01_distribuzioni_e_probabilita.qmd

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title: "01 · Distribuzioni e Probabilità"
subtitle: "Fondamenti per la Meta-Analisi"
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---

```{r setup}
#| label: setup
#| include: false
# Caricamento del pacchetto tidyverse: collezione di pacchetti per data science
# Include dplyr (manipolazione dati), tidyr (tidy data), ggplot2 (visualizzazione),
# purrr (programmazione funzionale), tibble (dataframe moderni), stringr (stringhe),
# forcats (fattori), readr (lettura dati), e altri
library(tidyverse)

# Caricamento del pacchetto ggplot2 per la creazione di grafici
# ggplot2 implementa la "grammar of graphics" per costruire visualizzazioni
# stratificate e personalizzabili
library(ggplot2)
```

# 🎯 Obiettivo del Notebook

Prima di capire la meta-analisi, dobbiamo parlare la stessa lingua della statistica.
Questo notebook copre le distribuzioni di probabilità e i concetti che tornano
**continuamente** nei metodi di sintesi della letteratura. 

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# 1️⃣ Cosa è una Distribuzione di Probabilità?

Una distribuzione descrive **come si distribuiscono i valori** in una popolazione
o in un campione. In meta-analisi, ogni studio produce un *effect size* (misura
dell'effetto): la distribuzione ci dice quanto variabile è quella stima.

```{r distribuzione-discreta}
# Creazione dei valori e probabilità
valori <- 1:6  # Valori da 1 a 6 descrivi che cosa fa 
probabilita <- rep(1/6, 6)  # Ripete 1/6 per 6 volte

# Dataframe con valori e probabilità
df_dado <- data.frame(x = valori, p = probabilita)

# Grafico con ggplot2
ggplot(df_dado, aes(x = factor(x), y = p)) +  # x come fattore, y come probabilità
  geom_col(fill = "#2E86AB", color = "white", width = 0.6) +  # Barre colorate
  labs(
    title = "Distribuzione Uniforme Discreta (dado a 6 facce)",
    x = "Valore", y = "Probabilità"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +  # Tema pulito
  theme(plot.title = element_text(face = "bold")) +  # Titolo in grassetto
  labs(caption = "Le 6 barre hanno tutte la stessa altezza (1/6 ≈ 0.167) perché un dado equo assegna probabilità identica a ogni faccia: nessun valore è più probabile degli altri.")
```

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# 2️⃣ La Distribuzione Normale (Gaussiana)

La distribuzione **più importante** in statistica. In meta-analisi assume un
ruolo centrale: gli effect sizes, con campioni sufficientemente grandi,
seguono una distribuzione approssimativamente normale.

$$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

- $\mu$ = media (centro della curva)
- $\sigma$ = deviazione standard (larghezza della curva): misura quanto i valori si discostano in media dalla media $\mu$. È definita come la radice quadrata della varianza:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}$$

Un $\sigma$ piccolo indica che i valori sono concentrati attorno alla media; un $\sigma$ grande indica che sono molto dispersi.

```{r normale-parametri}
# Confronto di normali con diversi parametri
x <- seq(-4, 4, length.out = 300)

df_norm <- bind_rows(
  data.frame(x = x, y = dnorm(x, 0, 1),   label = "μ=0, σ=1"),
  data.frame(x = x, y = dnorm(x, 0, 0.5), label = "μ=0, σ=0.5"),
  data.frame(x = x, y = dnorm(x, 1, 1),   label = "μ=1, σ=1")
)

ggplot(df_norm, aes(x = x, y = y, color = label)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c("#E63946", "#2A9D8F", "#F4A261")) +
  labs(
    title = "Distribuzione Normale: effetto di μ e σ",
    x = "Valore", y = "Densità", color = "Parametri"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        legend.position = "top")
```

> 💡 **Perché importa in meta-analisi?**
> Gli effect sizes stimati da studi grandi si distribuiscono normalmente
> attorno al *vero* effetto nella popolazione — questo è il fondamento
> matematico che giustifica i modelli fixed e random effects.

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# 3️⃣ La Regola 68-95-99.7

Una proprietà fondamentale della normale: quanto dell'area cade entro 1, 2, 3 σ?

```{r regola-empirica}
x <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
y <- dnorm(x)
df <- data.frame(x = x, y = y)

ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_area(data = filter(df, x >= -3 & x <= 3),
            aes(y = y), fill = "#A8DADC", alpha = 0.4) +
  geom_area(data = filter(df, x >= -2 & x <= 2),
            aes(y = y), fill = "#457B9D", alpha = 0.4) +
  geom_area(data = filter(df, x >= -1 & x <= 1),
            aes(y = y), fill = "#1D3557", alpha = 0.4) +
  annotate("text", x = 0, y = 0.22, label = "68%", color = "white",
           fontface = "bold", size = 5) +
  annotate("text", x = 0, y = 0.10, label = "95%", color = "white",
           fontface = "bold", size = 4) +
  annotate("text", x = 0, y = 0.03, label = "99.7%", color = "white",
           fontface = "bold", size = 3.5) +
  labs(title = "Regola 68 - 95 - 99.7",
       x = "σ dalla media", y = "Densità") +
  scale_x_continuous(breaks = -3:3,
    labels = c("-3σ","-2σ","-1σ","μ","+1σ","+2σ","+3σ")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"))
```

> 🧠 **Connessione pratica**: il valore 1.96 (≈2σ) usato per i **confidence
> intervals** al 95% derive direttamente da questa proprietà della distribuzione normale.

