docs: 修改 19, 20 讲部分内容，补全 24-25 历年卷，修正未竟 1 以及第 2 讲部分内容

讲义/LALU-answers.tex

@@ -115,6 +115,7 @@ \chapter{线性代数I（H）期末历年卷试题集}
 \input{./历年卷/2021-2022-1final.tex}
 \input{./历年卷/2022-2023-1final.tex}
 \input{./历年卷/2023-2024-1final.tex}
+\input{./历年卷/2024-2025-1final.tex}
 
 % 线代I期末答案
 \chapter{线性代数I（H）期末历年卷答案}
@@ -128,12 +129,15 @@ \chapter{线性代数II（H）期中/小测历年卷试题集}
 \input{./历年卷/2022-2023-2midlks.tex}
 \input{./历年卷/2022-2023-2midwzx.tex}
 \input{./历年卷/2023-2024-2midwzx.tex}
+\input{./历年卷/2024-2025-2midwzx1.tex}
+\input{./历年卷/2024-2025-2midwzx2.tex}
 
 % 线代II期末
 \chapter{线性代数II（H）期末历年卷试题集}
 \input{./历年卷/2022-2023-2finalex.tex}
 \input{./历年卷/2022-2023-2final.tex}
 \input{./历年卷/2023-2024-2final.tex}
+\input{./历年卷/2024-2025-2final.tex}
 
 \backmatter
 

讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -179,7 +179,7 @@ \section{线性空间的例子}
               \end{align*}
               注意，在证明过程中，我们用了形式的加法定义（逐次数将系数相加），并诉诸域 $\mathbf{F}$ 上的结合律，这种诉诸基域性质的方式在以后的证明中会经常碰上.
 
-        \item 取定 $p_0(x) = 0 \in V$ 则有 $\forall p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, p(x) + p_0(x) = p_0(x) + p(x)$.
+        \item 取定 $p_0(x) = 0 \in V$ 则有 $\forall p(x) \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, p(x) + p_0(x) = p_0(x) + p(x) = p(x)$.
 
         \item $\forall p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, \exists p^*(x) = -a_0 - a_1x - \cdots - a_nx^n \in \mathbf{F}[x]_{n+1}, p(x) + p^*(x) = p^*(x) + p(x) = p_0(x) = 0$.
 
@@ -465,9 +465,9 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
               \end{enumerate}
               综上，$\spa(S)$是$V$的子空间；
 
-        \item 接下来我们证明$\spa(S)$是包含$S$的最小子空间. 设$W$是$V$的任一子空间，我们只需证明$\spa(S)\subseteq W$.
+        \item 接下来我们证明$\spa(S)$是包含$S$的最小子空间. 设$W$是$V$的任一包含$S$的子空间，我们只需证明$\spa(S)\subseteq W$.
 
-              事实上，类似于前面$S\subseteq\spa(S)$的证明我们有$S\subseteq W$，故$S$中元素都在$W$中. 且由\autoref{thm:子空间判别} 可知子空间中元素一定关于加法、数乘封闭，因此$\forall {\alpha}=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_k\alpha_k\in\spa(S)$. 由于$\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in S\subseteq W,\enspace\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\mathbf{F}$，因此$\alpha\in W$，从而$\spa(S)\subseteq W$，由此得证.
+              由于$S\subseteq W$，故$S$中元素都在$W$中. 且由\autoref{thm:子空间判别} 可知子空间中元素一定关于加法、数乘封闭，因此$S$中元素的任意线性组合都在$W$中. 而$\spa(S)$正是$S$中元素的任意线性组合的集合，因此$\spa(S)\subseteq W$，由此得证.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 

讲义/其它/未竟专题1 预备思想.tex

@@ -335,6 +335,8 @@ \subsection{公理化思想}
 \end{enumerate}
 由此就可以断定命题对于从$n_0$开始的所有自然数$n$都成立.
 
