07-Kolcsonhato_rendszerek.lyx

#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 474
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\use_default_options true
\begin_modules
theorems-std
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language magyar
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_math auto
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language polish
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Part
Kölcsönható rendszerek
\end_layout

\begin_layout Section
Egy dimenziós Ising-model
\end_layout

\begin_layout Standard
Vizsgáljunk két állapotú klasszikus spinek 
\begin_inset Formula $S_{i}=\pm1$
\end_inset

 egy dimenziós rendszerét.
 Legyen a rendszer véges és rendelkezzen szabad peremfeltétellel.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
H=-J\sum_{\left\langle ij\right\rangle }S_{i}S_{j}
\end{equation}

\end_inset

A kanonikus állapotösszeg 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Z=\sum_{\left\{ S_{i}\right\} }\mathrm{e^{\kappa S_{1}S_{2}}\dots e^{\kappa S_{N-1}S_{N}}},\ \kappa=\beta J
\end{equation}

\end_inset

Vegyük észre hogy ha az egyik végen lévő spin-re elvégezzük az összeget
 akkor az a mellette lévő spin értékétől függetlenül ugyan azt a járulékot
 fogja adni! 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sum_{S_{N}=\pm1}e^{\kappa S_{N-1}S_{N}}=2\cosh\kappa.
\end{equation}

\end_inset

Kapjuk tehát hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Z_{N}=2\cosh\kappa Z_{N-1}.
\end{equation}

\end_inset

Figyelembe véve hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Z_{1}=2,
\end{equation}

\end_inset

a teljes rendszer állapotösszege 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Z_{N}=2\left(2\cosh\kappa\right)^{N-1}.
\end{equation}

\end_inset

Határozzuk meg a rendszer korrelációs függvényét! Azaz az 
\begin_inset Formula $\left\langle S_{i}S_{j}\right\rangle $
\end_inset

 várhatóértéket! Ehhez először tegyük fel hogy a 
\begin_inset Formula $\kappa$
\end_inset

 csatolás nem homogén hanem minden párra külön külön értékeket vehet fel!
 Ekkor
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Z=2^{N}\prod_{p=1}^{N}\cosh\kappa_{p}.\label{eq:ising-chain-Z}
\end{equation}

\end_inset

Az állapotösszeg definíciójából nyilvánvaló hogy 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{1}{Z}\frac{\partial^{n}Z}{\partial\kappa_{i}\partial\kappa_{i+1}\dots\partial\kappa_{i+n-1}}=\left\langle S_{i}\overbrace{S_{i+1}S_{i+1}}^{1}\underbrace{S_{i+2}S_{i+2}}_{1}S_{i+3}\dots S_{i+n-1}S_{i+n}\right\rangle =\left\langle S_{i}S_{i+n}\right\rangle 
\end{equation}

\end_inset

Vegyük észre hogy tetszőleges két spin korrelációs függvénye tehát kifejezhető
 a fenti derivált segítségével! A deriváltat viszont közvetlenül is elvégezhetjü
k az állapotösszeg 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:ising-chain-Z"

\end_inset

 kifejezésén!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{1}{\left(2^{N}\prod_{p=1}^{N}\cosh\kappa_{i}\right)}\frac{\partial^{n}}{\partial\kappa_{i}\partial\kappa_{i+1}\dots\partial\kappa_{i+n-1}}\left(2^{N}\prod_{p=1}^{N}\cosh\kappa_{i}\right)=\prod_{p=i}^{i+n-1}\frac{\sinh\kappa_{i}}{\cosh\kappa_{i}}=\prod_{p=i}^{i+n-1}\tanh\kappa_{i}.
\end{equation}

\end_inset

Visszaállítva a rendszer homogenitását, azaz 
\begin_inset Formula $\kappa_{i}=\kappa$
\end_inset

 esetén, 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle S_{i}S_{i+n}\right\rangle =\tanh^{n}\kappa=\mathrm{e}^{n\ln\tanh\kappa}.
\end{equation}

\end_inset

Mivel 
\begin_inset Formula $\tanh\kappa<1$
\end_inset

ezért a logaritmus előjele mindig negatív!
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\langle S_{i}S_{i+n}\right\rangle =\mathrm{e}^{-an\frac{\left|\ln\tanh\kappa\right|}{a}}=\mathrm{e}^{-\frac{an}{\xi}}
\end{equation}

\end_inset

Ahol bevezettük a korrelációs hosszt mint 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\xi=\frac{a}{\left|\ln\tanh\kappa\right|},
\end{equation}

\end_inset

illetve 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 egy a rendszerre jellemző hossz mennyiség (pl.
 a spinek közötti távolság a valós térben).
 Ha az alacsony hőmérsékletű viselkedést vizsgáljuk akkor 
\begin_inset Formula $\beta\rightarrow\infty,\ \kappa\rightarrow\infty,\ \tanh\kappa\rightarrow1,\ \ln\tanh\kappa\rightarrow0$
\end_inset

 tehát 
\begin_inset Formula $\xi\rightarrow\infty$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_body
\end_document