docs: 修改 10-15 讲内容，修正 1-15 讲中部分口语化表述

讲义/专题/17 多项式的进一步讨论.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{多项式的进一步讨论}
+\chapter{多项式的进一步讨论} \label{chap:多项式的进一步讨论}
 
 在之前的讨论中，我们从不变子空间的角度出发，得到复数域上线性变换和矩阵的相似标准形理论，包括对角化、上三角化、分块对角化以及终极目标若当标准形. 接下来我们将从多项式的视角再次讨论相似标准形理论，这将会为我们很多时候的讨论带来便捷，因为相比于抽象的不变子空间，多项式的角度更具体且可以通过直接的计算解决问题.
 
@@ -34,10 +34,21 @@ \section{特征多项式 \quad Hamilton-Cayley 定理}
 这一定理能给我们一个启发. 回顾\autoref{thm:广义特征性质}，我们设$\sigma$的特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，则有广义特征子空间分解$V=G_{\lambda_1},\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}$，且每个广义特征子空间都是不变子空间. 我们设每个广义特征子空间$G_{\lambda_i}$的维数为$d_i$，故$\sigma\vert_{G_{\lambda_i}}$的特征多项式就是$(\lambda-\lambda_i)^{d_i}$，因为特征值只有$\lambda_i$，次数等于空间维数. 则根据上面的定理，我们有
 \[f(\lambda)=\prod_{i=1}^m f_i(\lambda)=\prod_{i=1}^m (\lambda-\lambda_i)^{d_i}.\]
 我们发现它和\autoref{eq:18:特征多项式} 的形式是一致的，因此我们可以得到$\lambda_i$对应的广义特征子空间的维数$d_i$就是特征值$\lambda_i$的代数重数. 即我们有如下推论：
-\begin{corollary}{}{}
+\begin{corollary}{}{代数重数等于广义特征空间维数}
     设$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，$\lambda_i$为其任意特征值，$d_i$为$\lambda_i$的代数重数，则$\lambda_i$对应的广义特征子空间的维数也为$d_i$.
 \end{corollary}
 
+% TODO: 下面的内容为复化算子的共轭特征值的重数相同，后续修改这章时进行整合.
+% 基于\autoref{thm:复化线性变换的特征值与特征向量} 的 3 以及\autoref{cor:代数重数等于广义特征空间维数} 立刻可以得到如下结论：
+
+% \begin{corollary}{}{}
+%     设$V$是实线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，$\lambda\in\mathbf{C}$是$\sigma_{\mathbf{C}}$的特征值，则$\lambda$作为$\sigma_{\mathbf{C}}$的特征值的代数重数等于$\overline{\lambda}$作为$\sigma_{\mathbf{C}}$的特征值的代数重数.
+% \end{corollary}
+
+% \begin{proof}
+%     设$u_1+v_1\i,\ldots,u_m+v_m\i$是广义特征空间$G(\lambda,\sigma_{\mathbf{C}})$的基，则基于\autoref{thm:复化线性变换的特征值与特征向量} 的 3 不难验证$u_1-v_1\i,\ldots,u_m-v_m\i$是广义特征空间$G(\overline{\lambda},\sigma_{\mathbf{C}})$的基，因此两个特征值的代数重数相同.
+% \end{proof}
+
 因此未来我们提到代数重数（或者简称重数）时，我们可以从两个角度来理解. 于是下面这一例子我们可以从两种重数的定义出发给出不同的证明：
 \begin{example}{}{}
     设$\sigma,\tau\in \mathcal{L}(V)$可逆，证明：$\sigma$和$\tau^{-1}\sigma\tau$有相同的特征值，且重数也相同.

讲义/专题/22 线性代数与几何.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{线性代数与几何}
+\chapter{线性代数与几何} \label{chap:线性代数与几何}
 
 解析几何很大程度上是线性代数发展的初衷，在研究点线面以及几何体时，将集体的几何问题抽象化为代数问题使其方便解决与计算，即是解析几何的主要思想. 本节我们将会从线性代数的角度探究解析几何的一些基本概念与方法. 此在线性代数课程的考察中也会有少部分的解析几何内容，但内容较浅，主要考察点、直线、平面等之间的关系.
 

讲义/专题/8 相抵标准形.tex

@@ -367,10 +367,10 @@ \section{相抵标准形}
             E_r & O \\ O & O
         \end{pmatrix} = U_r\]
     其中 $E_r$ 表示 $r$ 阶单位矩阵.
-
-    （严格来说，这里的三个零矩阵应该加上不同的下标，各自的阶数由 $m, n, r$ 决定.）
 \end{theorem}
 
+（严格来说，这里的三个零矩阵应该加上不同的下标，各自的阶数由 $m, n, r$ 决定.）
+
 这一定理也就自然给出了相抵以及相抵标准形的定义：设 $A$ 和 $B$ 是 $m \times n$ 矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $PAQ = B$，则称 $A$ 和 $B$ 是\term{相抵}的. 称 $PAQ = U_r$ 中的 $U_r$ 为矩阵 $A$ 的\term{相抵标准形}，其中 $E_r$ 表示 $r$ 阶单位矩阵，$r = r(A)$. 此后我们还会基于初等变换讨论矩阵的相抵标准形，届时我们再展开讨论``相抵''这一概念.
 