+将上述五条公理合在一起，就得到了所谓\term{皮亚诺公理}\index{piyanuogongli@皮亚诺公理 (Peano axioms)}.
+
 接下来需要解决一个更复杂的问题：我们还没有定义自然数之间的运算，例如加法、乘法以及指数运算等. 事实上，从增长到加法、从加法到乘法以及乘法到指数运算，我们都可以通过类似的方法定义，因此这里我们只严格证明加法的相关性质，而其它的运算的性质及详细证明读者可以自行证明或参考《陶哲轩实分析》.
 
 事实上，我们在正式讨论皮亚诺公理之前就已经简单讨论过加法的思想，例如$5+3$实际上就是5增长3次，即$\suc(\suc(\suc(5)))$. 因此我们可以如下定义加法为：
@@ -387,17 +389,18 @@ \subsection{公理化思想}
 这事实上就表明上面的定义是合理的——因为任意两个自然数之间都可以比较，并且比较的结果是三种之中确定的一种. 定理证明只需对$a$作归纳，具体证明我们放在习题中供读者练习. 事实上，我们引入序结构主要目的是介绍下面的强归纳法原理，或称第二数学归纳法：
 
 \begin{theorem}{强归纳法原理}{强归纳法原理}\index{qiangguinafayuanli@强归纳法原理 (principle of strong induction)}
-    设$m_0$是一个自然数，$P(m)$是一个依赖于任意自然数$m$的性质. 设对于每个$m\geqslant m_0$都有下述蕴含关系：如果$P(m')$对于一切满足$m_0\leqslant m'<m$的自然数$m'$都成立，那么$P(m)$也成立，那么我们可以断定$P(m)$对于所有自然数$m\geqslant m_0$都成立.
+    设$m_0$是一个自然数，$P(m)$是一个依赖于任意自然数$m$的性质. 设$P(m_0)$成立，且对于每个$m > m_0$都有下述蕴含关系：如果$P(m')$对于一切满足$m_0\leqslant m'<m$的自然数$m'$都成立，那么$P(m)$也成立，那么我们可以断定$P(m)$对于所有自然数$m\geqslant m_0$都成立.
 \end{theorem}
 
 该定理的证明我们也留作习题，当然我们更多地是直接使用它. 或许上面的描述有些抽象，这里给出第二数学归纳法的框架，对照理解更为直观：
 \begin{enumerate}
     \item (归纳奠基) 证明当$m=m_0$时命题成立；
 
-    \item (归纳递推) 假设当$m_0\leqslant k\enspace(k\in\mathbf{N},\enspace k>m_0)$时命题成立，证明当$m=k+1$时命题也成立.
+    \item (归纳递推) 假设当$m_0\leqslant m \leqslant k\enspace(k\in\mathbf{N},\enspace k>m_0)$时命题成立，证明当$m=k+1$时命题也成立.
 \end{enumerate}
+由此就可以断定命题对于从$m_0$开始的所有自然数$m$都成立，取框架中$k+1=m'$容易看出这与强归纳法原理一致.
 
-由此就可以断定命题对于从$m_0$开始的所有自然数$m$都成立. 如果取框架中$k+1=m'$就很容易看出这与强归纳法原理一致了. 我们不难发现能用第一数学归纳法证明的命题都可以用第二数学归纳法证明，但反之不一定成立，因此第二数学归纳法原理更强，因为它假设所有小于等于$k$的自然数都满足命题推出$k+1$时成立，而第一数学归纳法只需要假设等于$k$满足命题即可证明（不过很多时候使用第一归纳法证明就足够了）. 但是，需要注意的是，作为两条公理，它们是等价的，有兴趣的读者可自行完成证明.
+我们不难发现第二数学归纳法``更强''——能用第一数学归纳法证明的命题都可以用第二数学归纳法证明，但使用第二数学归纳法可证明的命题使用第一数学归纳法有时却难以下手，因为第二数学归纳法的归纳假设条件更强（不过很多时候使用第一归纳法证明就足够解决问题）. 但实际上，数学归纳原理与强归纳法原理是等价的，证明我们留作习题供读者练习.
 
