Model.tex

\chapter{Математическая модель}

Из уравнений Максвелла получаем общий вид волнового уравнения:

\begin{equation}
\label{eq:wave_equation}
\Delta \vec{E} = \frac{1}{a^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t},
\end{equation}

\begin{tabbing}
где \= $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ \=~--- оператор Лапласа,\\
\> $\sigma$ \>~--- электрическая проводимость среды,\\
\>$\varepsilon$ \>~--- диэлектрическая проницаемость среды,\\
\>$\mu$ \>~--- магнитная проводимость среды,\\
\>$a = \frac{c}{\varepsilon \mu}$ \>~--- скорость распространения электромагнитных волн в среде.
\end{tabbing}

Вывод \eqref{eq:wave_equation} из уравнений Максвелла можно найти, например в \cite{samarsky}.

Преобразуем \eqref{eq:wave_equation} для нашего случая. Положим, что внутри волновода вакуум, а стенки его по условию изготовлены из проводящего материала. В вакууме $\sigma = 0$, $\varepsilon = 1$, $\mu = 1$, а значит $a = c$. Кроме того, в нашем случае $\vec{E} = \left( E_x, 0, 0\right)$, т.~е. нам нужно рассматривать \eqref{eq:wave_equation} только в проекции на одну координату $E_x$. Причем $E_x$ по условию зависит только от $y$, $z$ и $t$, а от $x$ не зависит. Значит и $\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = 0$.

С учетом этого, \eqref{eq:wave_equation} перепишется в виде

\begin{equation}
\label{eq:wave_equation_2}
\Delta_{yz} E_x = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}.
\end{equation}

Здесь использовано довольно распространенное обозначение $\Delta_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

Задумаемся о краевых условиях для нашей задачи. Раз три стенки выполнены из электропроводящего матриала, значит на них напряженности поля никогда не возникнет: $\left. E_x \right|_{y=0} = \left. E_x \right|_{y=l_y} = \left. E_x \right|_{z=l_z} = 0$. Напряженность на оставшейся стенке нам известна. Она поддерживается неким источником и изменяется по известному закону: $\left. E_x \right|_{z=0} = \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda}t$ все интересующее нас время. При этом в начальный момент времени на всем волноводе какая-либо напряженность отсутствует и ее производная во времени --- тоже: $\left. E_x \right|_{t=0} = \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} = 0$. Присовокупив к \eqref{eq:wave_equation_2} эти условия, получим задачу математической физики:

\begin{equation}
  \label{eq:problem}
  \left\{
    \begin{array}{rclr}
      \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} &=& \Delta_{yz} E_x, & 0 \le y \le l_y,  0 \le z \le l_z, \\
      &&& 0 \le t \le T; \\
      \left. E_x \right|_{y=0} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
      \left. E_x \right|_{y=l_y} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
      \left. E_x \right|_{z=0} &=&  \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda} t, & 0 \le y \le l_y, 0 \le t \le T; \\
      \left. E_x \right|_{z=l_z} &=& 0, & 0 < y < l_y, 0 < t \le T; \\
      \left. E_x \right|_{t=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < z \le l_z; \\
      \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} &=& 0, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z.
    \end{array}
  \right.
\end{equation}

Как видно, задачу \eqref{eq:problem} невозможно решить методом разделения переменных вследствие неоднородного краевого условия. Для решения этой проблемы сделаем замену
\begin{equation}
  \label{eq:changeling}
  U(y, z, t) = E_x(y, z, t) - \frac{l_z - z}{l_z} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda}t \sin\frac{\pi y}{l_y}.
\end{equation}

  Подставив \eqref{eq:changeling} в \eqref{eq:problem} получим новую краевую задачу

\begin{equation}
  \label{eq:new_problem}
  \left\{
    \begin{array}{rclr}
      \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} & = & \Delta_{yz} U + G(y, z, t), & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z, \\
      &&& 0 \le t \le T;\\
      \left. U \right|_{y=0} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
      \left. U \right|_{y=l_y} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\ 
      \left. U \right|_{z=0} & = &  0, & 0 \le y \le l_y, 0 < t \le T; \\
      \left. U \right|_{z=l_z} &=& 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < t \le T; \\
      \left. U \right|_{t=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z; \\
      \left. \frac{\partial U}{\partial t} \right|_{t=0} &=& \Phi(y, z), & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z.
    \end{array}
  \right.
\end{equation}

Здесь сразу же для компактности записи использованы обозначения:

\begin{equation}
\label{eq:g}
G(y, z, t) = \pi^2 c^2\frac{l_z - z}{lz}\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2 \l_y^2}\sin k t \sin\frac{\pi y}{l_y},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:phi}
\Phi(y, z) = -k\frac{l_z - z}{l_z}\sin\frac{\pi y}{l_y},
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:k}
k = \frac{2 \pi c}{\lambda}.
\end{equation}

Получена неоднородная задача, имеющая однородные краевые условия, что
позволяет нам применять метод разделения переменных.