Aula_6_EstMat_PG.qmd

---
format: 
  revealjs:
    theme: ["theme/q-theme.scss"]
    slide-number: c/t
    #logo: "https://www.faest.icen.ufpa.br/images/110.png"
    #footer: "[https://github.com/paulocerqueirajr](https://https://github.com/paulocerqueirajr)"
    code-copy: true
    center-title-slide: false
highlight-style: a11y
code-link: true
height: 1080
width: 1900
execute: 
  eval: true
  echo: true
lang: pt
---

<h1> Estatística Matemática </h1>

<h2> Intervalos de confiança </h2>

<hr>

<br>

<h3> Prof. Paulo Cerqueira Jr - cerqueirajr@ufpa.br <br>
Faculdade de Estatística - FAEST <br>
Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística - PPGME<br>
Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICEN
</h3>

<h3>  </h3>
<br>

<h3> [https://github.com/paulocerqueirajr](https://https://github.com/paulocerqueirajr)

![](github.jpg){.absolute top=620 left=845 height="80"}

![](ppgme.jpg){.absolute top=5 left=1700 height="210"}



# [Introdução]{style="float:right;text-align:right;"} {background-color="#00008B"}

## Introdução
<hr>
<br/>
<br/>


* Tudo que vimos até agora estava relacionado a `estimação pontual`.
<br/>
		
* Dessa forma a inferência é baseada somente em um valor.
<br/>
		
* E como cada `estimador pontual` é uma variável aleatória e uma distribuição de probabilidade, podemos obter uma estimativa mais informativa para o parâmetro de interesse.
<br/>

* Que implica em encontrar maior precisão para o valor obtido, dando uma ideia de variabilidade do estimador.
		


## Quantidade Pivotal
<hr>

<br/>
<br/>


:::{#def-def1}
Uma v.a. $Q(X_1,X_2,\dots ,X_n; \theta) = Q(\textbf{X}; \theta)$ é dita ser uma quantidade pivotal para o parâmetro $\mu$ se sua distribuição for independente de $\theta$.
:::

* Observe que $Q(\textbf{X}; \theta)$ não é uma estatística, pois seu valor depende de $\theta$. 

* Podemos, para cada $0 < \gamma < 1$ fixado, encontrar $\lambda_1$ e $\lambda_2$ na distribuição de $Q(\textbf{X}; \theta)$ de modo que

$$P(\lambda_1\leq  Q(\textbf{X}; \theta)\leq \lambda_2 )=\gamma.$$


## Quantidade pivotal
<hr>


* Se para cada $\textbf{X}$ existirem $t_{1}(\textbf{X})$ e $t_{2}(\textbf{X})$


$$\lambda_1\leq  Q(\textbf{X}; \theta)\leq \lambda_2\Leftrightarrow t_{1}(\textbf{X})\leq  \theta \leq t_{2}(\textbf{X}) $$

então

$$P( t_{1}(\textbf{X})\leq  \theta \leq t_{2}(\textbf{X}) )=\gamma.$$


* Assim, $[t_1(\textbf{X}); t_2(\textbf{X})]$ é um intervalo aleatório que contém $\theta$ com coeficiente de confiança $\gamma$, chamado de Intervalo de Confiança para $\theta$.

::: {.callout-note appearance="simple"}
## Importante:

A notação usada para referenciar intervalos de confiança é:

$$IC(\theta, \gamma \%).$$
:::

## Quantidade pivotal
<hr>

<br/>



::: {.callout-note appearance="simple"}
## Observação 1:

Em geral, quando a v.a. $X$ é discreta não conseguimos determinar $\lambda_1$ e $\lambda_2$ que satisfazem a expressão exatamente. Neste caso, os valores de $\lambda_1$ e $\lambda_2$ devem satisfazer a expressão para um coeficiente de confiança maior ou igual a $\gamma$ (o mais próximo possível).
:::
<br/>

. . .

::: {.callout-note appearance="simple"}
## Observação 2:

Existem muitos pares $(\lambda_1; \lambda_2)$ satisfazendo a expressão, devemos escolher aquele que produz o intervalo de menor comprimento.
:::

## Exemplo:
<hr>

:::{#exr-exr1}
Seja $X_1,X_2,\dots, X_n$ uma a.a. de $X \sim Exp(\theta)$. Construa um intervalo de confiança (I.C.) para $\theta$.
:::
. . . 

