06-Kvantumgazok.lyx

#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 474
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\use_default_options true
\begin_modules
theorems-std
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language magyar
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_math auto
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 1
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\boxbgcolor #55aaff
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language polish
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Part
Ideális kvantumgázok
\end_layout

\begin_layout Section
Kvantumgázok nagykanonikus vizsgálata
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Az állapotsűrűség
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg az állapotok számát 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}(E)$
\end_inset

 egy adott 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

energia alatt egy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 dimenziós rendszerre ha a diszperziós reláció egy darab részecskére	
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varepsilon(\vec{k})=\alpha\left|\hbar\vec{k}\right|^{\nu}
\end{equation}

\end_inset

alakú.
 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Omega_{0}(E)=\sum_{\vec{k},\varepsilon(\vec{k})<E}1=g\frac{L^{d}}{\left(2\pi\right)^{d}}\int_{\varepsilon(\vec{k})<E}\mathrm{d}^{d}k
\end{equation}

\end_inset

Itt 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 az a szabadsági fokok esetleges degenerációjának felel meg.
 Például 
\begin_inset Formula $1/2$
\end_inset

 -es spin esetén 
\begin_inset Formula $g=2$
\end_inset

.
 A kiszámítandó integrál nem más mint egy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 dimenziós gömb térfogata melynek a sugara 
\begin_inset Formula $\frac{\left(E/\alpha\right)^{1/\nu}}{\hbar}$
\end_inset

 melyet a diszperziós relációból nyertünk!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Omega_{0}(E)=g\frac{L^{d}}{\left(2\pi\right)^{d}}\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(d/2+1\right)}\frac{\left(E/\alpha\right)^{d/\nu}}{\hbar^{d}}
\end{equation}

\end_inset

Az állapot sűrűség 
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho(E)=\partial_{E}\Omega_{0}(E)=g\frac{L^{d}}{h^{d}}\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(d/2+1\right)\alpha^{d/\nu}}\frac{d}{\nu}E^{\frac{d}{\nu}-1}=AE^{\frac{d}{\nu}-1}\label{eq:altalanos-idgaz-allapotsuruseg}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 ahol az 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-ba rejtetük bele a térfogatot.
 Határozzuk meg az általános diszperziós relációval rendelkező kvantumgázban
 a részecskék számát és az energia várható értékét! Vegyük először észre
 hogy a kvantumos eloszlás függvényeket felírhatjuk mértani sor alakjában:
 
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}\pm1}=\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\frac{1}{1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}}=\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\mathrm{e}^{-\beta l\left(E-\mu\right)}.\label{eq:q_eloszlas_mertani}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

A részecskék számának várható értékét úgy kapjuk, hogy az állapot sűrűséget
 szorozzuk az adott energián a betöltési számmal:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}\pm1}\mathrm{d}E=A\int_{0}^{\infty}E^{\frac{d}{\nu}-1}\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\mathrm{e}^{-\beta l\left(E-\mu\right)}\mathrm{d}E,\\
 & = & A\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\mathrm{e}^{\beta\mu(l+1)}\int_{0}^{\infty}E^{\frac{d}{\nu}-1}\mathrm{e}^{-\beta E(l+1)}\mathrm{d}E,\ u=\beta E(l+1),\ \mathrm{d}E=\frac{\mathrm{d}u}{\beta(l+1)},\label{eq:altalanos-id-qgaz-reszcskeszam}\\
 & = & A\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\mathrm{e}^{\beta\mu(l+1)}\left(\frac{1}{\beta(l+1)}\right)^{\frac{d}{\nu}}\underbrace{\int_{0}^{\infty}u^{\frac{d}{\nu}-1}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}E}_{\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)},\nonumber \\
 & = & A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}}}\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu l}}{\left(l+1\right)^{\frac{d}{\nu}}}\approx A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}}}\left(1\mp\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{d}{\nu}}}\dots\right).\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Az energiát úgy csoportosítottuk, számolás közben, hogy a szumma kiemelhető
 legyen.
 Az energia várható értékének kiszámítása a részecskék számának kiszámításával
 analóg módon történik.
 Vegyük észre hogy ha a fenti kifejezésben elvégezzük a 
\begin_inset Formula $\frac{d}{\nu}\rightarrow\frac{d}{\nu}+1$
\end_inset

helyettesítést akkor épp az energia várhatóértékét kapjuk:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left\langle E\right\rangle  & = & \int_{0}^{\infty}E\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}\pm1}\mathrm{d}E\label{eq:atalanos-id-qgaz-energia}\\
 & = & A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}+1\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}+1}}\sum_{l=0}\left(\mp1\right)^{l}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu l}}{\left(l+1\right)^{\frac{d}{\nu}+1}}\approx A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}+1\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}+1}}\left(1\mp\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{d}{\nu}+1}}\pm\dots\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Az egy részecskére jutó energia tehát
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{\left\langle E\right\rangle }{N} & = & \frac{\frac{A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}+1\right)\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}+1}}\left(1\mp\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{d}{\nu}+1}}\pm\dots\right)}{\frac{A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}}}\left(1\mp\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{d}{\nu}}}\pm\dots\right)},\\
 & \approx & \frac{d}{\nu}k_{\mathrm{B}}T\left(1\pm\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{d}{\nu}+1}}\dots\right).
\end{eqnarray}