 至此我们结束对皮亚诺公理的讨论——事实上我们已经讨论了非常多，而且显得有些枯燥，因此接下来最后一个例子我们会更轻松一些. 我们希望通过罗素悖论和公理化集合论的例子和故事进一步说明公理化如何助于构建完备公理体系. 事实上，我们可以穿插着谈一些简单的历史. 十九世纪下半叶，德国数学家康托（Georg Cantor）创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击，但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉. 数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石. 这一发现使数学家们为之陶醉，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中. 数学家，尤其是弗雷格（Gottlob Frege）等逻辑主义者普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，数学大厦已经基本建成. 然而，1903年，包括英国数学家罗素以及创始人康托在内的几位数学家先后提出了几条悖论，它们使集合论产生了危机，在弗雷格的著作《算数的基本规律》第二卷中，就留下了那个至今仍让人胆寒的段落：
 
@@ -482,10 +485,38 @@ \subsection{布尔巴基学派}
 
     \begin{exgroup}[2] % start numbering from B
         \item 依照皮亚诺公理的定义证明：对于任意自然数$n,m$，有$n+m=m+n$.
+        \begin{answer}
+            对$n$进行归纳，当$n=0$时，$0+m=m$，且已经证明$m+0=m$，归纳奠基成立.
+
+            现假设$n+m=m+n$成立，从而
+            \[\operatorname{suc}(n)+m=\operatorname{suc}(n+m)=\operatorname{suc}(m+n)=m+\operatorname{suc}(n).\]
+            其中第一个等号用到了加法的定义，第二个等号是归纳假设，第三个等号则用到了之前证明过的$n+\operatorname{suc}(m)=\operatorname{suc}(n+m)$，故归纳步骤成立. 由数学归纳原理可知，对于任意自然数$n,m$，有$n+m=m+n$.
+        \end{answer}
     \end{exgroup}
 
     \begin{exgroup}
-        \item 证明闵可夫斯基不等式和$\ell_p$范数的三角不等式.
+        \item 证明闵可夫斯基不等式，即对于$p \geqslant 1$与任意的$n$元实向量$\vec{x}=(x_1,\ldots,x_n),\vec{y}=(y_1,\ldots,y_n)$有
+        \[
+        \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p} \leqslant \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p} + \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|y_i|^p}.
+        \]
+
+        \begin{answer}
+            当$p=1$时，由三角不等式知成立. 现假设$p>1$，先介绍赫尔德不等式：对于$p,q>1$且$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$，有\[\sum_{k=1}^n |a_ib_i| \leqslant \left(\sum_{k=1}^n |a_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^n |b_k|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}.\]
+            赫尔德不等式的证明需要用到Young不等式，感兴趣的读者可自行查找资料. 现在我们来证明闵可夫斯基不等式. 由三角不等式知
+            \[|x_i+y_i|^p = |x_i+y_i||x_i+y_i|^{p-1} \leqslant (|x_i|+|y_i|)|x_i+y_i|^{p-1},\]
+            设$a_i=|x_i|$，$b_i=|y_i|$，$c_i=|x_i+y_i|^{p-1}$，$q=\dfrac{p}{p-1}$，则$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$，从而由赫尔德不等式知
+            \begin{align*}
+                \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p &\leqslant \sum_{i=1}^n |a_ic_i| + |b_ic_i| \\
+                &\leqslant \left(\sum_{k=1}^n |a_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^n |c_k|^{q}\right)^{\frac{1}{q}} + \left(\sum_{k=1}^n |b_k|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^n |c_k|^{q}\right)^{\frac{1}{q}} \\
+                &= \left(\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p} + \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|y_i|^p}\right) \left(\sum_{k=1}^n |x_k+y_k|^{(p-1)\times\frac{p}{p-1}}\right)^{\frac{p-1}{p}} \\
+                &= \left(\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p} + \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|y_i|^p}\right)\left(\sum_{k=1}^n |x_k+y_k|^p\right)^{\frac{p-1}{p}}.
+            \end{align*}
+            整理即有
+            \[
+            \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p} \leqslant \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p} + \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|y_i|^p}.
+            \]
+            得证.
+        \end{answer}
 