<br/>

Podemos mostrar que $T =\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}$ é suficiente para $\theta$, e $T\sim Gama(n; \theta)$. Logo, $T$ não pode ser considerada uma quantidade pivotal para $\theta$. Por outro lado, também podemos
mostrar que

. . .

$$Q(\textbf{X}; \theta) = 2\theta \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\sim \chi_{2n}^{2}.$$

Agora $Q$ é uma quantidade pivotal. Então,

$$P(\lambda_1\leq  2\theta \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\leq \lambda_2 )=\gamma.$$

## Exemplo:
<hr>
<br/>
Isolando o $\theta$ temos,

$$\lambda_1\leq  2\theta \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\leq \lambda_2 \Leftrightarrow  \dfrac{\lambda_{1}}{2\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}}\leq \theta \leq \dfrac{\lambda_{2}}{2\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}}$$

Logo, 

$$IC(\theta, \gamma\%)=\left[\dfrac{\lambda_{1}}{2\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}}; \dfrac{\lambda_{2}}{2\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}} \right].$$



## Exemplo
<hr>
<br/>

Supondo que temos uma amostra aleatória de tempos de vida de aparelhos eletrônicos, e queremos calcular o $IC(\theta, 90\%)$.

$$\left\{
\begin{array}{l}
n=20\\
\bar{X}=3,975 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}X_{i}=n*\bar{X}=20*3,975=79,5\\
\chi_{2*20}^{2}=\chi_{40}^{2}\\
\end{array}
\right.$$


Os valores de $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ são tais que $P(\lambda_{1}\leq  \chi_{40}^{2}\leq \lambda_{2})=90\%.$


## Exemplo
<hr>
<br/>

Como existirão vários pares de valores $(\lambda_1; \lambda_2)$ na distribuição $\chi_{40}^{2}$ satisfazendo a condição
acima, tomaremos aquele par que satisfaz também

$$P(\chi_{40}^{2}\leq \lambda_{1})=\dfrac{1-0,9}{2}=0,05=P(\chi_{40}^{2}\geq \lambda_{2})$$

Logo, $\lambda_{1}=26,51$ e $\lambda_{2}=55,76$,


$$IC(\theta, 90\%)=\left[\dfrac{26,51}{2*79,5}; \dfrac{55,76}{2*79,5}\right]=\left[0,17;0,35\right].$$

. . .


::: {.callout-note appearance="simple"}
## Interpretação:

Este intervalo contém o verdadeiro valor de $\theta$ com probabilidade de 90\%, ou seja, de cada 100 intervalos numéricos construídos desta forma, aproximadamente 90% deles vão conter o valor verdadeiro de $\theta$.
:::


## Exemplo


```{r fig_int5, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}
library(ggplot2)
plot_chisq_distribution <- function(df, alpha = 0.05) {
  x_vals <- seq(0, qchisq(0.999, df), length.out = 1000)
  y_vals <- dchisq(x_vals, df)
  data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
  
  # Quantis críticos
  chi_lower <- qchisq(alpha / 2, df)
  chi_upper <- qchisq(1 - alpha / 2, df)
  
  ggplot(data, aes(x, y)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_area(data = subset(data, x <= chi_lower), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_area(data = subset(data, x >= chi_upper), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_vline(xintercept = chi_lower, linetype = "dashed", color = "black") +
    geom_vline(xintercept = chi_upper, linetype = "dashed", color = "black") +
    labs(title = "Distribuição Qui-Quadrado e Intervalo de Confiança para Variância",
         x = "Chi-Quadrado", y = "Densidade") +
    theme_minimal()
}

plot_chisq_distribution(df = 40, alpha = 0.05)