\end_inset

azaz a nem relativisztikus és az ultrarelativisztikus gázok esetén a következő
 kvantum korrekciókat kapjuk (konvenció: a 
\begin_inset Formula $\pm$
\end_inset

-ból mindig a felső vonatkozik a bozonra, az alsó pedig a fermionra.
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\mbox{\mbox{nem relativisztikus}:}d & = & 3,\ \nu=2\rightarrow\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T\left(1\pm\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{\frac{5}{2}}}\dots\right)\\
\mbox{\mbox{ultrarelativisztikus}:}d & = & 3,\ \nu=1\rightarrow\left\langle E\right\rangle =3k_{\mathrm{B}}T\left(1\pm\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{4}}\dots\right)
\end{eqnarray}

\end_inset

Határozzuk meg most a fenn tárgyalt általánosított ideális kvantumgáz nagykanoni
kus állapotösszegét és a nagykanonikus potenciált!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathcal{Z}=\sum_{\{n_{i}\}}\mathrm{e}^{-\sum_{i}\beta\left(\varepsilon_{i}-\mu\right)n_{i}}=\prod_{i}\sum_{n_{i}=0}\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon_{i}-\mu\right)n_{i}}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\mbox{fermion (a szumma itt nem 0-tól végtelenig megy):}\,\mathcal{Z} & = & \prod_{i}\left(1+\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon_{i}-\mu\right)}\right)\\
\mbox{bozon:}\,\mathcal{Z} & = & \prod_{i}\left(1-\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon_{i}-\mu\right)}\right)^{-1}
\end{eqnarray}

\end_inset

a nagykanonikus potenciál tehát:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\Phi=-pV=-k_{\mathrm{B}}T\ln\mathcal{Z}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Phi & = & \mp k_{\mathrm{B}}T\sum_{i}\ln\left[1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon_{i}-\mu\right)}\right]\\
 & = & \mp k_{\mathrm{B}}T\int_{0}^{\infty}\varrho(\varepsilon)\ln\left[1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}\right]\mathrm{d}\varepsilon
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 a korábban tárgyalt 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:altalanos-idgaz-allapotsuruseg"

\end_inset

 általános állapotsűrűséget felhasználva 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\Phi & = & \mp k_{\mathrm{B}}TA\int_{0}^{\infty}\varepsilon^{\frac{d}{\nu}-1}\ln\left(1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}\right)\mathrm{d}\varepsilon\\
 & = & \mp k_{\mathrm{B}}TA\left\{ \underbrace{\left[\frac{\varepsilon^{\frac{d}{\nu}}}{\frac{d}{\nu}}\ln\left(1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}\right)\right]_{0}^{\infty}}_{=0}\pm\beta\frac{\nu}{d}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon^{\frac{d}{\nu}}\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}}{1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}}\mathrm{d}\varepsilon\right\} \\
 & =- & \frac{\nu}{d}\int_{0}^{\infty}\frac{A\varepsilon^{\frac{d}{\nu}}\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}}{1\pm\mathrm{e}^{-\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}}\mathrm{d}\varepsilon
\end{eqnarray}

\end_inset

ahol a második lépésben a parciális integrálás 
\begin_inset Formula $\int u'v=uv-\int uv'$
\end_inset

 ismert szabályát alkalmaztuk.
 Összevetve ezt a kifejezést az energiának 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:atalanos-id-qgaz-energia"

\end_inset

-ban számolt átlagával kapjuk hogy 
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
pV=\frac{\nu}{d}\left\langle E\right\rangle .\label{eq:qgaz-pv_nu_per_d}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset

azaz 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\mbox{\mbox{nem relativisztikus}:}d & = & 3,\ \nu=2\rightarrow pV=\frac{2}{3}\left\langle E\right\rangle \\
\mbox{\mbox{ultrarelativisztikus}:}d & = & 3,\ \nu=1\rightarrow pV=\frac{1}{3}\left\langle E\right\rangle 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Ideális Fermi-gáz
\end_layout

\begin_layout Standard
Fermi-rendszereket jellemző betöltésszám eloszlás a Fermi-Dirac eloszlás:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle n\right\rangle =f(\varepsilon)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\left(\varepsilon-\mu\right)}+1}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Wrap figure
lines 0
placement o
overhang 0in
width "20col%"
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename Fig/fermi_eloszlas.png
	lyxscale 40
	width 20text%

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Fermi-Dirac eloszlás
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Zérus hőmérséklet
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg egy három dimenziós Fermi-gáz részecskéinek és energiájának
 átlagát ha a rendszer zérus hőmérsékleten van.
 Tegyük fel hogy a diszperziós reláció 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varepsilon(\vec{k})=\frac{\left|\hbar\vec{k}\right|^{2}}{2m},
\end{equation}

\end_inset

alakú tehát az állapotsűrűség 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho\left(E\right)=(2s+1)V2\pi\left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{3/2}\sqrt{E}=\alpha V\sqrt{E}.
\end{equation}

