limite_def_exemplo.tex

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\newtheorem{definition}{Definição} 

\begin{document}
\textbf{Cálculo 2 - Limite à Duas Variáveis}

\begin{definition}
	Seja $f$ uma função cujo domínio $D\subset \mathbb{R}^2$  contém pontos arbitrariamente próximos de $(a,b)$. Dizemos que o \textbf{limite de $f(x,y)$ quando $(x, y)$ tende a $(a, b)$} é $L$ e escrevemos
	
	$$ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L $$
	
	se para todo número $\epsilon > 0$ existe um número correspondente $\delta > 0$ tal que se $(x, y) \in D$ e $ 0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y - b)^2} < \delta $ então $ |f(x, y) - L| < \epsilon $. \\
	
\end{definition}

\textbf{Exemplo:} Verificar que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} = 0$. \\ 

Seja $ \epsilon > 0$, queremos determinar um $\delta > 0$ tal que se \\ 


$0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta$ então $ |\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < \epsilon$ \\


Considerando $x^2 > 0$ e $y^2 > 0$, como $x^2+y^2 > 0$ e $3x^2y>0 \; se \; y\geq 0 \; e \; 3x^2y < 0 \; se \; y < 0$ com $(x, y) \in D \subset \mathbb{R}^2$,  temos \\

$ 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \; então \; \frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon  $ \\ \\

Como $ y^2 \geq 0$ logo $x^2+ y^2 \geq x^2$ assim $ \frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1 $ e portanto

$$ \frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} \leq (3|y|) = 3\sqrt{y^2} < 3\sqrt{x^2+ y^2} $$


Como, se $3\sqrt{x^2 + y^2} < \epsilon$ logo $ \frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon$ assim se escolhermos $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ e fizermos $0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta $ tal que, \\

$ 3\sqrt{x^2+y^2} < \epsilon  $ de forma que $ \frac{3x^2|y|}{x^2+y^2} < \epsilon $ obtendo-se $ \sqrt{x^2 + y^2} < \frac{\epsilon}{3}$. \\ \\

Assim se escolhermos $ \delta = \frac{\epsilon}{3}$ e fizermos $ 0 < \sqrt{x^2+ y^2 < \delta} $ teremos,

$$ |\frac{3x^2y}{x^2+y^2}| < 3\sqrt{x^2+y^2} < 3 \delta = 3(\frac{\epsilon}{3}) = \epsilon $$.
\hspace{320pt} \textit{$\square$}

\end{document}