         \item 利用皮亚诺公理，证明如下命题：设$a$和$b$是自然数，那么下面三个命题中恰有一个是真的：
         \begin{enumerate}
@@ -495,9 +526,32 @@ \subsection{布尔巴基学派}
 
             \item $a>b$.
         \end{enumerate}
+        \begin{answer}
+            对$a$进行归纳，当$a=0$时，$b=0$时成立第一个命题，$b\neq 0$时成立第二个命题，归纳奠基成立.
+
+            现假设当$a=k$时结论成立，现考虑$a=\operatorname{suc}(k)$的情况. 若$b=0$，则成立第三个命题；否则可设$b=\operatorname{suc}(b_1)$，则由归纳假设知下面三个命题中恰有一个是真的：
+            \begin{enumerate}
+                \item $k=b_1$；
+
+                \item $k<b_1$；
+
+                \item $k>b_1$.
+            \end{enumerate}
+            若$k=b_1$，则$\operatorname{suc}(k)=\operatorname{suc}(b_1)$，即$a=b$；
+
+            若$k<b_1$，设$b_1=k+m$，$m$是正整数，则$\operatorname{suc}(b_1)=\operatorname{suc}(k+m)=\operatorname{suc}(k)+m$，即$b=a+m$，$m$是正整数，则$a<b$；同理，若$k>b_1$，则$a>b$.
+
+            从而 $a=b$，$a<b$，$a>b$ 三个命题中恰有一个是真的，故归纳步骤成立. 由数学归纳法得证.
+        \end{answer}
 
         \item 利用皮亚诺公理，证明\nameref{thm:强归纳法原理}.
+        \begin{answer}
+            设$P(m)$是一个依赖于任意自然数$m$的性质. $P(m_0)$成立，且对于每个$m > m_0$都有下述蕴含关系：如果$P(m')$对于一切满足$m_0\leqslant m'<m$的自然数$m'$都成立，那么$P(m)$也成立. 特别的，对于每个$m \geqslant m_0$，若$P(m')$对于$m'=m-1<m$成立，那么$P(m)$成立. 根据数学归纳原理，可知$P(m)$对于所有自然数$m\geqslant m_0$都成立. 从而强归纳法原理成立.
+        \end{answer}
 
         \item 利用\nameref{thm:强归纳法原理}反推\nameref{axm:数学归纳原理}.
+        \begin{answer}
+            设$P(n)$是一个依赖于任意自然数$n$的性质. 设$P(n_0)$成立，且对于每个$n \geqslant n_0$都有下述蕴含关系：如果$P(n)$成立，那么$P(n+1)$也成立. 从而对于每个$n > n_0$，$P(n_0)$成立，$P(n_0+1)$成立，$\ldots$，$P(n-1)$成立，$P(n)$成立. 也就是说，$P(n')$对于一切满足$n_0\leqslant n'<n$的自然数$n'$都成立，且$P(n)$也成立. 根据强归纳法原理，可知$P(n)$对于所有自然数$n\geqslant n_0$都成立. 从而数学归纳原理成立.
+        \end{answer}
     \end{exgroup}
 \end{exercise}

讲义/历年卷/2023-2024-1final.tex

@@ -80,3 +80,5 @@ \section{2023-2024学年线性代数I（H）期末}
         \item \(A\)是\(m\)阶实正定矩阵，\(C\)为\(m\times n\)的实矩阵，\(r(C)=m\)，则\(C^\mathrm{T}AC\)也正定.
     \end{enumerate}
 \end{enumerate}
+
+\clearpage