\end_inset

A részecskék számának várható értéke zérus hőmérsékleten tehát 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\underset{T\rightarrow0}{=}\int_{0}^{\mu}\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E,\\
 & = & \alpha V\int_{0}^{\mu}\sqrt{E}\mathrm{d}E=\alpha V\frac{2}{3}\mu^{3/2},\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

azaz a kémiai potenciál: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mu=\left(\frac{3}{2}\frac{N}{V}\frac{1}{\alpha}\right)^{2/3}.
\end{equation}

\end_inset

Hasonló meggondolásokból az energia várható értéke
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left\langle E\right\rangle  & = & \int_{0}^{\infty}\frac{E\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\underset{T\rightarrow0}{=}\int_{0}^{\mu}E\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E\\
 & = & \alpha V\int_{0}^{\mu}E^{3/2}\mathrm{d}E=\alpha V\frac{2}{5}\mu^{5/2}.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Felhasználva a fenti két összefüggést az energiára és a kémiai potenciálra
 és a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:qgaz-pv_nu_per_d"

\end_inset

 állapotegyenletet kapjuk hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
p=\frac{2}{3}\frac{\left\langle E\right\rangle }{V}=\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}\alpha\left(\frac{3}{2}\frac{N}{V}\frac{1}{\alpha}\right)^{5/3}.
\end{equation}

\end_inset

A Pauli-elv miatt van 0-hőmérsékleten nyomása a gáznak.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Véges hőmérséklet két dimenzióban
\end_layout

\begin_layout Standard
Véges hőmérsékleten általában nem tudjuk elvégezni azokat az integrálokat
 melyekben a Fermi-függvény szerepel.
 Ha viszont két dimenziós nem relativisztikus rendszert vizsgálunk akkor
 a részecskék számát zárt alakra tudjuk hozni!
\end_layout

\begin_layout Standard
Vegyük észre hogy két dimenzióban 
\begin_inset Formula $d=2$
\end_inset

 egy nem relativisztikus rendszer állapotsűrűsége nem függ az energiától!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho_{2D}\left(E\right)=2D.
\end{equation}

\end_inset

Ekkor a részecskék száma
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\\
 & = & 2D\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E,\ x=\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)},\ \mathrm{d}E=\frac{\mathrm{d}x}{\beta x}\nonumber \\
 & = & \frac{2D}{\beta}\int_{\mathrm{e}^{-\beta\mu}}^{\infty}\frac{1}{x}\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=\int_{\mathrm{e}^{-\beta\mu}}^{\infty}\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x\nonumber \\
 & = & \frac{2D}{\beta}\left[\ln\frac{x}{x+1}\right]_{\mathrm{e}^{-\beta\mu}}^{\infty}=\frac{2D}{\beta}\ln\left(1+\mathrm{e}^{\beta\mu}\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kapjuk tehát, hogy
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{e}^{\beta\mu}=\mathrm{e}^{\frac{\beta N}{2D}}-1,
\end{equation}

\end_inset

melyből a kémiai potenciál kifejezhető a hőmérséklet függvényében 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mu=\frac{\ln\left(\mathrm{e}^{\frac{\beta N}{2D}}-1\right)}{\beta}.
\end{equation}

\end_inset

Az energia várhatóértékét már nem tudjuk zárt alakra hozni.
 A felmerülő integrál
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
F_{j}(x)=\frac{1}{\Gamma\left(j+1\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{j}}{\mathrm{e}^{t-x}+1}\mathrm{d}t
\end{equation}

\end_inset

alakú melyet 
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Fermi-Dirac integrálnak"
target "https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_Fermi%E2%80%93Dirac_integral"

\end_inset

 hívnak.
\end_layout

\begin_layout Standard
Láttuk hogy a kvantumos eloszlásfüggvényeket értelmezhetjük mértani összegként
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:q_eloszlas_mertani"

\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}=\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\sum_{l=0}\left(-1\right)^{l}\mathrm{e}^{-\beta l\left(E-\mu\right)}.
\end{equation}

\end_inset

Határozzuk meg az fenn vizsgált kétdimenziós rendszer részecskeszámát és
 energia várható értékét magas hőmérsékleten, azaz amikor a mértani sor
 helyett csak az első két tagot vesszük figyelembe!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=2D\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\approx2D\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\left[1-\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}+\dots\right]\mathrm{d}E=\frac{2D}{\beta}\mathrm{e}^{\beta\mu}\left[1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2}+\dots\right]
\end{equation}

\end_inset

Ebből megtartva az első két tagot (
\begin_inset Formula $l=0,1$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{N\beta}{2D}\left(1+\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2}+\dots\right)=\mathrm{e}^{\beta\mu}
\end{equation}

\end_inset

Az energia hasonlóan
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle E\right\rangle \approx2D\int_{0}^{\infty}E\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}\left[1-\mathrm{e}^{-\beta\left(E-\mu\right)}+\dots\right]\mathrm{d}E=\frac{2D}{\beta^{2}}\mathrm{e}^{\beta\mu}\left[1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{4}+\dots\right]
\end{equation}

\end_inset

Vezető rendben vissza írva 
\begin_inset Formula $\mathrm{e}^{\beta\mu}\approx\frac{N\beta}{2D}$
\end_inset

-t: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle E\right\rangle \approx\frac{N}{\beta}\left[1-\frac{N\beta}{8D}+\dots\right]
\end{equation}

