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讲义/专题/1 预备知识.tex

@@ -37,6 +37,8 @@ \section{基本代数结构}
 在上述讨论中，我们所做的事情很简单，就是给定一个集合，然后在这一集合的元素之间定义运算. 实际上这就是代数系统的定义：
 \begin{definition}{代数系统}{} \index{daishuxitong@代数系统 (algebraic system)}
     一般地，我们把一个非空集合$X$和与$X$相关的若干代数运算$f_1,\ldots,f_k$组成的系统称为\term{代数系统}（简称代数系），记作$\langle X \colon f_1,\ldots,f_k\rangle$.
+
+    在此基础上，我们把定义在集合上的运算具有某些特定性质的一类代数系统称为\term{代数结构}.
 \end{definition}
 
 特别注意的是，代数系统上定义的运算必须保证封闭性，也就是运算后的结果必须仍然在集合$X$中. 这事实上早已由映射的方式对运算的定义保证了.
@@ -68,7 +70,7 @@ \section{基本代数结构}
     若运算$\circ$满足结合律，则称代数系统$\langle G\colon\circ\rangle$为\term{半群}\index{qun!banqun@半群 (semigroup)}；若在半群基础上存在单位元，则称之为\term{含幺半群}\index{qun!hanyaobanqun@含幺半群 (monoid)}；若在含幺半群基础上每个元素存在逆元，则称之为\term{群}；若在群的基础上运算还满足交换律，则称之为\term{Abel 群}，也称\term{交换群}\index{qun!abel@Abel 群 (Abelian group), 交换群 (commutative group)}.
 \end{definition}
 
-\autoref{def:群} 给出了我们本节第一个要讨论的代数结构——群的定义. 简而言之，代数结构就是在集合上定义具有某些特定性质的运算后得到的一类代数系统. 事实上，教材中42--44页给出了大量抽象的例子有助于同学们理解上述一系列群的定义，并且我们在后续学习矩阵的时候也会遇到一些群结构，相信这些实例能使读者体会到``在集合上定义运算''的方式的多样与抽象.
+\autoref{def:群} 给出了我们本节第一个要讨论的代数结构——群的定义. 事实上，教材中42--44页给出了大量抽象的例子有助于同学们理解上述一系列群的定义，并且我们在后续学习矩阵的时候也会遇到一些群结构，相信这些实例能使读者体会到``在集合上定义运算''的方式的多样与抽象.
 
 为方便书写，对于\autoref{def:群} 定义的群$\langle G\colon\circ\rangle$，在不引起混淆的情况下我们可以简写为群$G$. 除此之外，我们还需要指出以下两点：
 \begin{theorem}{}{群的单位元逆元唯一}
@@ -424,7 +426,7 @@ \section{等价关系}
 \begin{definition}{}{}
     设$A$是一个集合，$R$是$A$上的一个等价关系，若$A$上有二元运算$+$，且我们在$A/R$上以如下自然的方式继承了$A$上的$\oplus$运算：
     \[\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b},\enspace\forall a,b\in A,\]
-    则我们称$\oplus$与$R$\term{相容（compatible）}当且仅当$a\,R\,b$，$c\,R\,d$时有$\overline{a}\oplus\overline{c}=\overline{b}\oplus\overline{d}$，或者说等价的，$(a+b)R(c+d)$.
+    则我们称$\oplus$与$R$\term{相容（compatible）}当且仅当$a\,R\,b$，$c\,R\,d$时有$\overline{a}\oplus\overline{c}=\overline{b}\oplus\overline{d}$，或者说等价的，$(a+c)R(b+d)$.
 \end{definition}
 
 在这种情况下，我们也称$\oplus$在$A/R$上是\term{良定义（well-defined）}的，但良定义这一词用途较广，一般指这一定义在当前语境下是否可接受，不一定用在商集相关的场合.
@@ -570,7 +572,7 @@ \subsection{高斯-若当消元法}
     今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？
 \end{quote}
 
