Issue: Vorschläge/Korrekturen (via email)

1. Allgemeines: pi = ist genau 3
   Das gehört natürlich weg. Darunter steht es korrekt: pi = 3,14159
   Der ganz korrekte Mathematiker würde wahrscheinlich nicht "=" schreiben, sondern "ungefähr".
   Man könnte vielleicht noch sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) = ... und sqrt(3)/2 ergänzen. Muss man aber nicht.

2. 2.1: Jede rationale Zahl ... hat ein Dezimaldarstellung.
   Es muss natürlich heißen "eine".

3. 4: wobei i ... die immaginären Einheit ist.
   Es muss natürlich heißen "imaginäre".

4. 4.1: exp(conj(ix)) = exp(-ix)
   Mit conj(...) meine ich die komplexe Konjugation von ... .
   Vielleicht sollte man noch erwähnen, dass x in R. Für x in C gilt die Gleichung nicht. Das sieht man, wenn man z.B. x = 3i setzt. Dann kommt links exp(-3) aus, aber rechts exp(3).
   Falls also x in R, dann würde die Gleichung stimmen. In diesem Fall ist aber klar, dass
   conj(i*x) = -i*x.
   Ich glaube es ist sinnvoller zu zeigen:
   conj(exp(i*x)) = exp(-i*x)
   d.h. der conj-Strich gehört über den ganzen Term

5. **4.1: z^(-1) = (1/z)conj(z)/(conj(z)z) = ...
   Es muss natürlich heißen:
   z^(-1) = (1/z)*conj(z)/conj(z) = ...
   Mit "Inverses Element" könnte auch das inverse Element bzgl. der Addition gemeint sein, also -z. Präziser ist daher "Inverses Element bzgl. der Multiplikation", oder einfach nur "Kehrwert".

6. 4.2: Polarkoordinaten: n-te Wurzel: \sqrt[n]{z} = z_k = ...
   Das ist nicht ganz korrekt. Besser wäre:
   Sei c \in C mit c = r_c*exp(i*phi_c). Die n Lösungen von z^n = c sind
   \sqrt[n]{c} = z_k = \sqrt[n]{r_c} ( ... + i*... ); dabei phi durch phi_c ersetzen

   Alternativ könnte man auch schreiben:
   n-te Wurzel: w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} ( ... + i*... )

   Wichtig ist, dass man nicht zweimal z benutzt wie in \sqrt[n]{z} = z_k. Sonst kommt man schnell durcheinander.
   Ich bevorzuge die erste Darstellung mit c, da Aufgaben häufig lauten: Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung
   z^n = 1 + sqrt(3)*i.
   Hier ist also c = 1 + sqrt(3)*i, was man erst in Polarform umrechnen muss, um r_c und phi_c zu bekommen.

7. 5.2: Kandidaten für Extrama
   Es muss natürlich heißen "Extrema".

8. 5.4: f \mapsto f(x)
   Es muss natürlich heißen "x \mapsto f(x)".

9. 5.4: Satz von Rolle: ... , dann \exists x_0 : ...
   Eine Voraussetzung für diesen Satz ist, dass f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist (also keine Sprünge und auch keine Knicke). Dies sollte man ergänzen. Stetigkeit reicht zwar für den Zwischenwertsatz, aber nicht für den Satz von Rolle.
   Zudem sollte \exists x_0 : erweitert werden zu \exists x_0 \in (a,b) :.

10. 5.4: Mittelwertsatz: Falls f diffbar, dann \exists x_0:
    Schöner wäre "Falls f diffbar auf (a,b), dann \exists x_0 \in (a,b) :"

11. 5.4: Regel von L'Hospital: [0/0] / [inf/inf] \rightarrow ...
    Das zentrale "/" könnte als Division missverstanden werden (wenn auch unwahrscheinlich). Schöner wäre daher "oder".
    Der \rightarrow wird in der Regel benutz für Abbildungen oder Limes. Ein Implikationspfeil \Rightarrow wäre etwas schöner (auch an anderen Stellen in der Formelsammlung). Das ist aber nicht so wichtig.

12. 5.6: sinh(x) = (1/2)(-exp(-x) + exp(x)), cosh(x) = (1/2)(exp(-x) + exp(x))
    Beide Formeln sind korrekt. Etwas schöner wäre jedoch:
    sinh(x) = (1/2)*(exp(x) - exp(-x)), cosh(x) = (1/2)*(exp(x) + exp(-x))
    Diese Reihenfolge ist die übliche und intuitivere Darstellung.
    Zudem sei angemerkt, dass sinh und cosh zu den hyperbolischen Funktionen gehören, und nicht zu den trigonometrischen. Das kann man ergänzen, muss man aber nicht.