\end_inset

Vegyük észre hogy mivel 
\begin_inset Formula $D\propto V$
\end_inset

 (azaz extenzív mennyiség) a zárójelben megjelenő tag intenzív!
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Kvantumkorrekciók magas hőmérsékleten a három dimenziós ultrarelativisztikus
 Ferm-igázban
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
E(\vec{k})=c\left|\hbar\vec{k}\right|,\ d=3,\nu=1\label{eq:ultrarel-idgaz-disprel}
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho(E)=g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}E^{2}=AE^{2}\label{eq:ultrarel-idgaz-allapotsuruseg}
\end{equation}

\end_inset

A részecskék 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 száma és az energia 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 várható értéke az 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:altalanos-id-qgaz-reszcskeszam"

\end_inset

 és 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:atalanos-id-qgaz-energia"

\end_inset

 alapján 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=\int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\approx A\Gamma\left(3\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{3}}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{3}}+\dots\right)=g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}2}{\beta^{3}}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{8}+\dots\right),\label{eq:ultrarel-id-qgaz-N}
\end{equation}

\end_inset

illetve 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle E\right\rangle =\int_{0}^{\infty}\frac{E\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}+1}\mathrm{d}E\approx g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}6}{\beta^{4}}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{4}}+\dots\right).\label{eq:ultrarel-id-qgaz-E}
\end{equation}

\end_inset

Az egy részecskére jutó átlagos energia (kihasználva, hogy 
\begin_inset Formula $\frac{1-x}{1-\frac{x}{2}}\approx1+\frac{x}{2}$
\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{\left\langle E\right\rangle }{N}=\frac{\frac{3}{\beta}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{4}}+\dots\right)}{\left(1-\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{8}+\dots\right)}\approx\frac{3}{\beta}\left(1+\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{2^{4}}\dots\right)\label{eq:ultrarel-id-qgaz-EpN}
\end{equation}

\end_inset

Vezető rendben 
\begin_inset Formula $\mathrm{e}{}^{\beta\mu}$
\end_inset

-t kifejezve 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-N"

\end_inset

-ből kapjuk hogy
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{e}^{\beta\mu}\approx\frac{N}{V}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{g8\pi},\label{eq:ultrarel-id-qgaz-expbetamu}
\end{equation}

\end_inset

Vissza helyettesítve 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-EpN"

\end_inset

-be 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{\left\langle E\right\rangle }{N}\approx\frac{3}{\beta}\left(1+\frac{N}{V}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right).\label{eq:ultrarel-id-qgaz-EpN-munelkul}
\end{equation}

\end_inset

Érdemes a klasszikus esetből kapott eredménnyel összehasonlítani: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle E\right\rangle =3Nk_{\mathrm{B}}T.
\end{equation}

\end_inset

A 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:qgaz-pv_nu_per_d"

\end_inset

 kifejezés szerint az ideális kvantumgáz energiája kifejezhető a nyomás
 és a térfogat szorzatával 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
pV=\frac{1}{3}\left\langle E\right\rangle .
\end{equation}

\end_inset

Kapjuk tehát hogy az ultrarelativisztikus ideális gáz állapotegyenlete magas
 hőmérsékleten: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
pV=Nk_{\mathrm{B}}T\left(1+\frac{N}{V}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right)\label{ultrarel-idqgaz-allapotegyenlet}
\end{equation}

\end_inset

Határozzuk most meg az entrópia kvantumos korrekcióit magas hőmérsékleten!
 Célszerű a Gibbs-Duhem-relációt segítségül hívni
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
E=TS-pV+\mu N
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
S=\frac{N}{T}\left(\frac{4}{3}\frac{E}{N}-\mu\right)\label{eq:ultrarel-id-q-gaz-Gibbs-Duuhem-S}
\end{equation}

\end_inset

Szükségünk lesz tehát a kémiai potenciál magas hőmérsékletű közelítésére
 is! Induljunk ki 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-N"

\end_inset

-ból! Kihasználva hogy 
\begin_inset Formula $\mathrm{e}^{\beta\mu}$
\end_inset

 kicsi kapjuk hogy (átrendezve 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 várható értékének a sorát, majd visszaírva önmagába): 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{e}^{\beta\mu}\approx N\frac{\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\left(1+\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{8}+\dots\right)
\end{equation}

\end_inset

a jobboldalon 
\begin_inset Formula $\mathrm{e}^{\beta\mu}$
\end_inset

-t a vezetőrendjével helyettesítve 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-expbetamu"

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\mathrm{e}^{\beta\mu} & \approx & N\frac{\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\left(1+\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g64\pi V}+\dots\right)\\
\mu & \approx & \frac{1}{\beta}\ln\left(\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\right)+\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{2}}{g64\pi V}
\end{eqnarray}

\end_inset

(kihasználtuk az 
\begin_inset Formula $\ln(x)\approx1+x$
\end_inset

 közelítést), visszahelyettesítve 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-EpN"

\end_inset

-t és a fenti kifejezést 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-q-gaz-Gibbs-Duuhem-S"

