152.乘积最大子数组.md

题目描述：给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

eg:

示例 1:

输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:

输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

思路描述：最简单的方法是找到每个起点开始的乘积最大的连续子数组，然后取出其中的最大值就好了。但是会超时。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int ans = INT_MIN;
        int n = nums.size();
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            int product = 1;
            for(int j = i; j < n; j ++){
                product *= nums[j];
                ans = max(ans, product);
            }
        }
        return ans;
    }
};

我们再思考一下以 i 结尾的连续子数组的最大乘积，我们用 dp[i] 表示，

那么 dp[i] = max(nums[i]，dp[i-1]*nums[i])，但是我们可能遇到两个负数的情况，因为两个负数相乘为正数，反而使得整体的值变得更大了，考虑当前位置如果是一个负数的话，那么我们希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个负数，这样就可以负负得正，并且我们希望这个积尽可能「负得更多」，即尽可能小。如果当前位置是一个正数的话，我们更希望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个正数，并且希望它尽可能地大。于是这里我们可以再维护一个 $f_{\min}(i)$，它表示以第 i 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        vector <int> maxF(nums), minF(nums);
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            maxF[i] = max(maxF[i - 1] * nums[i], max(nums[i], minF[i - 1] * nums[i]));
            minF[i] = min(minF[i - 1] * nums[i], min(nums[i], maxF[i - 1] * nums[i]));
        }
        return *max_element(maxF.begin(), maxF.end());
    }
};

我们可以看到，其实我们只是用了前一个元素，所以完全可以优化一下空间复杂度。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int maxF = nums[0], minF = nums[0];
        int ans = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            int temp = maxF;
            maxF = max(temp * nums[i], max(nums[i], minF * nums[i]));
            minF = min(minF * nums[i], min(nums[i], temp * nums[i]));
            ans = max(ans, maxF);
        }
        return ans;
    }
};