```


## Interpretação do IC

Intervalos de confiança com $\gamma=0,9$.

```{r fig_int, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}
	

# ## Código para o intervalo de confiança:
	# 
	# 	# Número de réplicas:
	# 	rept=10
	# 	# Tamanho amostral para cada réplica:
	# 	n=1000
	# 	# Média:
	# 	mu=10
	# 	# Variância:
	# 	sigma2=9
	# 	# Confiança:
	# 	gama=0.9
	# 
	# 	## Realizando o gráfico:
	# 
	# 	plot(x=0,y=0,ylim=c((mu-0.5),(mu+0.5)),xlim=c(0,(rept+1)), xlab="Amostras", ylab="IC 90%")
	# 	abline(h=mu,col='red')
	# 	for(r in 1:rept){
	# 		x=rnorm(n,mu,sqrt(sigma2))
	# 		erro=sqrt(sigma2)*qnorm((.5+gama/2))/sqrt(n)
	# 		ic=c((mean(x)-erro),(mean(x)+erro))
	# 		lines(y=ic,x=c(r,r))
	# 		#Sys.sleep(0.2)
	# 	}
		
		# Função para visualizar a interpretação de um intervalo de confiança
library(ggplot2)
library(gganimate)
library(gifski)
library(av)

# Função para visualizar a interpretação de um intervalo de confiança com animação e salvar como GIF
plot_confidence_intervals <- function(N = 30, mean = 0, sd = 1, n = 30, alpha = 0.05, filename = "intervalos_confiança.gif") {
  set.seed(123)
  intervals <- data.frame(
    sample_id = 1:N,
    lower = rnorm(N, mean, sd / sqrt(n)) - qnorm(1 - alpha / 2) * (sd / sqrt(n)),
    upper = rnorm(N, mean, sd / sqrt(n)) + qnorm(1 - alpha / 2) * (sd / sqrt(n)),
    contains_theta = NA
  )
  intervals$contains_theta <- ifelse(intervals$lower <= mean & intervals$upper >= mean, "Sim", "Não")
  
  p <- ggplot(intervals, aes(x = sample_id, ymin = lower, ymax = upper, color = contains_theta)) +
    geom_errorbar(width = 0.3) +
    geom_hline(yintercept = mean, linetype = "dashed", color = "black") +
    scale_color_manual(values = c("Sim" = "blue", "Não" = "red")) +
    ggtitle("") +
    xlab("Amostras") + ylab("Intervalo de Confiança") +
    theme_minimal() +
    transition_states(sample_id, transition_length = 1, state_length = 1) +
    enter_fade() + exit_fade()
  
  #anim <- animate(p, renderer = gifski_renderer(), width = 800, height = 600, fps = 10, duration = 5)
  #anim_save(filename, animation = anim)
  p
}

# Gerando e salvando gráfico animado
plot_confidence_intervals(N = 10, mean = 5, sd = 1, n = 1000, alpha = 0.05, filename = "intervalos_confiança.gif")
		
		
```



# [Intervalo de confiança para populações normais]{style="float:right;text-align:right;"}{background-color="#00008B"}

## Caso de uma única 
<hr>
<br/>

* Considere inicialmente uma o caso de somente uma amostra.

* Neste caso é necessário adotar alguma suposições sobre a distribuição de probabilidade da característica $X$.

* Dessa forma, assuma agora que a amostra aleatória tenha a seguinte suposição

$$X_{1}, \dots, X_{n} \text{ uma a.a. de } X\sim N(\mu, \sigma^2).$$

* Será apresentado a seguir alguns casos relacionados a suposição anteriormente assumida. 

* Neste caso, sobre o conhecimento ou não de $\sigma^2$.

## Caso 1: Intervalo para $\mu$ com $\sigma^2$ conhecido
<hr>

* Neste caso, uma quantidade pivotal para $\theta$, baseada na estatística suficiente $\sum\limits_{i=1}^{n} X_i = n\bar{X}$,
é dada por

$$Q(\textbf{X}; \mu) = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1). $$

* Dessa forma, dado $\gamma$, determinamos $\lambda_1$ e $\lambda_2$ de modo que


$$P\left(\lambda_1\leq  \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq \lambda_2 \right)=\gamma.$$

* Como a distribuição $N(0, 1)$ é simétrica, o intervalo de menor comprimento é o intervalo simétrico. 

* Assim, sejam $\lambda_1 = -z_{\alpha/2}$ e $\lambda_2 = z_{\alpha/2}$ tais que $P(Z \geq z_{\alpha/2}) = \alpha/2$, com $Z \sim N(0, 1)$ e $\alpha = 1 -\gamma$.


