線性回歸用於我們想要預測數值（例如房價、溫度或銷售額）時。
它的原理是找到一條最能代表輸入特徵與輸出關係的直線。
在本課程中，我們著重於理解概念，之後將探索更進階的回歸技術。
資訊圖由 Dasani Madipalli 製作
到目前為止，你已經透過使用本課程中將持續使用的南瓜定價資料集，探索了回歸是什麼。你也使用 Matplotlib 將資料視覺化。
現在你已準備好更深入探討機器學習中的回歸。視覺化讓你了解資料的意義，但機器學習的真正威力來自於_訓練模型_。模型會根據歷史資料自動捕捉資料的依賴關係，並允許你對從未見過的新資料進行預測。
本課程將介紹兩種回歸模型：基本線性回歸_及_多項式回歸，以及部分支撐這些技術的數學原理。這些模型將幫助我們根據不同的輸入資料預測南瓜價格。
🎥 點擊上方圖片觀看線性回歸的短片介紹。
在整個課程中，我們假設學員的數學知識基礎不多，致力於讓不同背景的學生都能理解，因此會有筆記、🧮 計算輔助說明、圖示與其他教學工具，幫助理解。
到現在你應該已熟悉我們目前分析的南瓜資料結構。你可以在本課程附帶的_notebook.ipynb_ 檔案中找到已預載且預處理過的資料。此檔案中，每蒲式耳南瓜價格會顯示在一個新的資料框內。請確保你能在 Visual Studio Code 的 Kernel 中執行這些筆記本。
提醒你，我們讀取這些資料是為了提出問題。
- 什麼時候是買南瓜的最好時機？
- 我可以預期迷你南瓜一箱的價格是多少？
- 我該買半蒲式耳籃裝還是一箱 1 1/9蒲式耳盒裝？ 我們繼續深入挖掘這些資料。
在前一堂課中，你建立了一個 Pandas 資料框，並以部分原始資料填充，價格以蒲式耳標準化。不過，這樣只能取得約 400 筆資料，而且只包含秋季的數據。
看看本課程附帶筆記本中預先載入的資料。資料已預載，且初步散點圖顯示每個月的資料。也許藉由更深入清理，我們能對資料特性得到更細緻的了解。
如你在第一課學到，線性回歸的目標是繪製一條線用以：
- 顯示變數間關係。展現變數之間的關聯性
- 做出預測。準確預測新資料點在該線上的位置
最小平方法回歸常用於繪製這類線。名詞「最小平方法」指的是我們試圖使模型的總誤差最小化的過程。對每筆資料，我們測量實際點與回歸線之間的垂直距離（稱為殘差）。
我們平方這些距離主要有兩個原因：
-
忽略方向，只看大小：想要將 -5 與 +5 的誤差視為相同，平方會讓所有數值變正數。
-
懲罰異常值：平方使較大的誤差得到加重，促使回歸線更貼近那些遠離的點。
最後，我們將所有平方誤差加總，我們的目標是尋找一條令這個和最小（最低值）的直線，因此稱為「最小平方法」。
🧮 數學說明
這條稱為_最佳擬合直線_的線可用公式表示：
Y = a + bX
X是「解釋變數」，Y是「依賴變數」。線的斜率為b，a是 y 截距，即當X=0時Y的值。
首先計算斜率
b。資訊圖由 Jen Looper 製作。換句話說，對應我們南瓜資料的原始問題：「預測某月每蒲式耳的南瓜價格」，
X指的是價格，Y是銷售月份。
計算 Y 值。如果你付約 4 美元，肯定是四月！資訊圖由 Jen Looper 製作。
該方程式需展示斜率，斜率也依賴截距，或說
X=0時Y所在的位置。你可以在 Math is Fun 網站看到計算方法，也可造訪 此最小平方法計算機 觀察數值如何影響直線。
另一個要理解的名詞是給定 X 和 Y 變數間的相關係數。透過散點圖，你可以快速看出相關係數的大小。若點畫出一條整齊的線，則相關性高；若散布在 X 與 Y 之間散亂，相關性則低。
理想的線性回歸模型是那些用最小平方法計算時，相關係數接近 1（遠大於 0）且有回歸線的模型。
✅ 執行本課程附帶的筆記本，觀察「月份對價格」散點圖。依你觀察散點圖的判斷，南瓜銷售月份與價格之間的資料是否顯示高度或低度相關？使用更細緻測量（例如年月日中第幾天）代替「月份」會改變結果嗎？
下面的程式碼假設我們已清理資料，並獲得一個名為 new_pumpkins 的資料框，如下：
| ID | Month | DayOfYear | Variety | City | Package | Low Price | High Price | Price |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 70 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364 |
| 71 | 9 | 267 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636 |
| 72 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 18.0 | 18.0 | 16.363636 |
| 73 | 10 | 274 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 17.0 | 17.0 | 15.454545 |
| 74 | 10 | 281 | PIE TYPE | BALTIMORE | 1 1/9 bushel cartons | 15.0 | 15.0 | 13.636364 |
清理資料的程式碼可參閱
notebook.ipynb檔案。我們已同前一課執行相同的清理步驟，並用以下表達式計算出DayOfYear欄位：
day_of_year = pd.to_datetime(pumpkins['Date']).apply(lambda dt: (dt-datetime(dt.year,1,1)).days)了解線性回歸背後的數學原理後，我們來建立一個回歸模型，看看是否能預測哪種南瓜包裝能獲得最佳價格。假如有人想買南瓜做節慶南瓜園，這資訊有助於他們優化採購計畫。
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從前一課你可能看過，不同月份的平均價格長這樣：
這暗示出可能存在某種相關性，我們可以嘗試訓練線性回歸模型，預測 Month 與 Price 之間，或 DayOfYear 與 Price 之間的關係。以下為後者的散點圖：
我們用 corr 函數看看是否存在相關性：
print(new_pumpkins['Month'].corr(new_pumpkins['Price']))