-在欧洲，牛顿（Newton）最先发现了这种方法. 在 1670 年，牛顿写道他所知晓的所有代数教科书都缺少求解方程组的方法，而他随后补充了这一部分. 在牛顿离开学术生涯很久以后，剑桥大学才在 1707 年最终以 \textit{Arithmetica Univeralis} 的标题出版了他的笔记. 这些笔记被广泛复制，在 18 世纪末成为了代数课本的标准内容. 1810 年，高斯（Gauss）在预测谷神星轨道时引入了高斯消元法，这是种系统性的线性方程组解法，后来这种记法被手算员们广泛应用于解决最小二乘问题. 他在对天体轨道建模时处理了 12 个方程对应 6 个未知变量的情况. 他已经清楚地了解方程组有无穷解，唯一解还是无解的条. 后来这一算法由于对历史的混淆在 1950 年代被以高斯命名，称之为``高斯消元法''.
+在欧洲，牛顿（Newton）最先发现了这种方法. 在 1670 年，牛顿写道他所知晓的所有代数教科书都缺少求解方程组的方法，而他随后补充了这一部分. 在牛顿离开学术生涯很久以后，剑桥大学才在 1707 年最终以 \textit{Arithmetica Univeralis} 的标题出版了他的笔记. 这些笔记被广泛复制，在 18 世纪末成为了代数课本的标准内容. 1810 年，高斯（Gauss）在预测谷神星轨道时引入了高斯消元法，这是种系统性的线性方程组解法，后来这种记法被手算员们广泛应用于解决最小二乘问题. 他在对天体轨道建模时处理了 12 个方程对应 6 个未知变量的情况. 他已经清楚地了解方程组有无穷解，唯一解还是无解的条件. 后来这一算法由于对历史的混淆在 1950 年代被以高斯命名，称之为``高斯消元法''.
 
 1888年，德国数学家若当（Jordan）发现了这种高斯消元法的变体（具体的变化在介绍完高斯-若当消元法后会给出）. 然而，相同的方法也出现在克莱森（Clasen）在同年出版的文章中. 若当与克莱森有可能是各自独立地发现了高斯-若当消元法.
 
@@ -652,7 +654,7 @@ \subsection{高斯-若当消元法}
 
 增广矩阵：$(A,\vec{b})$，即左$n$列为系数矩阵，最右列为列向量$\vec{b}$的$b+1$列矩阵.
 
-阶梯矩阵：系数全零行在最下方，并且非零行中，在下方的行的第一个非零元素一定在上方行的右侧（每行第一个非零元素称主元素）.
+阶梯矩阵：系数全零行在最下方，并且非零行中，在下方的行的第一个非零元素一定在上方行的第一个非零元素的右侧（每行第一个非零元素称主元素）.
 
 简化阶梯矩阵：阶梯矩阵中每个主元素所在列的其余元素全为$0$.
 

讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -226,7 +226,7 @@ \section{线性空间的例子}
     但是对\[\mathbf{F}[x]'_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}, a_n\neq 0\}\]不构成线性空间，其原因在于我们加法不封闭，例如我们取$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中的两个元素$x^n$和$-x^n$，它们的和为$0$，不再满足$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中关于$a_n\neq 0$的条件，因此运算不封闭，不构成线性空间.
 \end{proof}
 
-为什么说多项式空间与向量有很显然的联系，是因为我们可以把次数不高于 $n-1$ 次的多项式的所有系数 $a_i(i=1,\ldots,n-1)$ 拼成向量 $\alpha=(a_1,\ldots,a_{n-1})$，因此多项式和向量实际上是很类似的，所以这一例子是平凡的，并且应当作为常识，因为日后会非常常见. 并且请特别注意不构成线性空间的例子，这里我们使用运算不封闭这一条件否认，这是非常常用的，在习题中我们还会见到这样的例子.
+为什么说多项式空间与向量有很显然的联系，是因为我们可以把次数不高于 $n-1$ 次的多项式的所有系数 $a_i(i=0,1,\ldots,n-1)$ 拼成向量 $\alpha=(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})$，因此多项式和向量实际上是很类似的，所以这一例子是平凡的，并且应当作为常识，因为日后会非常常见. 并且请特别注意不构成线性空间的例子，这里我们使用运算不封闭这一条件否认，这是非常常用的，在习题中我们还会见到这样的例子.
 
