Numerical Methodology

시간 무관 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해 유한차분법(Finite Difference Method, FDM)을 사용한다.

유한차분법에서는 미분을

$$ \frac{dy}{dx} \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} \approx \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} $$

로 근사함으로써 미분방정식을 수치적으로 해석한다.

1D space

1D에서 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E \psi(x) $$

로 나타난다.

1D에서 공간을 $[x_0,, x_1,, \cdots,, x_n], \quad x_i = x_0 + i \frac{x_n - x_0}{n}$으로 나누고, 위 미분 근사식을 이용하면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 형태로 나타난다.

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi_{i+1} + \psi_{i-1} - 2\psi_i}{h^2} + V_i \psi_i = E \psi_i, \quad i = 1,2,\cdots,n-1 $$

where

• $\psi_i = \psi(x_i)$
• $V_i = V(x_i)$
• $h = \frac{x_n - x_0}{n}$

이때 파동함수는 보통 정규화가 가능해야 하므로 $\psi_0 = \psi_n = 0$의 경계조건을 추가한다.

방정식이 모두 선형적이므로 방정식 시스템은 다음과 같은 고윳값 문제로 변형된다.

$$ \begin{bmatrix} 2\alpha + V_1 & -\alpha & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\alpha & 2\alpha+V_2 & -\alpha & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha & 2\alpha+V_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\alpha+V_{n-2} & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\alpha & 2\alpha+V_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \vdots \\ \psi_{n-2} \\ \psi_{n-1} \end{bmatrix} = E \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \vdots \\ \psi_{n-2} \\ \psi_{n-1} \end{bmatrix} $$

where

• $\alpha = \frac{\hbar^2}{2mh^2}$

이는 삼중대각 구조를 가지므로 보다 효율적으로 고윳값과 고유벡터를 계산할 수 있다.

본 프로젝트에서는 수치 고윳값 계산 알고리즘을 이용하여 가장 낮은 에너지 준위들과 대응하는 파동함수를 계산한다.

2D space

2D 공간에서 슈뢰딩거 방정식은

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) + V(x,y)\psi(x,y) = E\psi(x, y) $$

로 나타난다. 이때 유한차분법에서 이계미분계수는 각각

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+h,y) + \psi(x-h,y) - 2\psi(x,y)}{h^2}, $$

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \approx \frac{\psi(x,y+h)+\psi(x,y-h)-2\psi(x,y)}{h^2} $$

로 근사한다.

2D 공간을 정사각형 영역

$$ [x_0,x_n] \times [y_0,y_n] $$

으로 두고, 편의상 각 방향을 동일한 간격

$$ h = \frac{x_n - x_0}{n} = \frac{y_n - y_0}{n} $$

으로 분할하자. 그러면 유한차분 근사에서 2D 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 근사된다.

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\psi_{i+1,j} + \psi_{i-1,j} + \psi_{i,j+1} + \psi_{i,j-1} - 4\psi_{i,j}}{h^2} \right) + V_{i,j}\psi_{i,j} = E\psi_{i,j}, \quad i = 1,2,\cdots,n-1, \quad j=1,2,\cdots,n-1 $$

where

• $\psi_{i,j} = \psi(x_i,y_j)$
• $V_{i,j} = V(x_i,y_j)$

이는 다음의 5점 차분식으로 이해할 수 있다.

          (i,j+1)
              |
              |
(i-1,j) ---- (i,j) ---- (i+1,j)
              |
              |
          (i,j-1)

위와 마찬가지로 경계에서의 함숫값에 0을 대입한다. 즉

$$ \psi_{0,j} = \psi_{i, 0} = \psi_{n, j} = \psi_{i, n} = 0 $$

이다.

위와 같이 주어진 방정식을 행렬 표현으로 변환하기 위해 2차원 배열인 $\psi_{i, j}$를

$$ \mathbf{\Psi} = \begin{bmatrix} \psi_{1,1} \\ \psi_{1,2} \\ \vdots \\ \psi_{1,n-1} \\ \psi_{2,1} \\ \psi_{2,2} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

로 정의하자. 서로 인접한 5개의 점들이 하나의 방정식을 생성하므로, 인접한 점들을 서로 연결하기 위해 해밀토니안 행렬은

$$ H = \begin{bmatrix} A_1 & B & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ B & A_2 & B & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & B & A_3 & B & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n-2} & B \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & B & A_{n-1} \end{bmatrix} $$

로 구성되며, 이때

$$ A_i = \begin{bmatrix} 4\alpha + V_{i,1} & -\alpha & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\alpha & 4\alpha + V_{i,2} & -\alpha & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha & 4\alpha + V_{i,3} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 4\alpha + V_{i,n-2} & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\alpha & 4\alpha + V_{i,n-1} \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} -\alpha & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha \end{bmatrix} = -\alpha I $$

where

• $\alpha = \frac{\hbar^2}{2mh^2}$

이다. 결과적으로 이 또한 위와 같이 $H \mathbf{\Psi} = E \mathbf{\Psi}$의 고윳값 방정식으로 표현된다.

---

$$ T = \begin{bmatrix} 2\alpha & -\alpha & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\alpha & 2\alpha & -\alpha & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha & 2\alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\alpha & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\alpha & 2\alpha \end{bmatrix} $$

로 정의하면 $H = T \otimes I + I \otimes T + diag(V)$로 표현할 수 있다.

시간 진화 슈뢰딩거 방정식

1D space

2D space