## Caso 1: Intervalo para $\mu$ com $\sigma^2$ conhecido
<hr>

```{r fig_int1, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}
# plot(function(x) dnorm(x) ,xlim=c(-4, 4), ylim=c(0, 0.4), ylab="Densidade", lwd=2, col="black")
# xx <- seq(-1.96, -0.01, l=200)
# yy <- rbind(cbind(rev(xx), 0), cbind(xx, dnorm(xx)))
# polygon(yy, col="lightblue")
# text(-1, 0.1, labels=expression(gamma/2), col="black")
# xx <- seq(0.01, 1.96, l=200)
# yy <- rbind(cbind(rev(xx), 0), cbind(xx, dnorm(xx)))
# polygon(yy, col="lightblue")
# text(1, 0.1, labels=expression(gamma/2), col="black")
# abline(h=0)



# # Função para criar gráficos dos quantis
# plot_quantiles <- function(distribution, df = NULL, alpha = 0.05, mean = 0, sd = 1) {
#   x_seq <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
#   
#   if (distribution == "normal") {
#     x_seq <- seq(mean - 4*sd, mean + 4*sd, length.out = 1000)
#     dens <- dnorm(x_seq, mean, sd)
#     q_low <- qnorm(alpha/2, mean, sd)
#     q_high <- qnorm(1 - alpha/2, mean, sd)
#     dist_label <- "Distribuição Normal"
#   } else if (distribution == "t") {
#     x_seq <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
#     dens <- dt(x_seq, df)
#     q_low <- qt(alpha/2, df)
#     q_high <- qt(1 - alpha/2, df)
#     dist_label <- paste("Distribuição t (df =", df, ")")
#   } else if (distribution == "chisq") {
#     x_seq <- seq(0, 20, length.out = 1000)
#     dens <- dchisq(x_seq, df)
#     q_low <- qchisq(alpha/2, df)
#     q_high <- qchisq(1 - alpha/2, df)
#     dist_label <- paste("Distribuição Qui-Quadrado (df =", df, ")")
#   }
#   
#   data <- data.frame(x = x_seq, y = dens)
#   
#   ggplot(data, aes(x, y)) +
#     geom_line(color = "blue") +
#     geom_area(data = subset(data, x >= q_low & x <= q_high), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
#     geom_vline(xintercept = c(q_low, q_high), linetype = "dashed", color = "black") +
#     ggtitle(dist_label) +
#     xlab("x") + ylab("Densidade") +
#     theme_minimal()
# }
# 
# # Gerando gráficos
# p1 <- plot_quantiles("normal", mean = 0, sd = 1) # Média com variância conhecida
# p1


library(ggplot2)

# Função para plotar a distribuição normal e destacar a região crítica para média (variância conhecida)
plot_normal_distribution <- function(mean = 0, sd = 1, alpha = 0.05) {
  x_vals <- seq(mean - 4 * sd, mean + 4 * sd, length.out = 1000)
  y_vals <- dnorm(x_vals, mean, sd)
  data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
  
  # Quantis críticos
  z_lower <- qnorm(alpha / 2, mean, sd)
  z_upper <- qnorm(1 - alpha / 2, mean, sd)
  
  ggplot(data, aes(x, y)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_area(data = subset(data, x <= z_lower), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_area(data = subset(data, x >= z_upper), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_vline(xintercept = z_lower, linetype = "dashed", color = "black") +
    geom_vline(xintercept = z_upper, linetype = "dashed", color = "black") +
    labs(title = "Distribuição Normal e Intervalo de Confiança para Média (Variância Conhecida)",
         x = "Z", y = "Densidade") +
    theme_minimal()
}
plot_normal_distribution(mean = 0, sd = 1, alpha = 0.05)


```


## Caso 1: Intervalo para $\mu$ com $\sigma^2$ conhecido
<hr>
<br/>

Portanto, o intervalo de menor comprimento é dado por


$$-z_{\alpha/2}\leq  \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq z_{\alpha/2} \Leftrightarrow -z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\leq  \bar{X}-\mu\leq z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}.$$
Em que,

$$ -\bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\leq  -\mu\leq-\bar{X}+ z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}  \Leftrightarrow \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\leq  \mu\leq \bar{X}+ z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}.$$


Logo, 

$$IC(\mu, \gamma\%)=\left[ \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}; \bar{X}+z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}  \right].$$



## Caso 2: Intervalo para $\mu$ com $\sigma^2$ desconhecido
<hr>


* Vimos que
$$Q(\textbf{X}; \mu) = \dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}. $$


* Ou seja, é uma `quantidade pivotal` para $\theta$. 