print(new_pumpkins['DayOfYear'].corr(new_pumpkins['Price']))看來相關性很小，對Month是 -0.15，對 DayOfMonth 為 -0.17，但可能存在另一重要關係。不同南瓜品種對應於不同價格群組。為證實此假設，讓我們用不同顏色畫出不同南瓜類別。將 ax 參數傳給 scatter 函數，可將所有點畫於同一張圖：
ax=None
colors = ['red','blue','green','yellow']
for i,var in enumerate(new_pumpkins['Variety'].unique()):
df = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']==var]
ax = df.plot.scatter('DayOfYear','Price',ax=ax,c=colors[i],label=var)
調查顯示品種對總價格的影響比實際銷售日期大，我們可以用條形圖觀察：
new_pumpkins.groupby('Variety')['Price'].mean().plot(kind='bar')
目前暫時聚焦於單一品種「派用型」，看看日期對價格有何影響：
pie_pumpkins = new_pumpkins[new_pumpkins['Variety']=='PIE TYPE']
pie_pumpkins.plot.scatter('DayOfYear','Price') 
若用 corr 函數計算 Price 和 DayOfYear 的相關係數，約為 -0.27，這表示訓練預測模型是有意義的。
訓練線性回歸模型前，務必確保資料已清理乾淨。線性回歸對遺漏值不適用，故應刪除所有空白單元格：
pie_pumpkins.dropna(inplace=True)
pie_pumpkins.info()另一種作法是用對應欄位的平均值填補空白。
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要訓練線性回歸模型，我們將使用Scikit-learn函式庫。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split我們先把輸入值（特徵）與預期輸出（標籤）分別存入不同的 numpy 陣列中：
X = pie_pumpkins['DayOfYear'].to_numpy().reshape(-1,1)
y = pie_pumpkins['Price']注意，我們必須對輸入資料進行
reshape，才能讓線性回歸函式庫正確認識它。線性回歸期望輸入為二維陣列，每一列為一組特徵向量。由於我們只有一個輸入特徵，需將陣列調整為 Nx1 的形狀，N 是資料集大小。
接著，我們需將資料切成訓練和測試集，以便於訓練後驗證模型：
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)最後，訓練線性回歸模型只需兩行程式碼。我們先定義 LinearRegression 物件，再用 fit 方法套用到資料上：
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_train,y_train)fit 後的 LinearRegression 物件包含所有回歸的係數，可以使用 .coef_ 屬性訪問。在我們的例子中，只有一個係數，大約為 -0.017。這意味著價格隨時間略微下降，但不多，大約每天下降兩仙。我們也可以使用 lin_reg.intercept_ 訪問回歸與 Y 軸的交點 — 在我們的例子中約為 21，表示年初的價格。
為了查看我們模型的準確度，我們可以在測試數據集上預測價格，然後測量預測值與期望值的接近程度。這可以使用均方誤差（MSE）指標進行，該指標是所有期望與預測值平方差的平均。
pred = lin_reg.predict(X_test)
mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')我們的誤差約為 2 點，約為 17%。不太好。另一個模型質量指標是決定係數，可以這樣獲取：
score = lin_reg.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)若值為 0，表示模型沒考慮輸入資料，充當最差線性預測器，即輸出結果的均值。值為 1 表示我們能完全準確地預測所有期望輸出。在我們的例子中，係數約為 0.06，較低。
我們也可以繪製測試數據與回歸線一起，更好地看回歸在我們案例中的效果：
plt.scatter(X_test,y_test)
plt.plot(X_test,pred)
另一種線性回歸類型是多項式回歸。雖然有時候變數間有線性關係——例如南瓜體積越大，價格越高——有時這些關係不能用平面或直線表示。
✅ 這裡有更多例子展示可能使用多項式回歸的數據
再看看日期和價格的關係。這個散點圖是否必須用直線分析？價格不可能會波動嗎？在這種情況下，你可以試試多項式回歸。
✅ 多項式是可能由一個或多個變數及係數組成的數學表達式
多項式回歸會創建曲線，更好地擬合非線性資料。在我們的例子中，如果將平方的 DayOfYear 變數加入輸入資料，我們應該能用一條拋物線來擬合數據，該曲線在年底某點有最低點。
Scikit-learn 包含一個有用的pipeline API，用來組合不同的數據處理步驟。pipeline 是一連串的 estimators。在我們的例子中，我們將創建一個 pipeline，先加入多項式特徵，然後訓練回歸：
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline
pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
pipeline.fit(X_train,y_train)使用 PolynomialFeatures(2) 表示我們會包含所有二次多項式。在我們的例子中，這只是 DayOfYear2，不過給定兩個變數 X 和 Y，會加入 X2、XY 和 Y2。當然也可以使用更高次多項式。
pipeline 可像原始的 LinearRegression 物件一樣使用，即可以 fit pipeline，然後用 predict 取得預測結果。下面的圖顯示測試數據與擬合曲線：