13. Additionstheoreme
    Die Nummer 5.7 fehlt. Potenzen/Logarithmus wäre dann 5.8, usw. Etwas schöner wäre es, die 5 Zeilen wie folgt anzuordnen:

    • cos(x - pi/2) = ...
    • sin(x+y) = ...
    • Spezialfall y = x: sin(2x) = ...
    • cos(x+y) = ...
    • Spezialfall y = x: cos(2x) = ...

    In der Tabelle steht in der zweiten Zeile x im Bogenmaß, also in rad. Da rad = 1, darf man das rad natürlich weglassen, z.B. pi/2 = (pi/2) rad. Das passt also. In der ersten Zeile steht x in Grad. Das Grad-Symbol darf man jedoch nicht weglassen, den 30 ist nicht das gleiche wie 30 Grad. Daher sollte überall das Grad-Symbol ergänzt werden.

14. Ich würde 1/sqrt(2) ersetzen durch sqrt(2)/2.
    Beides natürlich gleich, aber sqrt(2)/2 ist etwas schöner, da direkte Vergleichbarkeit zu sqrt(3)/2.
    Bei tan(90deg) und tan(270deg) könnte man schreiben: \rightarrow \pm \inf; muss man aber nicht.
    Bei tan(150deg) würde ich schreiben -sqrt(3)/3, da bei tan(30deg) sqrt(3)/3 steht.

15. 6 Folgen: n \rightarrow a(n) =: a_n
    Wenn man ganz korrekt sein möchte, sollte man das \rightarrow durch \mapsto ersetzen.

    rekursive Folge: Ich glaube a(a_n) ist nicht ganz sauber. Ich würde schreiben: (a_n) mit a_{n+1} = f(a_n), Startwert a_0 gegeben

16. 6.2 Konvergenz: (a_n) ist Konvergent mit Grenzwert a, falls: ...
    "Konvergent" -> "konvergent"
    Der Grenzwert a einer Folge (a_n) ist eindeutig.
    Da der Grenzwert nicht immer existiert, wäre es etwas schöner:
    Ist die Folge (a_n) konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig.
    Zudem würde ich "a" im Mathe-Modus schreiben, also $a$.
    Ist (a_n) Konvergent, so ist (a_n) beschränkt.
    "Konvergent" -> "konvergent"

17. Monotoniekriterium:
    Punkt am Ende fehlt.

18. Cauchy-Kriterium:
    "gerade dann, wenn"
    In der Mathematik ist es üblicher zu sagen: "genau dann, wenn"

19. Grenzwert bestimmen: Wurzeln:
    Erweitern mit binomischer Formel
    Präziser wäre: sqrt(f(n)) - sqrt(g(n)): Erweitern mit sqrt(f(n)) + sqrt(g(n)), dann dritte binomische Formel anwenden

20. Grenzwert bestimmen: Brüche:
    Zähler und Nenner durch den Koeffizienten höchsten Grades teilen
    Präziser als "Brüche" wäre "gebrochen-rationale Funktion" oder "Polynom(n)/Polynom(n)". Das ist hier bestimmt gemeint.
    Das Teilen durch den Koeffizienten des höchsten Grades würde nichts bringen. Dadurch würden sich nur die Koeffizienten ändern. Stattdessen klammert man im Zähler die höchste Potenz von n aus, und man klammert im Nenner die höchste Potenz von n aus. Alternativ kann man im Zähler und Nenner jeweils nur den Summanden mit der höchsten Potenz behalten und alle anderen Summanden streichen. Das führt auf das gleiche Ergebnis.

21. Grenzwert bestimmen: Rekursive Folgen:
    "Monotonie durch Vergleich ... zeigen."
    Das Problem ist, dass die Folge auch alternierend konvergieren kann. Beispiel:
    a_0 = 2, a_{n+1} = (1/2)*(1 + 1/a_n) (Fixpunkte: -1/2, 1)
    a_1 = 3/4 < 1
a_2 = 7/6 > 1
a_3 = 13/14 < 1
a_4 = 27/26 > 1
    ...
    Diese Folge konvergiert alternierend gegen 1. Es muss also kein monotones Verhalten vorliegen, damit die Folge konvergiert.

    Ich würde schreiben:
    Rekursive Folgen a_{n+1} = f(a_n): Fixpunkte berechnen, also Lösungen der Gleichung a = f(a). Die Existenz von Fixpunkten garantiert noch keine Konvergenz. Aber wenn die Folge konvergiert, dann ist der Grenzwert einer der Fixpunkte. Man kann z.B. die ersten Folgenglieder ausrechnen. Dann sieht man in der Regel, ob die Folge konvergiert, und falls ja, gegen welchen Fixpunkt (siehe obiges Beispiel).