\end_inset

-be kapjuk hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
S & = & \frac{N}{T}\left(\frac{4}{\beta}\left(1+\frac{N}{V}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\right)-\frac{1}{\beta}\ln\left(\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\right)-\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{2}}{g64\pi V}\right)\nonumber \\
S & = & \frac{N}{T}\left(\frac{4}{\beta}-\frac{1}{\beta}\ln\left(\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\right)+\left(4\frac{N}{V}\frac{\left(hc\right)^{3}\beta^{2}}{128g\pi}\right)-\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{2}}{g64\pi V}\right)\nonumber \\
S & = & \frac{N}{T}\left(\frac{4}{\beta}-\frac{1}{\beta}\ln\left(\frac{N\left(hc\right)^{3}\beta^{3}}{g8\pi V}\right)+\left(\frac{N}{V}\frac{\left(hc\right)^{3}\beta^{2}}{64g\pi}\right)\right)\nonumber \\
S & = & Nk_{\mathrm{B}}\left(4-\ln\left(\frac{1}{8\pi}\frac{N}{gV}\left(\frac{hc}{k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3}\right)+\frac{1}{64\pi}\frac{N}{gV}\left(\frac{hc}{k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3}\right)
\end{eqnarray}

\end_inset

A fenti kifejezés első két tagja megegyezik a klasszikus ultrarelativisztikus
 ideális gáz entrópiájával.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzunk meg végül két mérhető mennyiség, az állandó térfogaton 
\begin_inset Formula $C_{V}$
\end_inset

 mért fajhő illetve a 
\begin_inset Formula $\kappa_{T}$
\end_inset

 izoterm kompresszibilitás magashőmérsékletű viselkedését is! Kezdjük 
\begin_inset Formula $C_{V}$
\end_inset

-vel! Kiindulva 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-id-qgaz-EpN-munelkul"

\end_inset

-ből kapjuk hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
C_{V} & = & \left.\partial_{T}E\right|_{V}=\\
 & =\partial_{T} & 3N\left(k_{\mathrm{B}}T\right)\left(1+\frac{N}{V}\frac{\left(hc\right)^{3}}{128g\pi\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{3}}\dots\right)\nonumber \\
 & = & 3k_{\mathrm{B}}N\left(1-\frac{N}{V}\frac{1}{64g\pi}\left(\frac{hc}{k_{\mathrm{B}}T}\right)^{3}\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

A kompresszibilitás 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\kappa_{T}=-\frac{1}{V}\left.\partial_{p}V\right|_{T,N}
\end{equation}

\end_inset

meghatározásához induljunk ki az 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "ultrarel-idqgaz-allapotegyenlet"

\end_inset

 állapot egyenletből.
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
V & = & \frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{p}\left(1+\frac{N}{V}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right)\\
 & \approx & \frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{p}\left(1+\frac{p}{k_{\mathrm{B}}T}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right)\\
 & = & \frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{p}+N\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}
\end{eqnarray}

\end_inset

ahol 
\begin_inset Formula $\frac{N}{V}$
\end_inset

-t ismét az első rendbeli értékével közelítettük a második tagban.
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{V}\partial_{p}V & = & -\frac{1}{V}\left(-\frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{p^{2}}\right)\\
 & = & \frac{p}{Nk_{\mathrm{B}}T}\left(1-\frac{p}{k_{\mathrm{B}}T}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right)\frac{Nk_{\mathrm{B}}T}{p^{2}}\\
\kappa_{T} & = & \frac{1}{p}\left(1-\frac{p}{k_{\mathrm{B}}T}\frac{\left(\beta hc\right)^{3}}{128g\pi}\dots\right)
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Határozzuk meg az állandó nyomáson vett fajhő magashőmérsékletű kvantum
 korrekcióit ultrarelativisztikus Fermi-gáz esetében.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\ $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Határozzuk meg az ultrarelativsztikus Bose-gáz magas hőmérsékletű korrekcióit!
 Vizsgáljuk meg a Fermi-gáz tárgyalásánál kiszámolt mennyiségeket! 
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Alacsony hőmérsékletű ultrarelativisztikus Fermi-gáz
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Bethe-Sommerfeld sorfejtés:
\series default

\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty}\varphi(E)f(E)\mathrm{d}E\approx\int_{0}^{\mu}\varphi(E)\mathrm{d}E+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}\varphi'(\mu)+\dots
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho(E)=g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}E^{2}=AE^{2}
\end{equation}

\end_inset

Határozzuk meg először az energia és a részecskeszám értékét zérus hőmérsékleten
!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=\int_{0}^{\mu}\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E=g\frac{4\pi V}{3\left(hc\right)^{3}}\mu^{3}
\end{equation}

\end_inset

A kémiai potenciál tehát zérus hőmérsékleten lépcsős függvény:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mu_{0}=\left(\frac{N3}{g4\pi V}\right)^{1/3}\left(hc\right).
\end{equation}

\end_inset

Az energia 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left\langle E\right\rangle  & = & \int_{0}^{\mu}E\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E=g\frac{\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\mu^{4}\\
 & = & g\pi Vhc\left(\frac{N3}{g4\pi V}\right)^{4/3}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Határozzuk most meg az alacsony hőmérsékletű viselkedést!
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \int_{0}^{\mu}\varrho\left(E\right)f(E)\mathrm{d}E=\int_{0}^{\mu}\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}\varrho'\left(\mu\right)+\dots\\
 & = & g\frac{4\pi V}{3\left(hc\right)^{3}}\mu^{3}+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}g\frac{2\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\mu\nonumber \\
 & = & g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\left(\frac{\mu^{3}}{3}+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}2\mu\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

ebből 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{N\left(hc\right)^{3}h}{g4\pi V} & = & \mu^{3}+\pi^{2}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}\mu\\
\mu_{0}^{3} & = & \mu^{3}+\pi^{2}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}\mu\\
 & \approx & \mu^{3}\left(1+\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}\right)
\end{eqnarray}

