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Author: jayi0908

讲义/专题/1 预备知识.tex

@@ -70,7 +70,23 @@ \section{基本代数结构}
     若运算$\circ$满足结合律，则称代数系统$\langle G\colon\circ\rangle$为\term{半群}\index{qun!banqun@半群 (semigroup)}；若在半群基础上存在单位元，则称之为\term{含幺半群}\index{qun!hanyaobanqun@含幺半群 (monoid)}；若在含幺半群基础上每个元素存在逆元，则称之为\term{群}；若在群的基础上运算还满足交换律，则称之为\term{Abel 群}，也称\term{交换群}\index{qun!abel@Abel 群 (Abelian group), 交换群 (commutative group)}.
 \end{definition}
 
-\autoref{def:群} 给出了我们本节第一个要讨论的代数结构——群的定义. 事实上，教材中42--44页给出了大量抽象的例子有助于同学们理解上述一系列群的定义，并且我们在后续学习矩阵的时候也会遇到一些群结构，相信这些实例能使读者体会到``在集合上定义运算''的方式的多样与抽象.
+\autoref{def:群} 给出了本节第一个要讨论的代数结构——群的定义. 下面给出了一些具体的例子帮助读者理解上述一系列群的定义，并且我们在后续学习矩阵的时候也会遇到一些群结构，相信这些实例能使读者体会到``在集合上定义运算''的方式的多样与抽象.
+
+\begin{example}{}{}
+    \begin{enumerate}
+        \item 设$+$，$\times$分别为数的加法与乘法，则$\langle\mathbf{N}^+\colon +\rangle$，$\langle\mathbf{N}^+\colon \times\rangle$，$\langle\mathbf{Z}\colon \times\rangle$均为交换半群；$\langle\mathbf{Q}^+\colon \times\rangle$，$\langle\mathbf{R}^+\colon \times\rangle$均为交换群，且$\mathbf{Q}^+$是$\mathbf{R}^+$关于乘法运算的子群；而$\langle\{1,-1\}\colon \times\rangle$是仅有两个元素的交换群. 一般，含有限个元素的群称为有限群，否则称为无限群；
+        \item 设$\mathbf{R}^3$为全体空间几何向量组成的几何，则$\mathbf{R}^3$关于向量加法构成一个交换群，其中单位元$e$为零向量$\vec{0}$，任一向量$\vec{\alpha}$的逆元为$-\vec{\alpha}$；
+        \item 设$\mathbf{R}[x]_3=\{a_0+a_1x+a_2x^2\mid a_0,a_1,a_2\in\mathbf{R}\}$，则$\mathbf{R}[x]_3$关于多项式的加法构成交换群，单位元$e$为零多项式，但关于多项式的乘法不构成半群.
+        \item 设$G$为某班的学生集，且任意两个人的身高互异，运算$\circ$为比高矮，规定
+        \[
+        a \circ b = b \circ a = \begin{cases}
+            a, & \text{若 $a$ 比 $b$ 高} \\
+            b, & \text{若 $b$ 比 $a$ 高}
+        \end{cases}; a\circ a=a,\enspace\forall a \in G.
+        \]
+        该运算为$G$的代数运算，且满足结合律，运算的单位元$e$为最矮的学生，因此$\langle G\colon\circ\rangle$为含幺半群.
+    \end{enumerate}
+\end{example}
 
 为方便书写，对于\autoref{def:群} 定义的群$\langle G\colon\circ\rangle$，在不引起混淆的情况下我们可以简写为群$G$. 除此之外，我们还需要指出以下两点：
 \begin{theorem}{}{群的单位元逆元唯一}

讲义/专题/10 行列式.tex

@@ -6,7 +6,7 @@ \section{导言}
 
 行列式是线性代数中非常重要的工具，笔者将从两条路线引入这一概念：一条从线性方程的判别式出发，属于代数范畴；而另一条从体积的变化出发，属于几何范畴. 然而代数和几何之间很多时候是一体两面，从两条路线能够得到相同的结果. 在导言中我们不会给出行列式的严格定义，而是先通过直观分析，帮助读者建立对于行列式的初步印象.
 