    Das kann man natürlich auch anders/kompakter formulieren.

22. 6.4 Limes Inferior und Superior
    Am Ende der beiden Sätze fehlt ein Punkt.

23. 7 Geometrische Reihe: |q| < 1
    Besser wäre "nur falls |q| < 1".

24. 7.1: Minorante ... (divergiert)
    "divergiert" steht im Mathemodus. Besser im Textmodus schreiben.

    So, wie das Minorantenkriterium formuliert ist, ist es nicht ganz korrekt. Beispiel:
    Sei b_n = -1/n (also stets negativ). Die Reihe über b_n (mit Startwert n = 1) divergiert, da harmonische Reihe (nur mit negativem Vorzeichen).
    Sei a_n = +1/n^2 (also stets positiv). Dann gilt a_n >= b_n, aber die Reihe über a_n konvergiert.

    Korrekt wäre:
    Minorantenkriterium: Sei a_n >= b_n >= 0 für fast alle n und die Reihe über b_n divergent. Dann ist auch die Reihe über a_n divergent. Die Reihe über b_n heißt divergente Minorante.

    Mit "Reihe über b_n" meine ich natürlich \sum_{n=n_s}^{\infty} b_n. Hier ist n_s der Startwert. Besser n_s statt 0 schreiben, denn viele Reihen können nicht bei n = 0 starten, z.B. die harmonische Reihe.

25. 7.1: ... konvergiert, if (a_n) monoton fallende Nullfolge (Leibnitz)
    besser: "if" -> "falls"

26. 7.1: oder Majorante: ...
    Das ist so nicht ganz korrekt. Beispiel:
    Sei b_n = 1/n^2 (also stets positiv), d.h. die Reihe über b_n (mit Startwert n = 1) konvergiert (zu pi^2/6).
    Sei a_n = -n (also stets negativ). Dann gilt a_n <= b_n, aber die Reihe über (-1)^n*a_n divergiert, da (-1)^n*a_n keine Nullfolge ist.
    Ich würde diese Zeile ("oder Majorante: ...") einfach weglassen. Das Majorantenkriterium kommt ja zwei Zeilen später.

    bzgl. "Reihe über b_n = b": Das "= b" würde ich weglassen. Besser wäre z.B. "Reihe über b_n konvergent/konvergiert". In der Regel steht b für den Grenzwert der Folge b_n. Das ist hier aber nicht gemeint.

27. 7.1: Absolute Konvergenz: Reihe über |a_n| = a ...
    Das "= a" würde ich weglassen. Besser wäre z.B. "Reihe über |a_n| konvergent/konvergiert". In der Regel steht a für den Grenzwert der Folge a_n. Das ist hier aber nicht gemeint. Das gleiche gilt für "= b" bei "1. Majorante: ...".

    Ich würde absolute Konvergenz erst einmal separat definieren, und dann das Majorantenkriterium, das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium definieren, z.B. so:

    Eine Reihe über a_n ist absolut konvergent, falls die Reihe über |a_n| konvergiert.
    Hinweis: Falls die Reihe über |a_n| konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe über a_n, d.h. aus absoluter Konvergenz folgt die normale Konvergenz.

    Majorantenkriterium:
    Sei |a_n| <= b_n für fast alle n und die Reihe über b_n konvergent. Dann ist auch die Reihe über |a_n| konvergent, d.h. die Reihe über a_n ist absolut konvergent. Die Reihe über b_n heißt konvergente Majorante.

28. 7.1: 2. Quotienten und Wurzelkriterium
    -> "Quotienten- und Wurzelkriterium"
    In der Zeile mit rho = ... steht ganz rechts "für alle n > N". Ich verstehe den Sinn davon nicht. Das rho ergibt sich durch n \rightarrow \infty. Ich denke man sollte das "für alle n > N" weglassen.

    bzgl.: rho = 1 => Reihe über a_n keine Aussage möglich
    Besser ist: rho = 1 => keine Aussage über Reihe über a_n möglich

29. 8.1: Konvergenzradius
    Besser ist: "konvergiert absolut falls ...", "divergiert falls ...", "keine Aussage möglich, falls ...", also "falls" einfügen. Ist aber kein Muss.

30. 8.1: => x konvergiert im offenen Intervall ...
    Es muss natürlich heißen "f(x) konvergiert ...".