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# 4️⃣ Distribuzione t di Student

Con campioni **piccoli**, la distribuzione normale non è abbastanza precisa.
La distribuzione t ha code più pesanti (più incertezza) e converge alla normale
all'aumentare dei gradi di libertà (df).

```{r distribuzione-t}
x <- seq(-5, 5, length.out = 300)

df_t <- bind_rows(
  data.frame(x = x, y = dt(x, df = 2),   gradi = "df = 2"),
  data.frame(x = x, y = dt(x, df = 10),  gradi = "df = 10"),
  data.frame(x = x, y = dt(x, df = 30),  gradi = "df = 30"),
  data.frame(x = x, y = dnorm(x),        gradi = "Normale (∞)")
)

ggplot(df_t, aes(x = x, y = y, color = gradi)) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  scale_color_manual(values = c("#E63946","#F4A261","#2A9D8F","#264653")) +
  labs(
    title = "Distribuzione t al variare dei gradi di libertà",
    subtitle = "Con df grandi → converge alla Normale",
    x = "t", y = "Densità", color = "Distribuzione"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        legend.position = "top")
```

> 💡 **In meta-analisi**: la distribuzione t appare nel calcolo dei
> confidence intervals quando il numero di studi è piccolo (tipicamente < 30).

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# 5️⃣ Distribuzione Chi-Quadro (χ²)

Usata per testare l'**eterogeneità** tra studi: la statistica **Q** di Cochran
segue una distribuzione χ² con (k-1) gradi di libertà, dove k = numero di studi.

```{r chi-quadro}
# Creazione di una sequenza di valori da 0 a 30 per l'asse x
# length.out = 300 crea 300 punti equidistanti per una curva fluida
x <- seq(0, 30, length.out = 300)

# Creazione di un dataframe combinato con tre distribuzioni Chi-Quadro
# Ogni distribuzione ha diversi gradi di libertà (df):
# - df = 2: corrisponde a 3 studi (k-1, dove k = numero di studi)
# - df = 5: corrisponde a 6 studi
# - df = 10: corrisponde a 11 studi
# dchisq() calcola la densità di probabilità della distribuzione Chi-Quadro
df_chi <- bind_rows(
  data.frame(x = x, y = dchisq(x, df = 2),  df = "df = 2 (3 studi)"),
  data.frame(x = x, y = dchisq(x, df = 5),  df = "df = 5 (6 studi)"),
  data.frame(x = x, y = dchisq(x, df = 10), df = "df = 10 (11 studi)")
)

# Creazione del grafico con ggplot2
ggplot(df_chi, aes(x = x, y = y, color = df)) +
  # Linee delle distribuzioni con spessore 1.2
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  # Assegnazione manuale dei colori a ciascuna curva
  scale_color_manual(values = c("#E63946","#2A9D8F","#F4A261")) +
  # Titolo ed etichette degli assi
  labs(
    title = "Distribuzione χ² — alla base del test Q di Cochran",
    x = "Valore χ²", y = "Densità", color = NULL
  ) +
  # Tema minimal con dimensione base del testo 13
  theme_minimal(base_size = 13) +
  # Personalizzazione aggiuntiva: titolo in grassetto e legenda in alto
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        legend.position = "top")
```

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# 🧩 Riepilogo: Quale distribuzione, quando?

| Distribuzione | Quando la usi in meta-analisi |
|--------------|-------------------------------|
| **Normale** | Effect sizes con grandi campioni, z-test |
| **t di Student** | IC con pochi studi (k < 30) |
| **χ² (Chi-quadro)** | Test Q di Cochran per l'eterogeneità |
| **F di Fisher** | ANOVA nelle subgroup analyses |

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# 🏁 Esercizi

```{r esercizi}
# ESERCIZIO 1
# Calcola la probabilità che una variabile N(0,1) sia > 1.96
p1 <- pnorm(1.96, lower.tail = FALSE)
cat("P(Z > 1.96) =", round(p1, 4), "\n")
# → Dovrebbe essere ≈ 0.025 (coda destra al 95%)

# ESERCIZIO 2
# Quant'è il valore critico t con df=9 al 95% (due code)?
t_crit <- qt(0.975, df = 9)
cat("t critico (df=9, 95%) =", round(t_crit, 3), "\n")
# → Confronta con z = 1.96: le code pesanti della t allargano l'IC!

# ESERCIZIO 3
# Se Q = 18.5 con 7 studi (df=6), il p-value del test di eterogeneità è:
p_Q <- pchisq(18.5, df = 6, lower.tail = FALSE)
cat("p-value test Q (df=6) =", round(p_Q, 4), "\n")
# → Se p < 0.10: eterogeneità statisticamente significativa
```

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# ➡️ Prossimo Notebook

**`02_stima_e_inferenza.qmd`** — Media, varianza, errore standard e
intervalli di confidenza: i mattoni per costruire ogni effect size.