
                    \[
                    (\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x),
                    \]
                    因此 $\lambda f(x) \in W$.
                \end{enumerate}
                综上所述，$W$ 是一个子空间.

            \end{enumerate}
        \end{answer}
    \end{exgroup}

    \begin{exgroup}
        \item 证明：已知线性空间$V(\mathbf{F})$，$\lambda,\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in\mathbf{F}$，$\beta,\alpha_1,\ldots,\alpha_r\in V$，有$\lambda\beta+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_r\alpha_r=\vec{0}$在$\lambda\neq 0$时的解为$\beta=-\lambda^{-1}\lambda_1\alpha_1-\lambda^{-1}\lambda_2\alpha_2-\cdots-\lambda^{-1}\lambda_r\alpha_r$.

        \item \label{item:2:去除一条线性空间公理}
        下面是一些集合满足除了其中任意一条公理之外的其它所有公理的例子，它们说明线性空间定义中各条公理是独立的：
        \begin{enumerate}
            \item 加法结合律

            考虑集合 $\mathbf{F} = \mathbf{R}, V = \{(x, y)\in\mathbf{R}^2 \mid xy = 0\}$，即 $x$ 轴和 $y$ 轴的并，在其上自定义加法和乘法
            \begin{align*}
                (x_1, x_2) + (y_1, y_2) &= \begin{cases}
                    (0, 0), & (x_1+x_2)(y_1+y_2) \neq 0 \\
                    (x_1+x_2, y_1+y_2), & (x_1+x_2)(y_1+y_2) = 0
                \end{cases} \\
                k\cdot (x_1, x_2) &= (k x_1, k x_2)
            \end{align*}
            请验证其满足除了加法结合律以外的所有要求.

            \item 加法逆元

            因为如果去掉加法单位元要求会导致逆元无法定义，所以跳过仅仅去掉加法单位元的情况. 考虑 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$，构造这样一个集合：向实数集中人为添加一个元素 $0'$，保持其它数的加法，称这个集合为 $V$，然后对 $0'$ 参与的所有加法运算定义
            \[
                0' + \alpha = \alpha + 0' = \alpha
            \]
            注意到此时 $0' + 0 = 0 + 0' = 0$，也就是说 $0'$ 是真正的加法单位元，对 $\alpha \neq 0$，沿用实数集中``正常''的乘法. 对 $0'$ 定义数乘
            \[
                k \cdot 0' = 0'
            \]
            请验证除了逆元以外其它的公理都得到了满足，但是对于一般的 $\alpha$，我们无法找到 $\beta$ 使得 $\alpha + \beta = 0'$.

            \item 数乘单位元

            考虑 $\mathbf{F} = V = \mathbf{R}$. 在实数集中保持加法不变，令 $k\cdot \alpha = 0$. 请验证它满足除了乘法单位元以外的所有要求.

            \item 数乘结合律

            仍然保持实数上的加法不变，考虑 $\mathbf{F}=\mathbf{C}, V=\mathbf{R}$，定义乘法
            \[
                k\cdot \alpha = (\Re k) \alpha
            \]
            其中 $\Re k$ 表示复数 $k$ 的实部，请验证它满足除了乘法结合律以外的所有要求.

            \item 左分配律

            考虑 $\mathbf{F}=V=\mathbf{R}$. 保持实数集中加法不变，定义
            \[
                k\cdot \alpha = \alpha
            \]
            请验证它除了左分配律以外的公理都满足.

            \item 右分配律

            （笔者暂时没有想到更好的例子，所以这个例子会略微抽象）考虑 $\mathbf{F}=\mathbf{C}, V=\mathbf{C}^2$. 保持 $\mathbf{C}^2$ 上的加法不变，对 $k\in\mathbf{C}, \alpha = (z_1, z_2)$ 定义乘法
            \[
                k\cdot\alpha = \begin{cases}
                    (k z_1, k z_2), & z_1 = 0~\text{或}~\Im(z_2 / z_1) \geqslant 0\\
                    (\overline{k} z_1, \overline{k} z_2), & \text{其它}
                \end{cases}
            \]
            这里 $\Im$ 表示复数的虚部，请验证它满足除右分配律以外的所有公理.
        \end{enumerate}
        \begin{answer}

        \end{answer}

        \item 设$V$是一个线性空间，$W$是$V$的子集，证明：$W$是$V$的子空间$\iff \spa(W)=W$.
        \begin{answer}
            $W$ 是 $V$ 的子空间等价于 $\forall \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in W$，$\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_k\in \mathbf{F}$（$\mathbf{F}$ 是 $V$ 对应数域）有 $\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k\in W$. 根据线性扩张的定义，以上描述等价于 $\spa(W)\subseteq W$，又 $\spa(W)$ 是 $W$ 的线性扩张，即 $W\subseteq\spa(W)$，故$\spa(W)\subseteq W \iff \spa(W)=W$. 综上 $W$ 是 $V$ 的子空间，得证.
        \end{answer}
    \end{exgroup}

    \begin{exgroup}
        \item 设$\mathbf{E}$是域$\mathbf{F}$的一个子域.
        \begin{enumerate}
            \item 证明：$\mathbf{F}$关于自身的加法和乘法构成一个$\mathbf{E}$上的向量空间，并举一例；

            \item 举例说明：$\mathbf{E}\enspace(\mathbf{E}\neq \mathbf{F})$不是$\mathbf{F}$上的线性空间；

            \item 证明：若$V$是$\mathbf{F}$上的一个线性空间，则$V$也是$\mathbf{E}$上的一个线性空间.
        \end{enumerate}
        \begin{answer}
            \begin{enumerate}
                \item 此处仅验证数乘封闭性，其余性质留给读者. $\forall \alpha\in \mathbf{F},\lambda\in \mathbf{E}$. 由于$\mathbf{E}\subseteq \mathbf{F}$，因此$\lambda\in \mathbf{F}$. 由于 $\mathbf{F}$ 本身是封闭的，故$\lambda\alpha\in F$，则 $F$ 构成 $\mathbf{E}$ 上的线性空间. 例： $\mathbf{C}$ 构成 $\mathbf{R}$ 上的线性空间.

                \item 例如：$\mathbf{R}$ 不是 $\mathbf{C}$ 上的线性空间. 因为 $\forall a\in\mathbf{R}$，有 $i\cdot a=a\cdot i\not\in\mathbf{R}$. 故数乘不封闭，不构成线性空间.

                \item $\forall\lambda\in \mathbf{E}$ 有 $\lambda\in \mathbf{F}$，则 $V$ 关于 $\mathbf{E}$ 的数乘运算肯定是封闭的，其余性质与在 $\mathbf{F}$ 上一致. 又 $\mathbf{E}$ 本身也封闭，则 $V$ 也是 $\mathbf{E}$ 上的一个线性空间，得证.
            \end{enumerate}
        \end{answer}

        \item 考虑在第一章定义的有限域 $\mathbf{F}_4$ 和 $\mathbf{Z}_2$. 证明：$\mathbf{Z}_2$ 可以看作 $\mathbf{F}_4$ 的一个子域. 并给出 $\mathbf{F}_4$ 在 $\mathbf{Z}_2$ 上的线性空间结构. 验证 $\mathbf{Z}_p$ 一定是 $\mathbf{F}_{p^n}$ 的一个子域.
    \end{exgroup}
\end{exercise}