03_effect_size.qmd

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title: "03 · Effect Size — La Valuta della Meta-Analisi"
subtitle: "Fondamenti per la Meta-Analisi"
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```{r setup}
#| include: false
library(tidyverse)
library(ggplot2)
```

# 🎯 Obiettivo

L'**effect size** è la misura quantitativa dell'entità di un effetto.
È la *valuta* comune che permette di confrontare studi diversi in una meta-analisi.

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# 1️⃣ Cohen's d — Variabili Continue

Cohen's d standardizza la differenza tra due medie in unità di deviazione standard.

$$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma_{pooled}}$$

```{r cohens-d}
set.seed(42)
# Scenario: RCT su riduzione pressione arteriosa sistolica
n_per_gruppo <- 50
ctrl  <- rnorm(n_per_gruppo, mean = 140, sd = 18)
tratt <- rnorm(n_per_gruppo, mean = 130, sd = 16)

# Calcolo manuale di Cohen's d
media_diff <- mean(tratt) - mean(ctrl)
sd_pooled  <- sqrt(((n_per_gruppo-1)*var(ctrl) +
                    (n_per_gruppo-1)*var(tratt)) / (2*n_per_gruppo - 2))
d <- media_diff / sd_pooled

cat("Differenza media:    ", round(media_diff, 2), "mmHg\n")
cat("SD pooled:           ", round(sd_pooled, 2), "\n")
cat("Cohen's d:           ", round(d, 3), "\n")
cat("Interpretazione:     ",
    ifelse(abs(d) < 0.2, "Trascurabile",
    ifelse(abs(d) < 0.5, "Piccolo",
    ifelse(abs(d) < 0.8, "Medio", "Grande"))), "\n")
```

```{r cohens-d-visuale}
df_vis <- bind_rows(
  data.frame(x = ctrl,  gruppo = "Controllo"),
  data.frame(x = tratt, gruppo = "Trattamento")
)

ggplot(df_vis, aes(x = x, fill = gruppo)) +
  geom_density(alpha = 0.5) +
  geom_vline(aes(xintercept = mean(ctrl)),  color = "#E63946", lty = 2) +
  geom_vline(aes(xintercept = mean(tratt)), color = "#2A9D8F", lty = 2) +
  scale_fill_manual(values = c("#E63946", "#2A9D8F")) +
  annotate("text", x = 120, y = 0.026,
           label = paste0("d = ", round(d, 2)),
           size = 5, fontface = "bold") +
  labs(title = "Cohen's d: sovrapposizione delle distribuzioni",
       subtitle = "Più piccola la sovrapposizione → d più grande",
       x = "PAS (mmHg)", y = "Densità", fill = NULL) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"), legend.position = "top")
```

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# 2️⃣ Odds Ratio (OR) — Outcome Binari

Usato quando l'outcome è **sì/no**: deceduto/vivo, reingresso/non reingresso.

$$OR = \frac{a/b}{c/d} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

```{r odds-ratio}
# Tabella 2x2: esempio RCT sepsi
#            Morte  Sopravvissuto
# Trattamento  12       88
# Controllo    25       75

a <- 12; b <- 88   # trattamento: eventi, non-eventi
c <- 25; d <- 75   # controllo:   eventi, non-eventi

OR <- (a * d) / (b * c)
logOR <- log(OR)
SE_logOR <- sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
IC_OR_lb <- exp(logOR - 1.96 * SE_logOR)
IC_OR_ub <- exp(logOR + 1.96 * SE_logOR)

cat("=== Analisi tabella 2x2 ===\n")
cat("Odds Ratio:    ", round(OR, 3), "\n")
cat("IC 95%:       [", round(IC_OR_lb, 3), ",", round(IC_OR_ub, 3), "]\n")
cat("log(OR):       ", round(logOR, 3), "\n")
cat("SE(log OR):    ", round(SE_logOR, 3), "\n")
cat("\nInterpretazione:", ifelse(OR < 1, "Trattamento protettivo",
                                "Trattamento associato a rischio maggiore"), "\n")
```

> 🔑 **Nota tecnica importante**: in meta-analisi lavoriamo con il **log(OR)**
> perché è simmetrico, ha distribuzione approssimativamente normale, e il
> suo SE si calcola facilmente. Solo alla fine "back-trasformiamo" con exp().

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# 3️⃣ Risk Ratio (RR) — Studi di Coorte

Il RR (Relative Risk) è più intuitivo dell'OR, ma non applicabile
negli studi caso-controllo.

$$RR = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$$