利用多項式回歸，我們可以得到稍低的 MSE 和較高的決定係數，但差距不大。我們還需考慮其他特徵！
你可以看到南瓜價格的最低點出現在萬聖節前後。你怎麼解釋這現象？
🎃 恭喜！你剛剛創建了一個可以幫助預測派用南瓜價格的模型。你大概也可以用相同方法，對其他南瓜品種做預測，但那會很繁瑣。現在，我們來學習如何讓模型考慮南瓜品種！
理想狀況下，我們希望用同一模型預測不同南瓜品種的價格。但 Variety 欄位有別於 Month 之類的欄位，因為它包含非數值。這類欄位稱為類別特徵。
🎥 點擊上圖觀看短視頻概述類別特徵的使用。
以下展示價格與品種的平均關係：
要考慮品種，我們首先需要將它轉為數字形式，或稱編碼。有幾種方法：
- 簡單的數字編碼會建立品種表，然後用該表索引替代品種名稱。但這不適合線性回歸，因為線性回歸會將編碼數值直接乘以某係數加入結果中，若索引與價格間明顯非線性，即使你特定排序索引，也不合適。
- **獨熱編碼（One-hot encoding）**會把
Variety欄位換成 4 個不同欄位，每個品種一欄。如果該行為該品種，該欄為 1，否則為 0。這意味著線性回歸將有四個係數，分別對應每種南瓜品種，代表該品種的「起始價格」（或更確切說是「額外價格」）。
下面程式碼展示如何使用獨熱編碼：
pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])| ID | FAIRYTALE | MINIATURE | MIXED HEIRLOOM VARIETIES | PIE TYPE |
|---|---|---|---|---|
| 70 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 71 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 1738 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1739 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1740 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1741 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1742 | 0 | 1 | 0 | 0 |
要用獨熱編碼的品種作為輸入來訓練線性回歸，只要正確初始化 X 和 y：
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety'])
y = new_pumpkins['Price']其餘程式碼與之前訓練線性回歸的相同。若你試試看，會發現均方誤差差不多，但決定係數大幅提高（約 77%）。想要更準確預測，可以考慮更多類別特徵，也加入數字特徵，如 Month 或 DayOfYear。要組合成一個大特徵陣列，可以使用 join：
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
.join(new_pumpkins['Month']) \
.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']這裡也考慮了 City 和 Package 類型，使 MSE 降至 2.84（10%），決定係數達 0.94！
要打造最佳模型，可以用上述例子中組合（獨熱編碼類別 + 數字）資料搭配多項式回歸。這是完整程式碼供你方便使用：
# 設置訓練數據
X = pd.get_dummies(new_pumpkins['Variety']) \
.join(new_pumpkins['Month']) \
.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['City'])) \
.join(pd.get_dummies(new_pumpkins['Package']))
y = new_pumpkins['Price']
# 進行訓練和測試劃分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
# 設置並訓練流程
pipeline = make_pipeline(PolynomialFeatures(2), LinearRegression())
pipeline.fit(X_train,y_train)
# 預測測試數據結果
pred = pipeline.predict(X_test)
# 計算均方誤差和決定係數
mse = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,pred))
print(f'Mean error: {mse:3.3} ({mse/np.mean(pred)*100:3.3}%)')
score = pipeline.score(X_train,y_train)
print('Model determination: ', score)這將給我們最佳決定係數接近 97%，MSE=2.23（約 8% 預測誤差）。
| 模型 | MSE | 決定係數 |
|---|---|---|
DayOfYear 線性 |
2.77 (17.2%) | 0.07 |
DayOfYear 多項式 |
2.73 (17.0%) | 0.08 |
Variety 線性 |
5.24 (19.7%) | 0.77 |
| 所有特徵 線性 | 2.84 (10.5%) | 0.94 |
| 所有特徵 多項式 | 2.23 (8.25%) | 0.97 |
🏆 幹得好！你在一課中創建了四個回歸模型，並將模型質量提升至97%。在回歸的最後一章，你將學習邏輯回歸來判斷分類。
在這個筆記本中測試幾個不同變數，看看相關性如何對模型準確度產生影響。
本課我們學習了線性回歸。還有其他重要的回歸類型。請閱讀逐步回歸、嶺回歸、套索回歸和彈性網回歸技術。有個優秀課程可深入學習：史丹佛統計學習課程
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