* Assim, dado o coeficiente de confiança $\gamma$, podemos encontrar $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ na distribuição $t_{n-1}$, tais que
$$P\left(\lambda_1\leq  \dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\leq \lambda_2 \right)=\gamma.$$

* Como a distribuição $t_{n-1}$ é simétrica, tomamos $\lambda_1 = -t_{\alpha/2}$ e $\lambda_2 = t_{\alpha/2}$ tais que $P(T \geq t_{\alpha/2}) = \alpha/2$, com $T\sim t_{n-1}$ e $\alpha = 1 -\gamma$. Assim,


$$IC(\mu, \gamma\%)=\left[ \bar{X}-z_{\alpha/2}S/\sqrt{n}; \bar{X}+z_{\alpha/2}S/\sqrt{n}  \right].$$


## Caso 2: Intervalo para $\mu$ com $\sigma^2$ desconhecido
<hr>


```{r fig_int2, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}

# Função para plotar a distribuição t de Student para média (variância desconhecida)
plot_t_distribution <- function(df, alpha = 0.05) {
  x_vals <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
  y_vals <- dt(x_vals, df)
  data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
  
  # Quantis críticos
  t_lower <- qt(alpha / 2, df)
  t_upper <- qt(1 - alpha / 2, df)
  
  ggplot(data, aes(x, y)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_area(data = subset(data, x <= t_lower), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_area(data = subset(data, x >= t_upper), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_vline(xintercept = t_lower, linetype = "dashed", color = "black") +
    geom_vline(xintercept = t_upper, linetype = "dashed", color = "black") +
    labs(title = "Distribuição t de Student e Intervalo de Confiança para Média (Variância Desconhecida)",
         x = "t", y = "Densidade") +
    theme_minimal()
}
plot_t_distribution(df = 10, alpha = 0.05)
```



## Caso 2: Intervalo de confiança para $\sigma^2$
<hr>


* Vimos que
$$Q(\textbf{X}; \sigma^2) = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^{2}_{n-1}. $$

* $Q(\textbf{X}; \sigma^2)$ é uma quantidade pivotal para $\sigma^2$.

* Assim, dado o coeficiente de confiança $\gamma$, podemos encontrar $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ na distribuição $\chi^{2}_{n-1}$, tais que

$$P\left(\lambda_1\leq  \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}  \leq \lambda_2 \right)=\gamma.$$


Considerando o intervalo simétrico, tomamos $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$, tais que $P(\chi_{n-1}^{2} \geq \lambda_{2}) = P(\chi_{n-1}^{2} \leq \lambda_{1}) = \alpha/2$, com $\alpha = 1 -\gamma$. 



## Caso 2: Intervalo de confiança para $\sigma^2$
<hr>


```{r fig_int3, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}

plot_chisq_distribution <- function(df, alpha = 0.05) {
  x_vals <- seq(0, qchisq(0.999, df), length.out = 1000)
  y_vals <- dchisq(x_vals, df)
  data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
  
  # Quantis críticos
  chi_lower <- qchisq(alpha / 2, df)
  chi_upper <- qchisq(1 - alpha / 2, df)
  
  ggplot(data, aes(x, y)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_area(data = subset(data, x <= chi_lower), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_area(data = subset(data, x >= chi_upper), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_vline(xintercept = chi_lower, linetype = "dashed", color = "black") +
    geom_vline(xintercept = chi_upper, linetype = "dashed", color = "black") +
    labs(title = "Distribuição Qui-Quadrado e Intervalo de Confiança para Variância",
         x = "Chi-Quadrado", y = "Densidade") +
    theme_minimal()
}

plot_chisq_distribution(df = 10, alpha = 0.05)

```



## Caso 2: Intervalo de confiança para $\sigma^2$
<hr>


Assim


$$\lambda_1\leq  \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}  \leq \lambda_2 \Leftrightarrow \dfrac{\lambda_1}{(n-1)S^2}\leq  \dfrac{1}{\sigma^2}  \leq \dfrac{\lambda_2}{(n-1)S^2}.$$

$$\dfrac{(n-1)S^2}{\lambda_2}\leq  \sigma^2 \leq \dfrac{(n-1)S^2}{\lambda_1}.$$

Logo,

$$IC(\sigma^2, \gamma\%)=\left[ \dfrac{(n-1)S^2}{\lambda_2}; \dfrac{(n-1)S^2}{\lambda_1} \right].$$


## Observações:
<hr>

* A amplitude do intervalo de confiança é dada pela diferença entre o limite superior e o limite inferior;

* É usual referir-se à semi-amplitude, como o erro envolvido na estimação.