\end_inset

A kémiai potenciál első véges hőmérsékletű korrekciója tehát ( a hárommal
 való osztás a köbgyök közelítéséből jön): 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mu\approx\mu_{0}\left(1-\frac{\pi^{2}}{3}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}\right).\label{eq:ultrarel-id-qgaz-BS-kempot}
\end{equation}

\end_inset

Az energia várható értéke
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left\langle E\right\rangle  & = & \int_{0}^{\mu}E\varrho\left(E\right)f(E)\mathrm{d}E=\int_{0}^{\mu}E\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}\left(E\varrho\right)'\left(\mu\right)\\
 & = & g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\left(\frac{\mu^{4}}{4}+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}3\mu^{2}+\dots\right)
\end{eqnarray}

\end_inset

Egy részecskére jutó energia
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{\left\langle E\right\rangle }{N} & = & \frac{\left(\frac{\mu^{4}}{4}+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}3\mu^{2}+\dots\right)}{\left(\frac{\mu^{3}}{3}+\frac{\pi^{2}}{6}\left(k_{\mathrm{B}}T\right)^{2}2\mu+\dots\right)}\\
 & = & \frac{\frac{\mu^{4}}{4}\left(1+2\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu}\right)^{2}+\dots\right)}{\frac{\mu^{3}}{3}\left(1+\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu}\right)^{2}+\dots\right)}\nonumber \\
 & \approx & \frac{3}{4}\mu\left(1+\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}+\dots\right)\nonumber \\
 & \approx & \frac{3}{4}\mu_{0}\left(1-\frac{\pi^{2}}{3}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}\right)\left(1+\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}+\dots\right)\nonumber \\
\frac{\left\langle E\right\rangle }{N} & \approx & \frac{3}{4}\mu_{0}\left(1+\frac{2}{3}\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}\right)
\end{eqnarray}

\end_inset

Ennek ismeretében és felhasználva az 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:qgaz-pv_nu_per_d"

\end_inset

 összefüggést, az állapot egyenletre vonatkozó alacsony hőmérsékletű korrekciók
 meghatározhatóak:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
pV=\frac{1}{3}\left\langle E\right\rangle =\frac{1}{4}\mu_{0}N\left(1+\frac{2}{3}\pi^{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right)^{2}\right)
\end{equation}

\end_inset

A fajhő pedig 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
C_{V}=\partial_{T}\left\langle E\right\rangle =\pi^{2}k_{\mathrm{B}}N\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\mu_{0}}\right).
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Milyen hőmérsékleten tűnik el a kémiai potenciál?
\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg azt a kritikus hőmérsékletet ahol egy ideális nem reativisztikus
 Fermi-gáz kémiai potenciálja eltűnik!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho(E)=\alpha V\sqrt{E}.
\end{equation}

\end_inset

Keressük tehát azt a 
\begin_inset Formula $T_{1}$
\end_inset

 hőmérsékletet ahol 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=\int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)}{\mathrm{e}^{\beta_{1}E}+1}\mathrm{d}E=\int_{0}^{\infty}\frac{\alpha V\sqrt{E}}{\mathrm{e}^{\beta_{1}E}+1}\mathrm{d}E.
\end{equation}

\end_inset

Legyen 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\beta_{1}E & = & x^{2},\ \sqrt{E\beta_{1}}=x,\\
\beta_{1}\mathrm{d}E & = & 2x\mathrm{d}x,
\end{eqnarray}

\end_inset

ekkor
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \frac{\alpha V}{\sqrt{\beta_{1}}}\int_{0}^{\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x^{2}}+1}\frac{2x\mathrm{d}x}{\beta_{1}},\\
 & = & 2\alpha V\left(k_{\mathrm{B}}T_{1}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x^{2}}+1}\mathrm{d}x.\label{eq:fermion-zerus-mu-N}
\end{eqnarray}

\end_inset

Természetesen zérus hőmérsékleten a kémiai potenciál véges és ekkor 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=\int_{0}^{\mu}\alpha V\sqrt{E}\mathrm{d}E=\frac{\alpha2V}{3}\mu^{3/2}=\frac{\alpha2V}{3}\left(k_{\mathrm{B}}T_{F}\right)^{3/2}.\label{eq:fermion-zerus-T-N}
\end{equation}

\end_inset

A 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:fermion-zerus-mu-N"

\end_inset

 és 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:fermion-zerus-T-N"

\end_inset

 kifejezések hányadosából kapjuk tehát hogy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
1 & = & \frac{2\alpha V\left(k_{\mathrm{B}}T_{1}\right)^{3/2}}{\frac{\alpha2V}{3}\left(k_{\mathrm{B}}T_{F}\right)^{3/2}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x^{2}}+1}\mathrm{d}x,\\
1 & = & \frac{1}{3}\left(\frac{T_{1}}{T_{F}}\right)\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x^{2}}+1}\mathrm{d}x}_{\approx0.339}\rightarrow\left(\frac{T_{F}}{T_{1}}\right)\approx1.01139.
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Ideális Bose-gáz
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Foton gáz részecskeszáma
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Wrap figure
lines 0
placement o
overhang 0in
width "30col%"
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename Fig/zeta.png
	lyxscale 40
	width 30text%