-\subsection{从判别式到行列式}
+\subsection{从判别式到行列式}\label{subsec:从判别式到行列式}
 
 对于二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们熟知其\term{判别式（discriminant）}$\Delta = b^2 - 4ac$， $\Delta = 0$ 意味着方程产生了重根. 如果读者了解三次方程求根公式的话可能知道，三次方程 $x^3+ax+b=0$ 同样存在判别式 $4a^3 + 27b^2$，与二次方程的判别式类似，它给出了三次方程重根的判据.
 
@@ -79,7 +79,7 @@ \subsection{从体积变化到行列式}\label{subsec:从体积变化到行列
     \caption{可以参考 \href{https://b23.tv/BV1ys411472E}{3b1b《线性代数的本质》系列视频}相关内容}
 \end{figure}
 
-这个变化的比例，实际上就是行列式. 读者可以自行验证对于二阶矩阵乃至三阶矩阵，由高斯消元计算得到的行列式与上述体积变化的比例是相等的.
+这个变化的比例，实际上就是行列式. 读者可以自行验证：对于二阶矩阵与三阶矩阵，由高斯消元计算得到的行列式与上述体积变化的比例是相等的. 我们将其放在习题中.
 
 从几何视角还可推导出行列式的重要性质：矩阵的乘积对应于线性映射的复合，那么矩阵复合的体积变化倍数应当等于体积变化倍数的乘积，即 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$，而在严格定义行列式之后也会证明这一点.
 
@@ -2756,6 +2756,25 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
     \exquote[约翰·纳皮尔]{我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算. }
 
     \begin{exgroup}
+        \item 证明：对于二阶矩阵与三阶矩阵，由高斯消元计算得到的行列式与上述体积变化的比例是相等的.
+        \begin{answer}
+            从\nameref{subsec:从判别式到行列式}一节中我们得知
+                $\det\begin{pmatrix}
+                    a_{11} & a_{12} \\
+                    a_{21} & a_{22}
+                \end{pmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}, \\
+                \det\begin{pmatrix}
+                    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+                    a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+                    a_{31} & a_{32} & a_{33}
+                \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$.
+            \begin{enumerate}
+                \item 二维情形可以使用鞋带公式：对于$\triangle OAB$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$O(0,0)$，$\triangle AOB$的面积为$S_{\triangle OAB}=\dfrac{1}{2}(x_1y_2-x_2y_1)$，这里的面积为有向面积，逆时针为正. 代入$A(a_{11}, a_{12})$，$B(a_{21}, a_{22})$即可（注意计算的为平行四边形，面积要乘以$2$）.
+                \item 三维情形可按计算平行六面体体积的方法进行. 对由向量$\overrightarrow{OA}=(a_{11},a_{21},a_{31})$，$\overrightarrow{OB}=(a_{12},a_{22},a_{32})$，$\overrightarrow{OC}=(a_{13},a_{23},a_{33})$所张成的平行六面体，利用\nameref{chap:线性代数与几何}中关于叉积的定义，我们可以计算$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$. 设$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$，且$\vec{x}\cdot\overrightarrow{OA}=0$，$\vec{x}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，计算可得\[x_1=k(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}), x_2=k(a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32}), x_3=k(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}),\]
+
+                其中$k\in\mathbf{R}\backslash\{0\}$. 并且其长度需要满足$\|\vec{x}\|^2=\|\overrightarrow{OA}\|^2\|\overrightarrow{OB}\|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2$，计算得知$k=1$. 此时$\vec{x}\cdot\overrightarrow{OC}$即为平行六面体的体积，计算可得$\vec{x}\cdot\overrightarrow{OC}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$.
+            \end{enumerate}
+        \end{answer}
         \item 设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为三维列向量，令$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，且$|A|=2$，求$|\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3,\alpha_1+4\alpha_2+16\alpha_3|$.
         \begin{answer}
             使用倍加列变换的性质，可得$|\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3,\alpha_1+4\alpha_2+16\alpha_3|=6|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=12$.