```{r risk-ratio}
# Stesso scenario
n_tratt <- a + b   # 100
n_ctrl  <- c + d   # 100

p_tratt <- a / n_tratt
p_ctrl  <- c / n_ctrl

RR      <- p_tratt / p_ctrl
logRR   <- log(RR)
SE_logRR <- sqrt((1-p_tratt)/(a) + (1-p_ctrl)/(c))
IC_RR_lb <- exp(logRR - 1.96 * SE_logRR)
IC_RR_ub <- exp(logRR + 1.96 * SE_logRR)

cat("Risk nel trattamento:  ", round(p_tratt, 3), "(", a, "/", n_tratt, ")\n")
cat("Risk nel controllo:    ", round(p_ctrl, 3),  "(", c, "/", n_ctrl, ")\n")
cat("Risk Ratio:            ", round(RR, 3), "\n")
cat("IC 95%:               [", round(IC_RR_lb, 3), ",", round(IC_RR_ub, 3), "]\n")
```

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# 4️⃣ Confronto OR vs RR vs RD

```{r confronto-misure}
# Varia l'incidenza di base mantenendo lo stesso RR
rr_fisso  <- 0.5   # trattamento dimezza il rischio
baseline  <- c(0.05, 0.10, 0.20, 0.40, 0.60)

df_comp <- data.frame(
  p_ctrl  = baseline,
  p_tratt = baseline * rr_fisso
) |>
  mutate(
    RR = p_tratt / p_ctrl,
    OR = (p_tratt/(1-p_tratt)) / (p_ctrl/(1-p_ctrl)),
    RD = p_tratt - p_ctrl
  )

knitr::kable(df_comp, digits = 3,
  caption = "OR ≠ RR: la divergenza cresce con l'aumentare dell'incidenza basale")
```

> ⚠️ **Errore comune**: l'OR e il RR coincidono solo per eventi rari (< 10%).
> Per eventi frequenti (tipico in emergenza/terapia intensiva) l'OR
> **sovrastima** il RR. Sempre specificare quale misura si usa!

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# 5️⃣ Forest Plot Preview — Effect Sizes in Contesto

```{r forest-preview}
set.seed(99)
df_forest <- data.frame(
  studio = paste("Studio", LETTERS[1:8]),
  d      = c(-0.8, -0.5, -0.3, -0.6, -0.9, -0.4, -0.2, -0.7),
  se     = c(0.25, 0.18, 0.30, 0.20, 0.15, 0.22, 0.35, 0.19)
) |>
  mutate(
    lb   = d - 1.96 * se,
    ub   = d + 1.96 * se,
    peso = round(100 * (1/se^2) / sum(1/se^2), 1)
  )

# Summary effect (fixed)
w      <- 1 / df_forest$se^2
d_sum  <- sum(w * df_forest$d) / sum(w)
se_sum <- 1 / sqrt(sum(w))

ggplot(df_forest, aes(x = d, y = reorder(studio, d))) +
  geom_vline(xintercept = 0, lty = 2, color = "gray50") +
  geom_vline(xintercept = d_sum, lty = 1, color = "#E63946", linewidth = 0.8) +
  geom_pointrange(aes(xmin = lb, xmax = ub, size = peso),
                  color = "#2E86AB") +
  scale_size(range = c(0.3, 1.5), guide = "none") +
  geom_point(aes(x = d_sum, y = 0), shape = 18, size = 5,
             color = "#E63946") +
  annotate("text", x = d_sum, y = 0.3,
           label = paste0("Summary d = ", round(d_sum, 2)),
           color = "#E63946", fontface = "bold", size = 4) +
  labs(title = "Forest Plot (anteprima)",
       subtitle = "Punti più grandi = studi con peso maggiore",
       x = "Cohen's d", y = NULL) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"))
```

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# ➡️ Prossimo Notebook

**`04_eterogeneita.qmd`** — Q di Cochran, I², τ²: misurare la variabilità
*tra* studi, la vera sfida della meta-analisi.