Пример 1:

Дано:
(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C)

Упрощение:

1. Вынесем общий множитель A из первых трех слагаемых:
   A ∧[(B∧C)∨(B∧¬C)∨(¬B∧C)]∨(¬A∧B∧C)[(B∧C)∨(B∧¬C)∨(¬B∧C)]∨(¬A∧B∧C)

2. Упростим выражение в скобках:
   (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬C) = B ∧ (C ∨ ¬C) = B ∧ 1 = B
   Теперь выражение: B ∨ (¬B ∧ C)

3. Упростим B ∨ (¬B ∧ C):
   B ∨ (¬B ∧ C) = (B ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C) = 1 ∧ (B ∨ C) = B ∨ C

4. Подставим обратно:
   A ∧ (B ∨ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C)

5. Применим дистрибутивность:
   (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C)

6. Заметим, что (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) = C ∧ (A ∨ (¬A ∧ B)) = C ∧ (A ∨ B)

7. Итоговое выражение:
   (A ∧ B) ∨ (C ∧ (A ∨ B))

Ответ:
(A ∧ B) ∨ (C ∧ (A ∨ B))

---

Пример 2:

Дано:
(A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C)

Упрощение:

8. Заметим, что первые три скобки содержат A, а последняя — ¬A.

9. Упростим первые три скобки:
   (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) = A ∨ B ∨ (C ∧ ¬C) = A ∨ B ∨ 0 = A ∨ B

10. Теперь выражение:
    (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C)

11. Упростим (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C):
    A ∨ [B ∧ (¬B ∨ C)] = A ∨[(B∧¬B)∨(B∧C)]=A∨[0∨(B∧C)]=A∨(B∧C)[(B∧¬B)∨(B∧C)]=A∨[0∨(B∧C)]=A∨(B∧C)

12. Теперь выражение:
    (A ∨ (B ∧ C)) ∧ (¬A ∨ B ∨ C)

13. Применим дистрибутивность:
    (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C ∧ ¬A) ∨ (B ∧ C ∧ B) ∨ (B ∧ C ∧ C)

14. Упростим:
    0 ∨ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ C)

15. Итоговое выражение:
    (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

Ответ:
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

---

Пример 3:

Дано:
(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C)

Упрощение:

16. Вынесем общий множитель C последующих:
    (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ C ∧ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))

17. Упростим выражение в скобках:
    (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A ∧ (B ∨ ¬B) = A ∧ 1 = A
    (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) = ¬A ∧ (B ∨ ¬B) = ¬A ∧ 1 = ¬A C ∧ (A ∨ ¬A) = C ∧ 1 = C

18. Теперь выражение:
    (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ C = A ∧ B ∨ C

Ответ:
A ∧ B ∨ C

---

Пример 4:

Дано:
(A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C)

Упрощение:

19. Заметим, что первые 2 скобки содержат A ∨ B, а последние 2 — C. A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) | (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) = A ∨ (B ∧ C)

20. Упростим первые 2 скобки:
    ((A ∨ B) ∨ C) ∧ ((A ∨ B) ∨ ¬C) = (A ∨ B) ∨ (C ∧ ¬C) = (A ∨ B)

21. Теперь выражение:
    (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C)

22. Упростим (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C):
    C ∨ ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B)) = C ∨ ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B))

23. Упростим (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B):
    (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) = ((A ∧ ¬A) ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ (B ∧ ¬B)) = (0 ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ 0)

24. Теперь выражение:
    (A ∨ B) ∧ (C ∨ (¬B ∧ ¬A)) = (A ∨ B) ∧ (C ∨ ¬(B ∨ A))

25. Упростим:
    (A ∨ B) = Z | Z ∧ (C ∨ ¬Z) = (Z ∧ C) ∨ (Z ∧ ¬Z) = Z ∧ C

Ответ:
(A ∨ B) ∧ C

---

Пример 5:

Дано:
(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)

Упрощение:

27. Вынесем общий множитель B:
    B ∧ ((A ∧ C) ∨ (A ∧ ¬C) ∨ (¬A ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C))

28. Упростим выражение в скобках:
    (A ∧ C) ∨ (A ∧ ¬C) = A ∧ (C ∨ ¬C) = A ∧ 1 = A
    (¬A ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) = ¬A ∧ (C ∨ ¬C) = ¬A ∧ 1 = ¬A B ∧ (A ∨ ¬A) = B ∧ 1 = B

29. Теперь выражение:
    (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ B = A ∧ C ∨ B

Ответ:
A ∧ C ∨ B

---

Пример 6:

Дано:
(A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C)

Упрощение:

30. Заметим, что первые три скобки содержат A, а последние две — ¬A.

31. Упростим первые три скобки:
    (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) = A ∨ ((B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ (¬B ∨ C))

32. Упростим:
    (B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ (¬B ∨ C) = (B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ (B ∨ C) ∧ (¬B ∨ C) (B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ (B ∨ C) ∧ (¬B ∨ C) = (B ∨ (C ∧ ¬C)) ∧ ((B ∧ ¬B) ∨ C)) = B ∧ C

33. Теперь выражение:
    (A ∨ (B ∧ C)) ∧ (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C)

34. Упростим (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C):
    (¬A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C) = (¬A ∨ B) ∨ (C ∧ ¬C) = ¬A ∨ B

35. Теперь выражение:
    (A ∨ (B ∧ C)) ∧ (¬A ∨ B)

36. Упростим:
    (A ∨ (B ∧ C)) ∧ (¬A ∨ B) = (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ B) ∨ ((B ∧ C) ∧ ¬A) ∨ ((B ∧ C) ∧ B) 0 ∨ (A ∧ B) ∨ (B ∧ C ∧ ¬A) ∨ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∨ (B ∧ C) = B ∧ (A ∨ C)

37. Итоговое выражение:
    B ∧ (A ∨ C)

Ответ:
B ∧ (A ∨ C)