讲义/专题/13 多项式.tex

@@ -238,7 +238,7 @@ \section{整除与互素}
 \begin{theorem}{裴蜀定理}{裴蜀定理} \index{peishudingli@裴蜀定理 (Bézout's Lemma)}
     设$(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，则$p(x)$和$q(x)$互素的充要条件是存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得\[u(x)p(x)+v(x)q(x)=1.\]
 \end{theorem}
-这一定理称之为\term{裴蜀定理}\footnote{事实上，更一般的裴蜀定理是指：对于任意两个多项式$p(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，$d(x)=(p(x),q(x))$为它们的最大公因式，则对任意的$f(x)\in\mathbf{F}[x]$，存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$，使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=f(x)d(x)$，特别的，存在$u_0(x),v_0(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u_0(x)p(x)+v_0(x)q(x)=d(x)$. 不难知\autoref{thm:裴蜀定理} 是其特例.}，事实上在数论中也有相对应的结论，证明是非常自然的. 习题中我们会给出另一种基于线性映射的证明思路供读者练习，这里我们延续数论的思路给出证明：
+这一定理称之为\term{裴蜀定理}\footnote{事实上，更一般的裴蜀定理是指：对于任意两个多项式$p(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，$d(x)=(p(x),q(x))$为它们的最大公因式，则对任意的$f(x)\in\mathbf{F}[x]$，存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$，使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=f(x)d(x)$，特别的，存在$u_0(x),v_0(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u_0(x)p(x)+v_0(x)q(x)=d(x)$. 不难知其和\autoref{thm:裴蜀定理} 是等价的.}，事实上在数论中也有相对应的结论，证明是非常自然的. 习题中我们会给出另一种基于线性映射的证明思路供读者练习，这里我们延续数论的思路给出证明：
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
         \item 必要性：若$(p(x),q(x))=1$，由\nameref{thm:欧几里得算法}知存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$.
@@ -329,7 +329,7 @@ \section{整除与互素}
     \[u_j(x)q_k(x)+v_j(x)q_j(x)=1,\]
     其中$j\neq k$，故令
     \[
-    p_k(x) =\prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \neq k}}(v_j(x)q_j(x))=\prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \neq k}}(1-u_j(x)q_k(x)),
+    p_k(x) =\prod_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \neq k}}(v_j(x)q_j(x))=\prod_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \neq k}}(1-u_j(x)q_k(x)),
     \]
     显然$p_k(x)$符合要求，因此我们构造出了这组方程的解为$p(x)=\sum\limits_{k=1}^nr_k(x)p_k(x)$.
 
@@ -487,11 +487,11 @@ \section{复数域上的多项式函数}
     \[q(x)=1+b_kx^k+\cdots+b_nx^n,\]
     其中$k$是使得$b_k\neq 0$的最小整数，换言之，$b_k\neq 0$.
 
-    进一步地，我们取$\beta\in\mathbf{C}$满足$\beta^k=-\dfrac{1}{b_k}$，事实上这样的$\beta$一定存在，因为可以设$-\dfrac{1}{b_k}=re^{i\theta}$，取$\beta=r^{1/k}e^{i\theta/k}$即可. 此时我们有$\sum\limits_{i=k+1}^n |b_i\beta^i|\geqslant |q(\beta)|=|\sum\limits_{i=k+1}^n b_i\beta^i|\geqslant 1$，从而对任意的$t\in(0,1)$有
+    进一步地，我们取$\beta\in\mathbf{C}$满足$\beta^k=-\dfrac{1}{b_k}$，事实上这样的$\beta$一定存在，因为可以设$-\dfrac{1}{b_k}=re^{i\theta}$，取$\beta=r^{1/k}e^{i\theta/k}$即可. 此时我们有$\sum\limits_{i=k+1}^n |b_i\beta^i|\geqslant |q(\beta)|=\left|\sum\limits_{i=k+1}^n b_i\beta^i\right|\geqslant 1$，从而对任意的$t\in(0,1)$有
     \begin{align*}
         |q(t\beta)|
-        &= \left|1+b_kt^k\beta^k+t^{k+1}\sum\limits_{i=k+1}^n b_i t^i \beta^i \right| \\
-        &\leqslant |1+b_kt^k\beta^k|+t^{k+1}\sum\limits_{i=k+1}^n t^i |b_i\beta^i| \\
+        &= \left|1+b_kt^k\beta^k+t^{k+1}\sum\limits_{i=k+1}^n b_i t^{i-k-1} \beta^i \right| \\
+        &\leqslant |1+b_kt^k\beta^k|+t^{k+1}\sum\limits_{i=k+1}^n t^{i-k-1} |b_i\beta^i| \\
         &\leqslant |1- t^k|+t^{k+1}\sum\limits_{i=k+1}^n |b_i\beta^i|,
     \end{align*}
     记$c=\sum\limits_{i=k+1}^n |b_i\beta^i|\geqslant 1$，从而$|q(t\beta)|\leqslant 1-t^k(1-tc)$.