31. 9: Ableitung und Integral: f diffbar, falls f stetig und ...
    Etwas präziser wäre: "f ist in x_0 diffbar, falls f in x_0 stetig und lim ... existiert."
    Man könnte noch ergänzen:
    "Man beachte, dass h -> 0 den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert zusammenfasst, d.h. beide müssen existieren und übereinstimmen."

32. 9.1 Potenzreihe
    In dieser Zeile steht dreimal "a". In der Zeile darunter bei f'(x) steht auch "a". Besser wäre "c" (wie bei 8.1) oder "x_0", da "a" schon in "a_n" auftaucht.
    ]-R+a, a+R[ würde ich schreiben als (c-R,c+R) oder ]c-R,c+R[, wie in 8.1.

33. 9.3: integral uv' = uv - integral u' v
    Das ist formal nicht ganz korrekt, denn am Ende eines Integrals gehört immer ein d_. Korrekt wären:

    integral u v' dx = u v - integral u' v dx
    

    oder

    integral u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - integral u'(x) v(x) dx
    

    oder

    integral u dv = u v - integral v du
    

    Ich schreibe es meistens so, dass beim ersten Integral die Ableitung bei der ersten Funktion steht, und beim zweiten Integral die Ableitung bei der zweiten Funktion. Das finde ich intuitiver, aber natürlich kann man es auch so machen wie oben.

    integral u' v dx = u v - integral u v' dx
    

    oder

    integral u'(x) v(x) dx = u(x) v(x) - integral u(x) v'(x) dx
    

    oder

    integral g'(x) h(x) dx = g(x) h(x) - integral g(x) h'(x) dx
    

    ...

34. 9.4: integral lambda f(x) + mü g(x) dx
    Wenn man korrekt ist, müsste man Klammern setzen, also:

    integral (lambda f(x) + mü g(x)) dx
    

35. 9.4 Tabelle mit F(x) und f'(x): sinh^(-1), cosh^(-1), tanh^(-1)
    Den Exponenten "-1" sollte man besser nicht benutzen, da z.B. sinh^(-1)(x) mit (sinh(x))^(-1) verwechselt werden könnte. Laut ISO 80000-2 sollten die invershyperbolischen Funktionen mit dem Präfix "ar" für "Area" gekennzeichnet werden, also arsinh(x), arcosh(x), artanh(x) (nicht "arc").
    Nähere Infos hier unter "Notation":
    https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions

36. 9.7: s \mapsto f(s)
    Es muss natürlich heißen "t \mapsto f(t)".

37. 9.7: L f(s) = F(s) = ...
    Es muss natürlich heißen "L f(t) = ...".

38. 9.8 Integration rationale Funktionen
    Es muss natürlich heißen "rationaler".

39. 9.8: 2. Zerlege Q(x) in unzerlegbare Polynome
    Man könnte auch schreiben "Faktorisiere Q(x) in unzerlegbare Polynome. [Punkt am Ende]" Ist etwas präziser, aber kein Muss.

40. 9.9 Paratialbruchzerlegung
    Es muss natürlich heißen "Partialbruchzerlegung".
    bei "Berechnung von A, B, C, ...": Ich habe es so gelernt:

    • Zuerst Gleichung mit Hauptnenner multiplizieren. Dadurch taucht x nicht mehr im Nenner auf.
    • Danach kann man bestimmte Nullstellen in x einsetzen, wodurch bestimmte Terme wegfallen.
      (Würde man vor der Multiplikation mit dem Hauptnenner bestimmte Nullstellen einsetzen, dann würde man an mehreren Stellen durch Null teilen, was natürlich nicht geht.)
    • ggf. Klammern ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich
      ("ggf.", da dies nicht immer nötig ist. Manchmal erhält man Gleichungen mit nur einer Unbekannten (A oder B oder C ...), die man direkt danach auflösen kann.)

41. 12: Positionsstetigkeit (geschlossene Kurve)
    Ich glaube "lückenlose Kurve" wäre präziser. Ich habe gelernt, dass eine geschlossene Kurve eine Kurve ist, die lückenlos ist und bei der Anfangs- und Endpunkt gleich sind, z.B. ein Kreis oder ein Lasso.
    Die Positionsstetigkeit ist auch dann gegeben, wenn die Kurve nicht geschlossen ist, z.B. eine Kurve vom Punkt A zu einem anderen Punkt B.

42. 13: Ein Skalarfeld ordnet jedem Vektor eines Vektorraums einen Wert zu.
    Präziser wäre: "... einen skalaren Wert zu". Ein Wert könnte ja auch ein vektorieller Wert sein.