* Por exemplo, considerando o intervalo para a média com $\sigma^2$ conhecido, temos

$$\begin{array}{ll}
\text{amplitude} &= \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n} - (\bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n})\\
&= 2 \times z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}.
\end{array}$$

e

$$\text{erro} = \dfrac{\text{amplitude}}{2} = z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}.$$


## Relação entre medidas
<hr>

<br/>

:::{.callout-note appearance="simple"}
## Assim, observamos que a amplitude do intervalo depende de $\gamma$, $\sigma$ e $n$:

* se aumentamos o $\gamma$, o valor de $z_{\alpha/2}$ aumenta e, consequentemente, a amplitude do intervalo também aumenta.

* uma variância grande indica a possibilidade de um considerável distanciamento dos possíveis valores da amostra em relação à média populacional. A amostra pode fornecer um valor de $\bar{x}$ muito influenciado por valores extremos.

* para uma mesma variabilidade $\sigma$ e confiança $\gamma$, valores maiores de $n$ produzem intervalos menores e, portanto, mais informativos.

:::

## Exemplos
<hr>
<br/>
<br/>

:::{#exm-exm1}
Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das conexões de seus clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. São desconhecidas a média e a distribuição de probabilidade desse tempo, mas o desvio padrão,
por analogia a outros serviços, é considerado igual a
$\sqrt{50}$ minutos. Uma amostra de 500 conexões resultou num valor médio observado de 25 minutos. O que dizer da verdadeira
média, com confiança 92\%?
:::


## Exemplos
<hr>
<br/>
<br/>

:::{#exm-exm2}
Uma amostra de 61 cidades brasileiras, de até 20 mil habitantes, forneceu o valor médio da hora aula para os professores do ensino fundamental em escolas municipais
de R\$ 2,5 e um desvio padrão igual a R\$ 1,1. Obtenha um I.C. para o valor médio nacional da hora aula em cidades do tipo mencionado. Use $\gamma= 0,95$.
:::

## Exemplos
<hr>
<br/>
<br/>

:::{#exm-exm3}
A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio padrão de 4,5 meses. De qual
tamanho deverá ser a amostra, para que a amplitude do intervalo de 90\% de confiança para a vida média seja de 3 meses?
:::

## Exemplos
<hr>
<br/>
<br/>

:::{#exm-exm4}
Um fabricante deseja estudar a duração de baterias que são utilizadas em _smartwacths_. Uma amostra de vários lotes fabricados por uma mesma companhia foi submetida a testes acelerados e produziram os seguintes tempos de duração (em anos): 1,2; 1,4; 1,7; 1,3; 1,2; 2,3; 2,0; 1,5; 1,8; 1,4; 1,6; 1,5; 1,7; 1,5 e 1,3. Determine intervalos com 90\% de confiança para a média e a variância do tempo de duração dessas pilhas.
:::

# [Intervalos de confiança para populações não normais]{style="float:right;text-align:right;"}{background-color="#00008B"}

## Intervalo para a grandes amostras
<hr>


* E se a variável X avaliada em uma determinada população não é normal.

* Como podemos construir intervalos de confiança para o nosso parâmetro de interesse?
	
* Há alguma aproximação usando o TCL, como vimos anteriormente?

. . . 

* Sim podemos!!

* E dessa forma podemos obter intervalos de confiança para o parâmetro de interesse.

* Nesse caso, o intervalo será construído com um coeficiente de confiança aproximadamente igual à $\gamma$.

* Como na definição do `TCL`, quanto maior o tamanho amostral ($n$), melhor. (`Muito melhor`).

$$
IC(\mu;\gamma)\simeq\left[\hat{\theta}-z_{\gamma/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\hat{\theta}+z_{\gamma/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}  \right].
$$

$z_{\gamma/2}$: representa o quantil da distribuição $N(0,1)$.

# Intervalo de confiança para a proporção $p$

## Intervalo para a proporção $p$
<hr>

* Vimos que pelo TCL, a distribuição amostral da proporção,

$$
\hat{p}\sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)
$$

* Dessa forma o IC é dado por,

$$
IC(p;\gamma)\simeq\left[\hat{p}-z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};\hat{p}+z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right].
$$




## Intervalo para a proporção $p$
<hr>

* Note que na formula acima $p$ está como desconhecido.


* Uma solução é usar $\hat{p}(1-\hat{p})$ ao invés de $p(1-p)$.