 除此之外，这里有一个记号上的问题需要澄清，很多教材（包括本书）用 $\mathbf{F}[x]_{n+1}$ 表示次数不超过 $n$ 的多项式的集合，也有一些教材使用 $\mathcal{P}_n(\mathbf{F})$ 表示相同的集合. 其中核心的区别在于下标 $n$ 和多项式次数的关联，读者在面对不同的教材或者试题时应当看清楚相应的定义. 有时我们可能会看到没有下标的 $\mathbf{F}[x]$ 和 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$，这两者分别表示全体任意次数多项式的集合.
 

讲义/专题/3 有限维线性空间.tex

@@ -86,7 +86,7 @@ \subsection{线性相关性的定义}
               解得 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$，此向量组线性无关.
     \end{enumerate}
 \end{solution}
-注意上述 \ref*{item:3:线性相关性:3} 到 \ref*{item:3:线性相关性:5} 题为不能代入特殊的$x$值来说明，例如 \ref*{item:3:线性相关性:3} 令$x=0$得到线性相关的做法是错误的，因为\ref*{item:3:线性相关性:3} 中线性空间就是多项式构成的线性空间，其中的元素就是多项式，不能代入值. 注意 \ref*{item:3:线性相关性:5} 是特殊题型，需要构造更多的方程来求解这一问题.
+注意上述 \ref*{item:3:线性相关性:3} 到 \ref*{item:3:线性相关性:5} 题不能代入特殊的$x$值来说明，例如 \ref*{item:3:线性相关性:3} 令$x=0$得到线性相关的做法是错误的，因为\ref*{item:3:线性相关性:3} 中线性空间就是多项式构成的线性空间，其中的元素就是多项式，不能代入值. 但是注意 \ref*{item:3:线性相关性:5} 是特殊题型，代入特殊值构造多个方程实际上是利用了``整体满足的性质局部一定满足''的思想.
 
 \subsection{线性相关性的定理}
 
@@ -154,7 +154,7 @@ \subsection{线性相关性的定理}
                   \end{cases}
               \]
 
-              有非零解（只有零解）. 用此法可得 $\mathbf{R}^n$ 中任何 4 个向量, $\mathbf{R}^n$ 中任何 $n + 1$ 个向量都线性相关.
+              有非零解（只有零解）. 用此法可得 $\mathbf{R}^3$ 中任何 4 个向量, $\mathbf{R}^n$ 中任何 $n + 1$ 个向量都线性相关.
 
               总的来说，我们有以下结论：
 
@@ -176,7 +176,7 @@ \subsection{线性相关性的定理}
               则将上式扩充为
 
               \[
-                  \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k}  + 0 \alpha_{i_{k+1}} + \cdots + 0 \alpha_{i_n} = 0,
+                  \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k}  + \lambda_{k+1} \alpha_{i_{k+1}} + \cdots + \lambda_n \alpha_{i_n} = 0,
               \]
               其中 $\lambda_{k+1} = \lambda_{k+2} = \cdots = \lambda_n = 0$, 且 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 不全为零，（即将不在子集中的其它元素以$0$作为系数加到方程中，这样就找到了一个满足线性相关定义的式子）这与 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关矛盾. 故 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$ 线性无关.
 
@@ -188,6 +188,8 @@ \subsection{线性相关性的定理}
 
               则对于任意包含它的向量组,我们也可以将多出来的向量系数取$0$,这样就找到了一个满足线性相关定义的式子,因此包含它的向量组也线性相关.
           \end{proof}
+          总结一下即为：
+
           如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关；
 
           如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关.
@@ -251,7 +253,7 @@ \subsection{引入：向量组的秩与极大线性无关组}
 
 在上一节中我们介绍了很基本的线性无关的等价表述，现在我们回到我们的主线，即我们希望解决有限维线性空间至少需要多少个向量张成的问题，接下来的讨论将逐步逼近问题的答案.
 \begin{lemma}{}{线性相关性引理}
-    设$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，则有$j\in\{1,2,\ldots,m\}$使得：
+    设$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，则存在$j\in\{1,2,\ldots,m\}$使得：
     \begin{enumerate}
         \item \label{item:3:线性相关性引理:1}
               $\alpha_j \in \spa(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{j-1})$；
@@ -414,7 +416,7 @@ \subsection{基与维数}
 \begin{proof}
     充分性：因为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 可以线性表示出 $V$ 中的任意向量，所以 $V$ 的一组基 $\beta_1, \ldots, \beta_n$ 也能由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 表示. 而由基的性质，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 又能被 $\beta_1, \ldots, \beta_n$ 表示，所以这两个向量组等价，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 的秩就是 $n$，所以 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关.
 
