[TOC]
- 定积分的引入
- 【数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)】 https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP/?p=75&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d
- 开普勒三大定律；求椭圆中向径划过的面积：（极限+夹逼）
- x等分，y取最小矩形高和最大矩形高,$\Delta{x_i}=\frac{1}{n}\to0$
- x不等分，y取随便一个中间值 ->
$\lambda=max{x_i}\to{0}$
- x等分，y取最小矩形高和最大矩形高,$\Delta{x_i}=\frac{1}{n}\to0$
- 求运动物体的运动路程
- etc..
- 定积分的定义：
- 黎曼可积（可积）：
- 黎曼可积（可积）：
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- 达布和：
- 定义
- 定义
- 达布和引理：
- tbd..
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- （加法/标量乘法）线性性（证明：由于定积分运算等价于对应的R上数求和的运算，利用R上数的线性性可知定积分运算的线性性）
- 推论：F在[a,b]上可积，G在[a,b]上和F只有有限个点取值不同，则G可积且和F积分相同。
- 乘积可积性
- 保序性
- 绝对可积性
- 注意：F可积->|F|可积，但是反推不成立
- 例：$f=\begin{cases}1,&x有理数\-1,&x无理数\end{cases}$
- 注意：F可积->|F|可积，但是反推不成立
- 区间可加性
- tbd...
- 积分第一中值定理
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-
- 考虑g(x)=1:
- $\int^{b}_{a}f(x)g(x)dx=\begin{cases}\theta(b-a)&f可积\f(\theta)(b-a)&f连续\end{cases}$
- 考虑g(x)=1:
- （例）
- tbd..
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- 阿斯顿
- 变限积分应用：
- 证明不等式：（将不等式化为变限积分，然后考虑导数性质）
- $\int^{\frac{\pi}{2}}{0}f(\sin{x})dx=\int^{\frac{\pi}{2}}{0}f(\cos{x})dx, \ \int^{\pi}{0}{x\cdot{f(\sin{x})}}dx=\frac{\pi}{2}\int^{\pi}{0}f(\sin{x})dx$ (注意这里的积分限)
- $\int^{a}{0}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{4}\pi{a^2}, \ \int^{a}{-a}\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}\pi{a^2}$ 圆相关面积
- $\int^{\frac{\pi}{2}}{0}\sin^n{x}dx=\int^{\frac{\pi}{2}}{0}\cos^n{x}dx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot...\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为偶数 \ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot...\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} & n为奇数 \end{cases}$
- （例1）$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4{x}dx=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}$
- （例2）$\int^{\pi}{0}\sin^4{x}dx=2\int^{\frac{\pi}{2}}{0}\sin^4{x}dx=\frac{3\pi}{8}$ (结合几何意义，没有普遍性)
- 奇函数和偶函数在关于0对称的区间上求定积分：偶倍奇零
- 非奇/偶函数在关于0对称的区间上求定积分：
- 周期函数在一个周期长度内求定积分：$\int^{a+T}{a}f(x)dx=\int^{T}{0}f(x)dx=\int^{\frac{T}{2}}{-\frac{T}{2}}f(x)dx, \ \int^{a+nT}{a}f(x)dx=n\int^{a+T}_{a}f(x)dx$
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- 梯形公式（插值多项式，1点）
- Simpson公式（插值多项式，2点）
- 复化梯形公式
- 复化Simpson公式
在引入定积分中就讲过了，不过当时是通过具体例子来进行微元划分。这里将其进行一般化推广。这种微元划分是逻辑严密的。
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- 静态分布
- （例）
- 曲线静态分布
- （例）
- 曲线由直角坐标方程给出
- 曲线由参数方程给出
- 曲线由直角坐标方程给出
- 曲线由极坐标方程给出
- （例）
- （例）
- 曲边梯形绕x轴旋转（略）
- 曲边梯形绕y轴旋转
- 柱壳法
-
$dv=2\pi\cdot{r}\cdot\vert{f(x)}\vert\cdot{dx}$ , r为单位柱壳的底面半径。 $\Delta{v}=(\pi(x+dx)^2-\pi{x^2})\cdot\vert{f(x)}\vert=2\pi{x}\vert{f(x)}\vert{dx}$ - $V_y=\int^{b}{a}dv=\int^{b}{a}2\pi\cdot{x}\cdot\vert{f(x)}\vert\cdot{dx}$
- （例）
- 柱壳法
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- 曳线问题
- 火箭飞行的运动规律
- Logistic 人口模型 (回顾：马尔萨斯人口模型)
