kap2.tex

\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}

\chapter{Reihen}
\chapterauthor{Clara}

\begin{Definition}
	Eine Reihe ist eine Folge, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge ist. Das bedeutet, dass das $n-te$ Glied der Reihe, die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist. \\
	Man hat also:

	\begin{itemize}
		\item Mit Startglied $a_{0}$: $s_{n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{i}$
		\item Mit Startglied $a_{1}$: $s_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}$
		\item Mit Startglied $a_{x}$: $s_{n}=\sum\limits_{i=x}^{x+n-1}a_{i}$
	\end{itemize}
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}
	In manchen Fällen steht $s_{n}$ für die Partialsumme einer anderen Folge bis zum $n-ten$ Glied.
	Dann gilt für ein beliebiges Startglied $a_{x}$ der Folge: $s_{n}=\sum\limits_{i=x}^{n}a_{i}$
\end{Bemerkung}

\section{Artithmetische Reihen}
\subsection{Gauß'sche Summenformel}

Die Gauß'sche Summenformel bezeichnet die Summe der $n$ ersten natürlichen Zahlen, also:

$1+2+3+...+n=\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$


\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
	\underline{Begründung:}

	\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c| c}
		& $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $...$ & $n$ \\
		\hline
		& $n$ & $n-1$ & $n-2$ & $n-3$ & $...$ & $1$ \\
		 \hline
		$\sum$ & $n+1$ & $n+1$ & $n+1$ & $n+1$ & $...$ & $n+1$ \\
	\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
	So sieht man also, dass wenn man die vorher bestimmte Reihe mit sich selbst addiert (ein Mal davon "falschrum"), man $n$ Mal $n+1$ bekommt. Um dann den Wert einer einzelnen Reihe zu bekommen teilt man durch zwei.
\end{minipage}

\begin{Bemerkung}
	 Gauß'sche Summenformel ist ein Spezialfall der arithmetischen Reihe, ihre Glieder werden \textbf{Dreieckszahlen} genannt.
\end{Bemerkung}

\begin{Beweis}
	Um zu beweisen, dass für alle $n\in\N$
	$$\sum\limits_{k=1}^{n}f(k)=g(n)$$
	gilt, reicht es aus,
	$$g(n)-g(n-1)=f(n)$$
	für alle positiven $n$ und
	$$g(0)=0$$
	zu zeigen. In der Tat trifft dies hier zu:
	$$g(n)-g(n-1)=\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n(n+1-n+1)}{2}=\dfrac{n\cdot 2}{2}=n=f(n)$$
	für alle $n$ und $g(0)=\dfrac{0\cdot 1}{2}=0$

	\underline{Quelle:} Wikipedia (Gaußsche Summenformel)
\end{Beweis}

\begin{Bemerkung}
	Auch ein Beweis durch vollständige Induktion ist möglich, dieser wäre sogar empfehlenswert, da er einfacher durchzuführen ist (Siehe Kapitel 10)
\end{Bemerkung}


\subsection{Allgemein}

\begin{Definition}
	Wenn $s_{n}$ die Summe der ersten $n$ Folgeglieder einer arithmetische Folge ist, heißt sie arithmetische Reihe.

	Sei eine arithmetische Folge $a$ mit Startglied $a_{x}$ und $s$, die entsprechende Reihe, dann gilt
	$$s_{n}=\dfrac{n\cdot(a_{x}+a_{x+n-1})}{2}$$
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}
	\begin{enumerate}
		\item Am häufigsten wird verwendet:
			\begin{itemize}
				\item Mit Startglied $a_{0}$ : $s_{n}=\dfrac{n\cdot(a_{0}+a_{n-1})}{2}$
				\item Mit Startglied $a_{1}$ : $s_{n}=\dfrac{n\cdot(a_{1}+a_{n})}{2}$
			\end{itemize}
		\item Alternativ kann auch folgende Darstellung verwendet werden:\\
		$s_{n}=\dfrac{n\cdot(2a_{x}+(n-1)\cdot d)}{2}$
	\end{enumerate}
\end{Bemerkung}

