A的逆矩阵： $AA^{-1} = A^{-1}A = I \Leftrightarrow A^{-1} = \frac{1}{\left|x\right|} A^{*}$
最重要的一点，我一直搞错了：矩阵A的伴随矩阵( $A^*$ )是余子矩阵的转置！！！
因此对于二阶矩阵A，
$$A = \begin{bmatrix}
a&b \\
c&d
\end{bmatrix}$$
A的余子矩阵为：
$$B = \begin{bmatrix}
d&-c \\
-b&a
\end{bmatrix}$$
所以，
$$ A^{*} = B^{T}= \begin{bmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{bmatrix}$$
所以，二阶矩阵的逆矩阵：
$$ A^{-1} = \frac{1}{\left|x\right|} \begin{bmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{bmatrix}$$
参考：
-https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5
-https://tchel.github.io/2018/09/29/The-Inverse-Matrix-of-2x2/
在n元置换下保持不变的多项式就是对称多项式。
例如: $f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^4$ , 把 $x_1和x_2$ 互换位置，很显然多项式保持不变。
定义：一个矩阵A $\in R^{n\times n}$或者 $\in C^{n\times n}$ 能表示为：
$$ P = DAD^{-1} $$
其中D是可逆矩阵，而P是对角矩阵（只有对角线上有元素的矩阵），那就称A能够对角化。
很自然的，我们想知道矩阵对角化有啥用处，又或是什么情况下矩阵能够对角化呢？
i. 矩阵A可以对角化当且仅当：
- 矩阵A的所有特征值都不同，那么A总能对角化。
- 矩阵A的特征值有重根，需要满足：特征值对应的特征向量个数要等于特征根的重数。
ii. 具体步骤：
-
$det\left|A - \lambda I\right| = 0$，求出 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$。
-
$对于每个特征值，(A - \lambda_{i}I)v_{i} = 0$，求出 $v_1, v_2,...,v_n$。
- 如果满足i中的要求, $D = [v_1, v_2,...,v_n]$, $P=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。
iii. 重要结论: 矩阵幂的递推
利用 $P = DAD^{-1}$ ，我们计算 $P^2$ ：
$$P^2 = A \cdot A = (D^{-1}AD)(D^{-1}AD).$$
由于矩阵乘法的结合性和 $D^{-1}D = I$ （单位矩阵），得到：
$$P^2 = DA(D^{-1}D)AD^{-1} = DA^2D^{-1}.$$
类似地，计算 $A^3$ ：
$$A^3 = A \cdot A^2 = (DAD^{-1})(DA^2D^{-1}) = PA^3P^{-1}.$$
归纳得：
$$P^n = DA^nD^{-1}.$$
iv. 应用
- 简化矩阵的逆运算：
考虑一个人口模型，状态转移矩阵为：
$$A = \begin{bmatrix}
0.8&0.4\\
0.6&0.7
\end{bmatrix}$$
目标：预测n年后的状态：$x_n = A^{n}x_o$
如果矩阵A可对角化，那就简单多了， P = $DAD^{-1}$， $P^n = DA^{n}D^{-1}$， $P^{n} = diag(\lambda_{1}^{n},\lambda_{2}^{n},...,\lambda_{n}^{n})$。
这个核心思想是构造一个能呈现出斐波那契数列递归规律的矩阵，然后通过2中的思想来解方程。
$$ A = \begin{bmatrix}
0&1 \\
1&1
\end{bmatrix}$$
$$ A^2 = \begin{bmatrix}
1&1 \\
1&2
\end{bmatrix}$$
$$ A^3 = \begin{bmatrix}
1&2 \\
2&3
\end{bmatrix}$$
$$ A^4 = \begin{bmatrix}
2&3 \\
3&5
\end{bmatrix}$$
$$ A^5 = \begin{bmatrix}
3&5 \\
5&8
\end{bmatrix}$$
$$ \left| A - \lambda I \right| = \lambda^2-\lambda-1=0$$
$$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \quad v_1 = \begin{pmatrix} -1 , \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{pmatrix}$$
$$\lambda_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 , \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{pmatrix}$$
$$ B = \begin{bmatrix}
-1&1 \\
\frac{\sqrt{5}-1}{2}&\frac{\sqrt{5}+1}{2}
\end{bmatrix}$$
$$ P = \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{5}-1}{2}&0 \\
0&\frac{\sqrt{5}+1}{2}
\end{bmatrix}$$
$$ P^n = \begin{bmatrix}
(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n&0 \\
0&(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n
\end{bmatrix}$$
可以说是 $B^{-1}AB = P$, 也就是 $A = BPB^{-1}$, $B^{-1}A^{m}B = P^m$。
而 $A^m$我们已经知道了：
$$ A^m = \begin{bmatrix}
f_{m-1}&f_m \\
f_m&f_{m+1}
\end{bmatrix}$$
所以， $A^{m} = BP^{m}B^{-1}$, 仅观察 $BP^{m}B^{-1}$的右上角那个元素就会发现：
$$ \frac{\lambda_{1}^{m}-\lambda_{2}^{m}}{-\sqrt{5}} = f_{m} $$
$$f_m = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^m - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^m}{\sqrt{5}}$$
这正是斐波那契数列的通项公式。（精彩！）