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Riemann-féle 
\begin_inset Formula $\zeta-$
\end_inset

függvény
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Határozzuk meg egy 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 hőmérsékletű üregben lévő fotonok 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 számát! A foton gázra tekinthetünk úgy mint egy utrarelativisztikus kvantum
 gázra melyet 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 kémiai potenciállal rendelkező Bose-Einstein-statisztikát követő részecskék
 alkotnak, melynek a polarizációból származó degenerációfoka 
\begin_inset Formula $g=2$
\end_inset

 ! A diszperziós reláció tehát ismét 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-idgaz-disprel"

\end_inset

 míg az állapotsűrűséget újfent 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ultrarel-idgaz-allapotsuruseg"

\end_inset

 adja: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
E(\vec{k})=c\left|h\vec{k}\right|,
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\varrho(E)=g\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}E^{2}=AE^{2}.
\end{equation}

\end_inset

Az általános ideális Bose-gáz részecskeszám várhatóértéke 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:altalanos-id-qgaz-reszcskeszam"

\end_inset

 szerint 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle N\right\rangle =A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}}}\sum_{l=0}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu l}}{\left(l+1\right)^{\frac{d}{\nu}}}\label{eq:altalanos-bose-gaz-reszecskeszam}
\end{equation}

\end_inset

A mi esetünkben 
\begin_inset Formula $d=3,\ \nu=1$
\end_inset

 és 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 tehát a részecskeszám várhatóérték az 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle N\right\rangle =A\frac{\Gamma\left(3\right)}{\beta^{3}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^{3}}
\end{equation}

\end_inset

alakot ölti.
 Az összegben felismerhetjük a Riemann-féle 
\begin_inset Formula $\zeta(z)$
\end_inset

-függvényt.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Wrap table
lines 0
placement r
overhang 0in
width "20col%"
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="9" columns="2">
<features rotate="0" tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $z$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\zeta(z)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $-\frac{1}{12}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $-\frac{1}{2}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{6}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1.202$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $4$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{4}}{90}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3/2$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2.612$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $5/2$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1.314$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Riemann-féle 
\begin_inset Formula $\zeta$
\end_inset

-függvény néhány értéke
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 1
use_makebox 0
width "70col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Riemann-Zeta-függvény"
target "https://hu.wikipedia.org/wiki/Riemann-f%C3%A9le_z%C3%A9ta-f%C3%BCggv%C3%A9ny"

\end_inset


\series default

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\zeta\left(z\right) & = & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{z}}\\
 & = & \frac{1}{\Gamma\left(z\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{z-1}}{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d}x
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A 
\begin_inset Formula $\zeta$
\end_inset

-függvény segítségével a részecskeszám várható értéke tehát:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left\langle N\right\rangle  & = & 2\frac{4\pi V}{\left(hc\right)^{3}}\frac{\Gamma\left(3\right)\zeta\left(3\right)}{\beta^{3}}=\frac{16\pi V}{\left(hc\beta\right)^{3}}\zeta\left(3\right)\\
 & = & V\frac{2\zeta\left(3\right)}{\pi^{2}}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\hbar c}\right)^{3}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
A kémiai potenciál viselkedése a kritikus hőmérséklet közelében
\end_layout

\begin_layout Standard
Tudjuk hogy a kondenzációs hőmérséklet alatt a 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 kémiai potenciál értéke zérus.
 Vizsgáljuk meg hogy miként viselkedik a kémiai potenciál a kritikus hőmérséklet
 felett de ahhoz közeli hőmérsékleten! A vizsgálódás során szükségünk lesz
 a Bose-Einstein integrálok néhány tulajdonságára.
 Foglaljuk az alábbiakban össze ezeket.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Box Shaded
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 0
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width ""
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Bose-Einstein- és Fermi-Dirac-integrálok:
\series default

\begin_inset Formula 
\begin{equation}
F^{\pm}\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x+\alpha}\pm1}\begin{cases}
+: & \mbox{Fermi-Dirac}\\
-: & \mbox{Bose-Einstein},\ \mbox{Re}(s)>1,\alpha>0
\end{cases}
\end{equation}

\end_inset

Deriváltak 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-szerint:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{\partial^{n}F^{\pm}\left(s,\alpha\right)}{\partial\alpha^{n}}=\left(-1\right)^{n}F^{\pm}\left(s-n,\alpha\right)
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset CommandInset href
LatexCommand href
name "Bose-Einstein-integrálok közelítése"
target "http://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.83.678"

