lang	ru
header-includes	\newfontfamily{\cyrillicfont}{CMU Serif} \usepackage{titlesec} \newcommand{\sectionbreak}{\clearpage} \newfontfamily{\cyrillicfontrm}{CMU Serif} \newfontfamily{\cyrillicfonttt}{CMU Serif} \newfontfamily{\cyrillicfontsf}{CMU Serif} \makeatletter \def\@makefnmark{\hbox{(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} \makeatother

Лабораторная работа №1 по предмету "Линейная алгебра и вычислительные модели"

Содержит 5 поверхностей, заданных параметрической функцией:

• Спиральная поверхность
• Поверхность Мёбиуса
• Тор с изменяемой формой
• Винтовая поверхность
• Поверхность "ракушка"

Описание реализации

Графический интерфейс

Графический интерфейс лабораторной работы был написан с использованием набора инструментов Tk, его биндингов для ЯП Python (tkinter)

3D-графика

Абстракция

В качестве абстракции вывода двумерных примитивов был использован виджет Canvas, его встроенные методы:

• create_line для вывода линий
• create_polygon для вывода закрашенных многоугольников

Положение камеры

Положение камеры можно изменять вдаль-вблизь (клавиши W-S), вертеть вокруг осей OX (стрелочки влево-вправо), OY (стрелочки вверх-вниз). Это реализовано с помощью матрицы линейных преобразований: поворота и увеличения. Заметим, что эту матрицу нужно посчитать единожды для фиксированного положения камеры, это помогает минимизировать количество вычислений тригонометрических функций.

Алгоритм построения списка полигонов

В зависимости от параметра PRECISION в коде программы, выбирается количество параметров u, v, используемых для получения точек параметрического уравнения плоскости. Далее по соседним точкам строится треугольник или четырёхугольник (см. torrus-quad.py), заносится в список.

Алгоритм рисования полигонов

Сначала полигоны сортируются от наиболее дальних от камеры к ближайшим, затем рисуются двумерные примитивы с точки зрения "наблюдателя", Z-координата просто игнорируется, ведь высчитанная матрица линейных преобразований перемещает точки нужным образом.

Освещение

Освещённость полигона определяется на основании его отдалённости от "наблюдателя": после домножения на матрицу преобразования берётся значение координаты Z. С ней производится следующие манипуляции: домножается на параметр интенсивности освещения, переводится в целое число, берётся абсолютное значение, если оно больше 255, то значение игнорируется. В некоторых случаях более целесообразно оказалось взять не абсолютное значение, а учитывать только "положительно" отдалённые полигоны. Интенсивность заливки цвета определяется по отдалённости от "камеры", что есть Z-координата одной из вершин полигона после его линейного преобразования.

Математическое описание

Матрица камеры по-умолчанию¹

$$C = \begin{pmatrix} 64 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & 64 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 64 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 64 \end{pmatrix}$$

Поворот вокруг оси OX²

$$R_{x}(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & \cos \phi & -\sin \phi & 0\\\ 0 & \sin \phi & \cos \phi & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$C' = R_{x}(\phi) \cdot C$$

Поворот вокруг оси OY

$$R_{y}(\phi) = \begin{pmatrix} \cos \phi & 0 & \sin \phi & 0\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\ -\sin \phi & 0 & \cos \phi & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$C' = R_{y}(\phi) \cdot C$$

Поворот вокруг оси OZ

$$R_{z}(\phi) = \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 & 0\\\ \sin \phi & \cos \phi & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$C' = R_{z}(\phi) \cdot C$$

Приближение/отдаление камеры

$$C' = 1.1C$$ $$C' = \frac{1}{1.1}C$$

Проецирование полигона (треугольника)

$$P = \begin{pmatrix} p_{1 1} & p_{1 2} & p_{1 3} & 0\\\ p_{2 1} & p_{2 2} & p_{2 3} & 0\\\ p_{3 1} & p_{3 2} & p_{3 3} & 0\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$P' = C \cdot P$$

Иллюстрации

Footnotes

1. Число 64 было выбрано для большего масштаба по-умолчанию ↩

2. C - матрица камеры. ↩