\begin{Beweis}
	Sei eine arithmetische Folge $a$, mit Startglied $a_{x}$ und Differenz $d$, und $s$, die entsprechende Reihe, dann gilt\\
	\begin{align*}
		s_n&=a_x+a_{x+1}+a_{x+2}+...a_{x+n-1}\\
		&=a_x+(a_x+d)+(a_{x}+2d)+...+(a_{x}+(n-1)\cdot d)\\
		&=n\cdot a_{x}+d+2d+...+(n-1)\cdot d\\
		&=n\cdot a_{x}+(1+2+...+(n-1))\cdot d\qquad	\text{(Gauß)}\\
		&=n\cdot a_{x}+\dfrac{(n-1)\cdot n}{2}\cdot d\\
		&=n\cdot \dfrac{2a_{x}+(n-1)\cdot d}{2}\\
		&=n\cdot \dfrac{a_{x}+\overbrace{a_{x}+(n-1)\cdot d}^{a_{x+n-1}}}{2}\\
		&=n\cdot \dfrac{a_{x}+a_{x+n-1}}{2}
	\end{align*}
\end{Beweis}


\section{Geometrische Reihen}

\begin{Definition}
	Wenn $s_{n}$ die Summe der ersten $n$ Folgeglieder einer geometrischen Folge ist, heißt sie geometrischen Reihe.\\
	Sei eine geometrische Folge $a$ mit Startglied $a_{x}$ und $s$, die entsprechende Reihe, dann gilt\\
	$s_{n}=\sum\limits_{i=x}^{n+x-1}a_{i}=a_{x}\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$
\end{Definition}

\begin{Bemerkung}
	Am häufigsten wird verwendet:
	\begin{itemize}
		\item Mit Startglied $a_{0}$ : $s_{n}=a_{0}\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$
		\item Mit Startglied $a_{1}$ : $s_{n}=a_{1}\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$
	\end{itemize}
\end{Bemerkung}

\begin{Beweis}
	\underline{Allgemein:}

	\begin{align*}
		(1-q)(1+q+q^2+q^3+...+q^n)&=(1\textcolor{red}{-q)+(q}\textcolor{orange}{-q^2)+(q^2}\textcolor{green}{-q^3)+(q^3}\textcolor{brown}{-q^4)+.}.\textcolor{blue}{.+(q^n}-q^{n+1})\\
		&=1+(\textcolor{red}{-q+q})+(\textcolor{orange}{-q^2+q^2})+(\textcolor{green}{-q^3+q^3})+...+(\textcolor{blue}{-q^n+q^n})-q^{n+1}\\
		&=1-q^{n+1}
	\end{align*}

	Man hat also $\sum\limits_{k=0}^nq^k=1+q+q^2+q^3+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

	Entsprechend ergibt sich $\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=\underbrace{1+q+q^2+q^3+...+q^{n-1}}_{n\quad Summanden}=\dfrac{1-q^n}{1-q}$
	
	Somit gilt für eine Reihe $s$, die die Partialsumme einer geometrischen Folge $a$, mit Quotient $q$ und Anfangsglied $a_{x}$, ist, folgendes:
	
	\begin{align*}
		s_{n}&=\sum\limits_{i=x}^{x+n-1}a_{i}\\
		&=a_{x}+a_{x+1}+a_{x+2}+...+a_{x+n-1}\\
		&=a_{x}+a_{x}\cdot q+a_{x}\cdot q^{2}+...+a_{x}\cdot q^{n-1}\\
		&=a_{x}\cdot(1+q+q^2+...+q^{n-1})\\
		&=a_{x}\cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k\\
		&=a_{x}\cdot \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
		\end{align*}
	\end{Beweis}
\end{document}