\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
F^{-}\left(s,\alpha\right)\approx\zeta\left(s\right)+\Gamma\left(1-s\right)\alpha^{s-1}\dots,\mbox{ha \ensuremath{s} nem pozotív egész és \alpha\ll}1
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljuk meg most a három dimenziós nem relativisztikus Bose-gáz kémiai
 potenciáljának viselkedését a kritikus hőmérséklet közelében.
 A Bose-gáz részecske száma általános esetben az alábbiak szerint fejezhető
 ki a fenn definiált Bose-Einstein integrálokkal
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
N & = & \int_{0}^{\infty}\frac{\varrho\left(E\right)\mathrm{d}E}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}-1}=A\int_{0}^{\infty}\frac{E^{\frac{d}{\nu}-1}\mathrm{d}E}{\mathrm{e}^{\beta\left(E-\mu\right)}-1},\ E=\frac{x}{\beta},\ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\beta},\ \alpha=-\beta\mu\\
 & = & A\int_{0}^{\infty}\frac{\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\frac{d}{\nu}-1}\frac{\mathrm{d}x}{\beta}}{\mathrm{e}^{x+\alpha}-1}=\frac{A}{\beta^{d/\nu}}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\frac{d}{\nu}-1}\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x+\alpha}-1}\nonumber \\
 & = & \frac{A}{\beta^{d/\nu}}\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)F^{-}\left(\frac{d}{\nu},\alpha\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Esetünkben 
\begin_inset Formula $d=3,\nu=2$
\end_inset

.
 Vegyük a részecskeszám kifejezések hányadosát 
\begin_inset Formula $T_{c}$
\end_inset

-n és kicsivel 
\begin_inset Formula $T_{c}$
\end_inset

 felett! Bevezetve a 
\begin_inset Formula $\beta_{c}=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T_{c}}$
\end_inset

 jelölést 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
1 & = & \frac{\frac{A}{\beta^{\frac{3}{2}}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)F^{-}\left(\frac{3}{2},\alpha\right)}{\frac{A}{\beta_{c}^{\frac{3}{2}}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)F^{-}\left(\frac{3}{2},0\right)}\\
\left(\frac{T_{c}}{T}\right)^{\frac{3}{2}} & = & \frac{F^{-}\left(\frac{3}{2},\alpha\right)}{F^{-}\left(\frac{3}{2},0\right)}\approx\frac{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)+\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\alpha_{c}^{\frac{1}{2}}}{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}\\
\left(\frac{T_{c}}{T}\right) & = & \left(1-\frac{2\sqrt{\pi}}{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}\alpha_{c}^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\approx1-\frac{4}{3}\frac{\sqrt{\pi}}{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}\alpha_{c}^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}

\end_inset

Ahol kihasználtuk hogy
\begin_inset Formula $\Gamma(-1/2)=-2\sqrt{\pi}$
\end_inset

 és bevezettük 
\begin_inset Formula $\alpha_{c}=-\beta_{c}\mu$
\end_inset

-t.
 Kifejezve a fenti kifejezésből 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

-t kapjuk hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mu=-k_{\mathrm{B}}T_{c}\left[\frac{3\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}{4\sqrt{\pi}}\left(1-\frac{T_{c}}{T}\right)\right]^{2}\approx-k_{\mathrm{B}}T_{c}\left[\frac{3\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}{4\sqrt{\pi}}\right]^{2}\left(\frac{T}{T_{c}}-1\right)^{2}
\end{equation}

\end_inset

ahol felhasználtuk az 
\begin_inset Formula $1-1/x\approx x-1$
\end_inset

 közelítést mely 
\begin_inset Formula $x\approx1$
\end_inset

 esetén igaz.
 Kapjuk tehát hogy a kémiai potenciál 
\begin_inset Formula $T_{c}$
\end_inset

 felett kvadratikusan csökken!
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Alacsony dimenziós Bose-gáz nem kondenzál
\end_layout

\begin_layout Standard
A három dimenziós nem relativisztikus Bose-gáz esetén a részecskeszám zérus
 kémiai potenciál esetén egy véges értékhez tart.
 Az ebből adódó koncepcionális paradoxon magyarázata hogy egy kritikus hőmérsékl
et alatt a részecskék jelentős hányada a zérus impulzusú állapotba kondenzál.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljuk meg az 
\begin_inset Formula $N(\mu)$
\end_inset

 kifejezés viselkedését általánosabb esetben! Korábban 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:altalanos-bose-gaz-reszecskeszam"

\end_inset

 láttuk hogy általános Bose-gáz esetén a részecskeszám 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
N=A\Gamma\left(\frac{d}{\nu}\right)\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu}}{\beta^{\frac{d}{\nu}}}\sum_{l=0}\frac{\mathrm{e}^{\beta\mu l}}{\left(l+1\right)^{\frac{d}{\nu}}}
\end{equation}

\end_inset

alakot ölti.
 A kondenzációhoz szükséges általános feltétel tehát hogy az összeg véges
 legyen zérus kémiai potenciál esetére! Ez a feltétel nyilván valóan teljesül
 ha 
\begin_inset Formula $\frac{d}{\nu}>1$
\end_inset

! Egy illetve két dimenziós nem relativisztikus gáz esetén 
\begin_inset Formula $\frac{d}{\nu}=1$
\end_inset

 illetve 
\begin_inset Formula $\frac{d}{\nu}=\frac{1}{2}$
\end_inset

! Azaz ezekben az esetekben az összeg 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 -ra minden határon túl nő! Azaz alacsony dimenziós nem relativisztikus
 rendszerekben nincs Bose-kondenzáció.
 
\end_layout

\end_body
\end_document