* Assim, para um intervalo otimista:

$$
IC(p;\gamma)\simeq\left[\hat{p}-z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}}{\sqrt{n}};\hat{p}+z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}}{\sqrt{n}}  \right].
$$

* Outra abordagem é baseada no fato que a expressão $p(1-p)$ ter valor máximo igual à $1/4$. Assim, mais conservador

$$
IC(p;\gamma)\simeq\left[\hat{p}-z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{1/4}}{\sqrt{n}};\hat{p}+z_{\gamma/2}\frac{\sqrt{1/4}}{\sqrt{n}}  \right].
$$


## Exercícios
<hr>

Em um certo lago, uma amostra aleatória de 1000 peixes acusou 290 Tilápias. Construa o intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira de Tilápias. Interprete-o.



# [Intervalos de confiança para duas populações normais]{style="float:right;text-align:right;"}{background-color="#00008B"}

## Introdução
<hr>

* Podemos calcular intervalos de confiança para duas amostras.

* Sempre com o objetivo de fazer comparações:

  - Médias;
  - Variâncias;

* Assuma agora que se tenha duas amostras aleatórias com a seguinte suposição

$$X_{1}, \dots, X_{n} \text{ uma a.a. de } X\sim N(\mu_1, \sigma^2)$$

$$Y_{1}, \dots, Y_{m} \text{ uma a.a. de } X\sim N(\mu_2, \sigma^2)$$

$$X\  \text{e} \ Y \ \text{independentes.}$$

## Introdução
<hr>

* Sabemos que 

$$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \sigma^2 \left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}\right)  \right)$$

de modo que, sendo $\theta = \mu_1 - \mu_2$, consideramos a quantidade pivotal

$$Q(\textbf{X}, \textbf{Y};\theta)=\dfrac{\bar{X}-\bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}}\sim N\left(0,1  \right).$$


# Caso 1: $\sigma^2$ conhecido

## Caso 1: $\sigma^2$ conhecido
<hr>

* Nesse caso temos, como no caso de uma amostra, o intervalo


$$IC(\theta, \gamma\%)=\bar{X}-\bar{Y} \pm z_{\alpha/2}\sigma\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}$$

onde $z_{\alpha/2}$ é tal que $P(Z \geq z_{\alpha/2}) = \alpha/2$, com $Z \sim N(0, 1)$ e $\alpha = 1 -\gamma$.


# Caso 2: $\sigma^2$ desconhecido

## Caso 2: $\sigma^2$ desconhecido
<hr>

* Considere a seguinte quantidade pivotal:

$$Q(\textbf{X}, \textbf{Y};\theta)=\dfrac{\bar{X}-\bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}}\sim t_{n+m-2}.$$


onde
$$S_{p}^2=\dfrac{(n-1)S_{x}^{2}+(m-1)S_{y}^{2}}{n+m-2},$$

em que $S_{x}^{2}$ e $S_{y}^{2}$ são as variâncias amostrais.


## Caso 2: $\sigma^2$ desconhecido


* Dessa forma, o intervalo de confiança é dado por


$$IC(\theta, \gamma\%)=\bar{X}-\bar{Y} \pm t_{\alpha/2}S_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}$$

em que $t_{\alpha/2}$ é o quantil de uma distribuição $t-student$.


## Caso 2: IC para $\sigma^2$
<hr>

* Como 

$$\dfrac{(n-1)S_{x}^{2}}{\sigma^2}\sim \chi^{2}_{n-1} \ \ \text{e} \ \ \dfrac{(m-1)S_{y}^{2}}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{m-1}$$

como $S_{x}^{2}$ e $S_{y}^{2}$ são independentes,


$$\dfrac{(n+m-2)S_{p}^{2}}{\sigma^2}=\dfrac{(n-1)S_{x}^{2}+(m-1)S_{y}^{2}}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n+m-2}$$


## Caso 2: IC para $\sigma^2$
<hr>

* Para construírmos um I.C. para $\sigma^2$, podemos considerar a quantidade pivotal


$$Q(\textbf{X}, \textbf{Y};\sigma^2)=\dfrac{(n+m-2)S_{p}^{2}}{\sigma^2}=\dfrac{(n-1)S_{x}^{2}+(m-1)S_{y}^{2}}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n+m-2}.$$

* Temos então, $P(\chi_{n+m-2}^{2} \geq \lambda_{2}) = P(\chi_{n+m-2}^{2} \leq \lambda_{1}) = \alpha/2$, com $\alpha = 1 -\gamma$.