 \begin{proof}

讲义/专题/9 矩阵运算进阶.tex

@@ -339,35 +339,13 @@ \subsection{凑因子法}
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-上述示例其实可以归结为如下结论：
-
-\begin{lemma}{}{多项式零点为特征值}
-    设 $A \in \mathbf{F}^{n \times n}$，且存在多项式 $p(x)\in \mathbf{F}[x]$ 使得 \[p(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0E=O,\]则对于任意的 $\lambda \in \mathbf{F}$，$p(\lambda) \neq 0 \implies A-\lambda E_n$ 可逆.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    $p(\lambda) \neq 0$ 表明不存在多项式 $q(x) \in \mathbf{F}[x]$ 使得 $p(x) = (x - \lambda)q(x)$，用多项式带余除法的语言来说，存在 $q(x) \in \mathbf{F}[x]$ 使得：
-    \[p(x)=(x - \lambda)q(x) + r\]
-    其中 $r$ 是不为0的常数.
-
-    将其对应成矩阵多项式：
-    \[p(A)=(A - \lambda E_n)q(A) + rE_n=O\]
-    由于 $r \neq 0$，因此我们可知 $(A - \lambda E_n)^{-1}=-\dfrac{1}{r}q(A)$，得证.
-\end{proof}
-
-上述结论的反命题不成立，即 $A-\lambda E_n$ 可逆不能推出 $p(\lambda) \neq 0$（比如取 $A=2E_n$，$\lambda = 1$，$p(x)=(x-1)(x-2)$即可说明不成立）. 当然这与 $A^2-3A+2E=O$ 推不出 $A=E$ 或 $A=2E$ 并不矛盾，希望读者谨记.
-
-上述结论其实蕴含着一个直觉，即对于满足一定条件的矩阵 $A$，只有有限个 $\lambda$ 会使得 $A-\lambda E$ 是不可逆的.
-
-% 这里应该再写点东西，比如加上谢启鸿《高等代数》2.11 中关于摄动法的内容
-
 凑因子法可以更具技巧性，下面的例子展示了这一点：
 
 \begin{example}{}{凑因子3}
     设 $A, B$ 分别是 $n \times m$ 和 $m \times n$ 的矩阵，且 $E_n \pm AB$ 可逆，则 $E_m \pm BA$ 可逆.
 \end{example}
 
-这一例子我们将多次使用：\autoref{ex:分式求逆2}是完全一致的，\autoref{ex:打洞法求逆1} 是 $A,B$ 为方阵时的特例. 但使用凑因子法不仅可以证明逆矩阵存在，还可以直接给出逆矩阵的表达式.
+这一例子我们将多次使用：\autoref{ex:分式求逆2} 是完全一致的，\autoref{ex:打洞法求逆1} 是 $A,B$ 为方阵时的特例. 但使用凑因子法不仅可以证明逆矩阵存在，还可以直接给出逆矩阵的表达式.
 
 \begin{proof}
     我们证明加法的情况，减法的情况同理. 这里 $A$ 和 $B$ 的位置交换，一个常用的观察是 $A(E_m + BA) = (E_n + AB)A$，由于 $E_n + AB$ 可逆，故有
@@ -421,6 +399,7 @@ \subsection{求逆的分式思想}
 
 虽然矩阵没有除法运算，但是我们如果将$(E-A)^{-1}$写成$\dfrac{E}{E-A}$，再类比泰勒展开
 \[\frac{1}{1-x}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty x^n \qquad x\in (-1,1)\]
+
 我们可以得到（不严谨！只能用来解题的时候当作初步的思路！）
 \[(E-A)^{-1}=\frac{E}{E-A}=E+A+A^2+\cdots\]
 
@@ -706,7 +685,7 @@ \section{矩阵的幂} \label{sec:矩阵的幂}
     \item 利用对角化和若当标准形：我们将在后续相应章节中讲解.
 \end{enumerate}
 
-\section{分块矩阵初等变换（打洞法）}
+\section{分块矩阵初等变换（打洞法）} \label{sec:分块矩阵初等变换}
 
 \subsection{基本概念}
 分块矩阵的初等变换实际上可以视为一般矩阵初等变换的推广，实际上也有三种相应的推广形式：

讲义/其它/序.tex

@@ -49,6 +49,7 @@ \section*{致谢}
     \item 郑俊达同学主编了解析几何部分；
     \item 周健均同学编写了行列式计算进阶以及奇异值分解的应用部分；
     \item 朱熙哲、谢集、郑俊达、郑涵文、李英琦同学负责了答案的初次编写，金政羽、张晋恺、江舜尧、任朱明、赵嘉瑞同学负责了历年卷答案以及正文答案的二次编写；
+    \item 袁楚涵同学负责了讲义的大部分校对与补全工作；
     \item 王鹤翔同学设计了本讲义的封面；
     \item 李英琦同学全权负责了本讲义的格式设计以及插图；
     \item 刘泓健同学负责了讲义的未竟专题部分。
@@ -60,5 +61,5 @@ \section*{致谢}
     吴一航 \\
     浙江大学计算机科学与技术学院 \\
     \verb|yhwu_is@zju.edu.cn| \\
-    2023 年 8 月
+    2025 年 9 月
 \end{flushright}