讲义/历年卷/2024-2025-1final.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+\section{2024-2025学年线性代数I（H）期末}
+
+\begin{center}
+    任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟
+\end{center}
+
+\begin{enumerate}
+    \item （12 分）
+    \[  A=\begin{pmatrix}
+        1 & a & 1 \\
+        1 & 1 & 1 \\
+        1 & 2a & 1
+    \end{pmatrix}, b=(3,4,4)^\mathrm{T}, X=(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T}.\]
+    问 \(a\) 取什么值能使得 \(AX=b\) 有解，并给出一般解.
+
+    \item （12 分）已知矩阵
+    \[  \begin{pmatrix}
+        2 & t & 2 \\
+        t & 1 & 0 \\
+        2 & 0 & 3
+    \end{pmatrix}
+    \]
+    求 \(t\) 的范围使得：(1) 矩阵正定;\quad(2) 矩阵半正定;\quad(3) \(X^\mathrm{T}AX\) 的负惯性指数为 \(1\).
+
+    \item （8 分）矩阵 \(A=
+    \begin{pmatrix}
+    1 & 0 & 25 & 8\\
+    1 & 1 & 2 & 2\\
+    0 & 0 & 4 & 3\\
+    0 & 0 & 6 & 5
+    \end{pmatrix}\)，求 \(|A|\) 与 \(A^{-1}\).
+
+    \item （12 分）线性空间 \(V=\mathbf{R}[x]_3\).
+    \begin{enumerate}
+        \item 证明 \(W=\{f \in \mathbf{R}[x]_3 | f(1)=0\}\) 为 \(V\) 子空间;
+        \item 求 \(W\) 的一组基;
+        \item 求 \(\sigma \in \mathcal{L}(V, V)\)，使得 \(\sigma^2=\sigma, \im(\sigma)=W,\sigma(1)=0\).
+    \end{enumerate}
+
+    \item （12 分）\(A\) 为 \(n\times n\) 实矩阵，且\(\exists\beta \in \mathbf{R}^n\)，满足 \(A^n \beta =0, A^{n-1} \beta\neq 0\). 证明：
+    \begin{enumerate}
+        \item \(\beta, A\beta, A^2\beta,\cdots,A^{n-1}\beta\) 是 \(\mathbf{R}^n\) 的一组基;
+        \item \(A^n=0\);
+        \item \(A\) 以 \(0\) 为特征值的特征空间维数为 \(1\).
+    \end{enumerate}
+
+    \item （16 分）有线性变换\(T \in \mathcal{L}(\mathbf{R}^4,\mathbf{R}^3), T(x_1,x_2,x_3,x_4)^\mathrm{T}=(x_1-x_2+x_4, x_1+2x_3+2x_4, x_1+x_2+4x_3+3x_4)^\mathrm{T}\).
+    \begin{enumerate}
+        \item 求在自然基下 \(T\) 的矩阵表示;
+        \item 求 \(T\) 的值域与核空间;
+        \item 求可逆矩阵 \(P,Q\) 使得
+        \(AP=Q\begin{pmatrix}
+            E_r & O \\
+            O & O
+        \end{pmatrix}\).
+    \end{enumerate}
+
+    \item （12 分）\(A\) 为 \(n\times n\) 矩阵，\(n\geqslant 3\)，\(r(A)=2\).
+    \begin{enumerate}
+        \item 证明：存在列向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\) 使得 \(A=\beta_1\alpha_1^\mathrm{T}+\beta_2\alpha_2^\mathrm{T}\);
+        \item 用 \(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\) 表述一个 \(A\) 可对角化的充分条件;
+        \item 用 \(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\) 表述一个 \(A\) 可对角化的必要条件.
+    \end{enumerate}
+
+    \item （16 分）如果正确请简单证明，错误请举出反例：
+    \begin{enumerate}
+        \item \(\alpha_1\) 与 \(\alpha_2\) 线性相关，\(\beta_1\) 与 \(\beta_2\) 线性相关，则 \(\alpha_1+\beta_1\) 与 \(\alpha_2+\beta_2\) 线性相关;
+        \item 若实对称矩阵 \(A\) 满足 \(A^2=0\)，则 \(A=0\);
+        \item 若复对称矩阵 \(A\) 满足 \(A^2=0\)，则 \(A=0\);
+        \item \(\sigma\in \mathcal{L}(V,V)\)，则 \(V=\im\sigma+\ker\sigma\).
+    \end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+\clearpage