* O intervalo de confiança para $\sigma^2$ é dado por


$$IC(\sigma^2, \gamma\%)=\left[\dfrac{(n+m-2)S_{p}^{2}}{\lambda_2} ; \dfrac{(n+m-2)S_{p}^{2}}{\lambda_1}\right].$$




# IC para comparação de variâncias

## IC para comparação de variâncias
<hr>

* No caso em que $X\sim N(\mu_1, \sigma^2_{1})$ e $Y\sim N(\mu_2, \sigma^2_{2})$ e o interesse é a construção de um IC para $\sigma^2_1/\sigma^2_2$. 

* A quatidade pivotal é dada por:


$$Q(\textbf{X}, \textbf{Y};\theta)=\dfrac{(m-1)S_{y}^{2}/\sigma_{2}^{2}(m-1)}{(n-1)S_{x}^{2}/\sigma_{1}^{2}(n-1)}\sim F_{m-1;n-1}.$$

onde $F_{m-1;n-1}$ denoda a distribuição F, com $m-1$ e $n-1$ graus de liberdade, é uma quantidade pivotal para $\theta=\sigma^2_1/\sigma^2_2$.


## IC para comparação de variâncias
<hr>

* Assim, dado $\gamma$, podemos determinar $\lambda_1$ e $\lambda_2$, na distribuição $F_{m-1; n-1}$, em que

$$P\left(  \lambda_1 \leq \dfrac{\sigma_{1}^{2}S_{y}^{2}}{\sigma_{2}^{2}S_{x}^{2}}  \leq \lambda_2 \right)=\gamma$$
* Considerando um intervalo simétrico, ou seja, $\lambda_1=F_{1}$ e $\lambda_2=F_{2}$, de modo que, $P[F_{m-1; n-1}\geq F_{2}]=P[F_{m-1; n-1}\leq F_{1}]=\alpha/2$.


* O intervalo de confiança para a comparação de variâncias de $\gamma\%$

$$IC(\sigma^2, \gamma\%)=\left[F_1\dfrac{S_{x}^{2}}{S_{y}^{2}} ; F_2\dfrac{S_{x}^{2}}{S_{y}^{2}} \right]$$

onde $F_1$ e $F_2$ são obtidos na tabela da distribuição $F$ com $m-1$ e $n-1$ graus de liberdade, e $\alpha=1-\gamma$.


## IC para comparação de variâncias
<hr>

```{r fig_int4, echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE, comment="", fig.height=8, fig.width=8, fig.align='center'}


plot_f_distribution <- function(df1, df2, alpha = 0.05) {
  x_vals <- seq(0, qf(0.999, df1, df2), length.out = 1000)
  y_vals <- df(x_vals, df1, df2)
  data <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
  
  # Quantis críticos
  f_lower <- qf(alpha / 2, df1, df2)
  f_upper <- qf(1 - alpha / 2, df1, df2)
  
  ggplot(data, aes(x, y)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_area(data = subset(data, x <= f_lower), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_area(data = subset(data, x >= f_upper), aes(x, y), fill = "red", alpha = 0.5) +
    geom_vline(xintercept = f_lower, linetype = "dashed", color = "black") +
    geom_vline(xintercept = f_upper, linetype = "dashed", color = "black") +
    labs(title = "Distribuição F e Intervalo de Confiança para Razão de Variâncias",
         x = "F", y = "Densidade") +
    theme_minimal()
}
plot_f_distribution(df1 = 10, df2 = 15, alpha = 0.05)
```


## Exemplos
<hr>

<br>
Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes alimentos. No processo A, o tempo $X$ de duração segue a distribuição $N(\mu_A; 100)$, e no processo B o tempo Y obedece à distribuição $N(\mu_B ; 100)$. Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A, com 16 latas, apresentou tempo médio de duração igual a 50, e a de B, com 25 latas, duração média igual a 60.
<br>
<br>

Para verificar se os dois processos podem ter o mesmo desempenho, decidiu-se construir um I.C. para a diferença $\mu_A-\mu_B$. Pode-se concluir que existe evidência de igualdade dos dois processos?





## Exemplos
<hr>

Admita que no exemplo anterior as variâncias dos dois processos sejam diferentes e desconhecidas. Suponha que a amostra das 16 latas do processo A produziu uma variância amostral $S_x^2=91$ e a amostra do processo B produziu uma variância amostral $S_y^2=100$. Construa um I.C. para a razão $\sigma_{1}^2/\sigma_{2}^2$, com coeficiente de confiança de 90\%.