-    必要性：由 \ref*{item:3:基与维数:5} 可知，$\forall \beta \in V, \alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta$ 必线性相关，又 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，由\autoref{thm:线性无关等价表示唯一} 可知，$\beta$ 可以被 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 唯一表示，因此 $V$ 中的任意向量都可以被 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性表示.
+    必要性：由 \ref*{item:3:基与维数:5} 可知，$\forall \beta \in V, \alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta$ 必线性相关，又 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关，由\autoref{thm:线性无关等价表示唯一} 可知，$\beta$ 可以被 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 唯一表示，因此 $V$ 中的任意向量都可以被 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性表示.
 \end{proof}
 
 除此之外，我们也在此给出一些求解或验证线性空间的基和维数的基本例题，在习题以及后续章节中会有更多的例子.
@@ -466,7 +468,7 @@ \subsection{基与维数}
 \begin{proof}
     易知$1,(x-5)^2,(x-5)^3$线性无关，且这三个向量都属于子空间$U$，下证$U$的维数是 3.
 
-    设 $p = a + bx + cx^2 + dx^3 \in U$. 因为 $p'(5) = 0$，即 $b + 10c +75d = 0$，所以将$b$代入后有 $p = a + c·(-10x + x^2) + d·(-75x + x^3)$，因此$U$中任意向量可被$1, -10x + x^2, -75x + x^3$表示，所以$U$的维数是 3，进而由基的性质可知$1,(x-5)^2,(x-5)^3$是$U$的一组基.
+    设 $p = a + bx + cx^2 + dx^3 \in U$. 因为 $p'(5) = 0$，即 $b + 10c +75d = 0$，所以将$b$代入后有 $p = a + c·(-10x + x^2) + d·(-75x + x^3)$，因此$U$中任意向量可被$1, -10x + x^2, -75x + x^3$表示，且它们线性无关，所以$U$的维数是 3，进而由基的性质可知$1,(x-5)^2,(x-5)^3$是$U$的一组基.
 \end{proof}
 
 我们在后续讨论中经常会涉及子空间和原空间之间的关联，特别是它们的基之间的关联，下面这一定理能很好地满足我们的需求：

讲义/专题/4 线性空间的运算.tex

@@ -359,8 +359,8 @@ \subsection{从等价关系出发}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
-        \item ($\implies$) 直接取$u_1,u_2\in U$，即$u_1\,R\,0$，$u_2\,R\,0$，因此根据相容性，$\overline{v_1}+\overline{u_1}=\overline{v_2}+\overline{u_2}$，移项得$\overline{v_1}-\overline{v_2}=\overline{u_2}-\overline{u_1}$，注意到$\overline{v_1}-\overline{v_2}=\overline{v_1}+(-1)\cdot\overline{v_2}=\overline{v_1}+\overline{-v_2}=\overline{v_1-v_2}$，同理有$\overline{u_2}-\overline{u_1}=\overline{u_2-u_1}$，因此$\overline{v_1-v_2}=\overline{u_2-u_1}=\overline{0}$，即$v_1-v_2\in U$；
-        \item 设$v_1-v_2=u\in U$，则$\overline{v_1}=\overline{v_2}+\overline{u}=\overline{v_2}+\overline{0}=\overline{v_2}$，因此$v_1Rv_2$.
+        \item 必要性：直接取$u_1,u_2\in U$，即$u_1\,R\,0$，$u_2\,R\,0$，因此根据相容性，$\overline{v_1}+\overline{u_1}=\overline{v_2}+\overline{u_2}$，移项得$\overline{v_1}-\overline{v_2}=\overline{u_2}-\overline{u_1}$，注意到$\overline{v_1}-\overline{v_2}=\overline{v_1}+(-1)\cdot\overline{v_2}=\overline{v_1}+\overline{-v_2}=\overline{v_1-v_2}$，同理有$\overline{u_2}-\overline{u_1}=\overline{u_2-u_1}$，因此$\overline{v_1-v_2}=\overline{u_2-u_1}=\overline{0}$，即$v_1-v_2\in U$；
+        \item 充分性：设$v_1-v_2=u\in U$，则$\overline{v_1}=\overline{v_2}+\overline{u}=\overline{v_2}+\overline{0}=\overline{v_2}$，因此$v_1Rv_2$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -408,21 +408,24 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
 