讲义/历年卷/2024-2025-2final.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\section{2024-2025学年线性代数II（H）期末}
+
+\begin{center}
+    任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟
+\end{center}
+
+\begin{enumerate}
+    \item （16 分）$P_0(1,0,1)$ 到平面 $x+y+z=D\space(D>0)$ 的距离为 $\sqrt{3}$，求 $P_0$ 到直线 $\begin{cases}x+y+z=D \\ x-y+z=1\end{cases}$ 的距离.
+    \item （16 分）$V$ 为次数不超过 $2$ 的实数多项式空间，定义在 $V$ 上的内积为 $\langle p,q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)\mathrm{d}x$，记 $W=\{p(0)=0\vert p\in V\}$，(1) 求 $W$ 的正交补；(2) 求 $f\in V$ 使得 $\langle p,f \rangle = p(0)$ 对 $\forall p\in V$ 都成立.
+    \item （12 分）$A\in\mathbf{C}^{7\times 7}$，且存在 $B\in\mathbf{C}^{7\times 7}$，$X\in\mathbf{C}^{7\times 1}$ 使得 $A=B^2$，$A^3 X\neq O$，$A^4 X=O$，证明 $r(A)=5$.
+    \item （12 分）设 $T$ 为维数为 $n\space(n\ge 3)$ 的线性空间 $V$ 上的幂零算子，且 $r(T)=1$，求 $T$ 的 Jordan 标准形，并证明 $V$ 有无穷多个二维的 $T$-不变子空间.
+    \item （20 分）试给出下列命题的真伪. 若命题为真，请给出简要证明；若命题为假，请举出反例.
+    \begin{enumerate}
+        \item $T$ 为实算子，且只有特征值 $1$ 和 $2$，则 $T^2-3T+2I=O$.
+        \item 实算子 $T$ 有非平凡子空间，则有特征值.
+        \item $U$ 为 $V$ 的一个子空间，则可取 $U$ 的补空间的一组基 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_s$，使得 $\varepsilon_1+U,\cdots,\varepsilon_s+U$ 为商空间 $V/U$ 的一组基.
+        \item $T$ 为实内积空间上的算子，且 $T$ 在某组基下有对称矩阵，则 $T$ 是自伴算子.
+        \item 设 $s$ 为 $T$ 的奇异值，则存在单位向量 $\alpha$ 使得 $\|T\alpha\|=s$.
+    \end{enumerate}
+    \item （12 分）设 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_5$ 为 $\mathbf{R}^5$ 的一组基，$T$ 为 $\mathbf{R}^5$ 上的算子且 $T(\varepsilon_i)=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3\space(i=1,2,3)$，$T(\varepsilon_j)=\varepsilon_4+\varepsilon_5\space(j=4,5)$，求 $T$ 的 极小多项式与 $T^{2025618}$.
+    \item （12 分）对于算子 $T$，记 $G=T^*T$，证明以下等价：
+    \begin{enumerate}
+        \item $T$ 是正规算子；
+        \item 存在等距同构 $S$ 使得对任意向量 $v$，$Tv=\displaystyle\sum_{i=1}^m\displaystyle\sum_{j=1}^{d_i}\sqrt{\lambda_i}\langle v,\varepsilon_{ij}\rangle S\varepsilon_{ij}$，其中 $\{\varepsilon_{ij}\}_{j=1}^{d_i}$ 是 $E(\lambda_i,G)$ 的一组规范正交基，且 $E(\lambda_i,G)$ 是 $S$ 不变的.
+        \item 存在等距同构 $S'$ 使得 $T^2=S'G$，且 $\im T = (\ker T)^\perp$.
+    \end{enumerate}
+\end{enumerate}
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