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
-        \item 若已知 $A$ 是 $V$ 的仿射子集,则 $A=\alpha+U$,其中 $\alpha\in V$ 且 $U$ 是 $V$ 的子空间.因此,对任意 $\lambda \in \mathbf{F}$,
+        \item 必要性：若已知 $A$ 是 $V$ 的仿射子集,则 $A=\alpha+U$,其中 $\alpha\in V$ 且 $U$ 是 $V$ 的子空间.因此,对任意 $\lambda \in \mathbf{F}$,
         和任意的 $v=\alpha+u_1,w=\alpha+u_2 \in A$,有
         \[
             \lambda v+(1-\lambda)w=\lambda(\alpha+u_1)+(1-\lambda)(\alpha+u_2)=\alpha+\lambda u_1+(1-\lambda)u_2 \in A
         \]
         因此对于仿射子集中的元素$v,w$具有上述性质.
-        \item 若已知$\lambda v+(1-\lambda)w \in A$,令$\alpha \in A$,则
+        \item 充分性：令$\alpha \in A$,则
         \[
             A-\alpha=\{v-\alpha|v\in A\}
         \]
-        我们的目标是证明这是一个子空间；此时我们有$\lambda x + (1 - \lambda) \alpha \in A$,这是因为我们的假设是$\lambda v + (1 - \lambda) w \in A$;
-        即$\lambda (x-\alpha) \in A- \alpha $，这样就证明了数乘封闭；对于$x-\alpha,y-\alpha \in A-\alpha$,
+        我们的目标是证明这是一个子空间.
+
+        对于任意的$x \in A$，有$\lambda x + (1 - \lambda) \alpha \in A$（由假设$\lambda v + (1 - \lambda) w \in A$可得）,即$\lambda (x-\alpha) \in A- \alpha $，这样就证明了数乘封闭；
+
+        对于$x-\alpha,y-\alpha \in A-\alpha$,
 
         \[
-           x-\alpha+y-\alpha=(x+y)-2\alpha=2(\dfrac{x+y}{2}-\alpha) \in A-\alpha
+           x-\alpha+y-\alpha=(x+y)-2\alpha=2\left(\dfrac{x+y}{2}-\alpha\right) \in A-\alpha
         \]
 
         这里运用了数乘封闭来证明加法封闭性；因此$A-\alpha$是一个子空间.
@@ -505,7 +508,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
 \begin{solution}
     \begin{enumerate}
         \item 首先求 $AX=0$ 的解，得到其基础解系为$k(1,3,1)^{\mathrm{T}},k \in \mathbf{R}$,故其解空间的一组基为$\{(1,3,1)^{\mathrm{T}}\}$.
-        \item 根据\autoref{thm:商空间的维数公式}的证明过程，我们将 $W$ 的基扩张为 $\mathbf{R^3}$ 的一组基，如 $\{(1,3,1)^{\mathrm{T}},(1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1,0)^{\mathrm{T}}\}$，然后将扩张的基中``加上''$W$ 变成仿射子集，即可得到商空间的一组基：
+        \item 根据\autoref{thm:商空间的维数公式}的证明过程，我们将 $W$ 的基扩张为 $\mathbf{R^3}$ 的一组基，如 $\{(1,3,1)^{\mathrm{T}},(1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1,0)^{\mathrm{T}}\}$，然后将扩张的基中``加上'' $W$ 变成仿射子集，即可得到商空间的一组基：
         \[
             \{(1,0,0)^{\mathrm{T}}+W,(0,1,0)^{\mathrm{T}}+W\}
         \]