Mathematical Analysis (& Analytical Mathematics)

[TOC]

Res

Learning Resources

🎬 数学分析陈纪修老师 1080p高清版(全集) https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP?share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d

🎬【数学分析陈纪修无障碍重制版】 https://www.bilibili.com/video/BV1sX4y1Y7jH/?p=3&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d

🎬 Essence of Calculus - 3blue1brown https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&si=2ALR2QATq_ZyH1V5

The essence of calculus
etc. 🎬 https://youtu.be/mvmuCPvRoWQ?si=WOarG_mjw9TmOi0u Euler's formula with introductory group theory | 3B1B

📖 几米多维奇习题册 📖 普林斯顿微积分读本 📖 工科数学分析基础 (马知恩，王绵森)

📖 微积分之倚天宝剑（美）C.亚当斯等 📖 微积分之屠龙宝刀（美）C.亚当斯等

📖 微积分学教程(菲赫金哥尔茨第8版)

❤️ Rudin Principles of Mathematical Analysis | 数学分析原理 Functional Analysis | 泛函分析 Real and Complex Analysis ｜实分析和复分析

数学分析中的典型问题裴

积分的方法与技巧（完整）

自然科学问题的数学分析 (B·A·卓里奇)

https://www.wiley.com/en-ie/Calculus%3A+Single+Variable%2C+8th+Edition-p-9781119777809 Calculus: Single Variable, 8th Edition Deborah Hughes-Hallett, Andrew M. Gleason, William G. McCallum

Other Resources

https://math.fandom.com/zh/wiki/Category:微分学中文数学Wiki

Intro

🔗 https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis

Analysis is the branch of mathematics dealing with continuous functions, limits, and related theories, such as differentiation, integration, measure, infinite sequences, series, and analytic functions.

These theories are usually studied in the context of real and complex numbers and functions. Analysis evolved from calculus, which involves the elementary concepts and techniques of analysis. Analysis may be distinguished from geometry; however, it can be applied to any space of mathematical objects that has a definition of nearness (a topological space) or specific distances between objects (a metric space).

Mathematical Analysis Basics

🎬 数学分析陈纪修老师 1080p高清版(全集) https://www.bilibili.com/video/BV15v411g7VP?share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d

🎬【数学分析陈纪修无障碍重制版】 https://www.bilibili.com/video/BV1sX4y1Y7jH/?p=3&share_source=copy_web&vd_source=7740584ebdab35221363fc24d1582d9d

数学分析，陈纪修

Set, Sequence, Function

1️⃣ Set Theory | Mapping | Function (集合，映射，函数)

↗ Set Theory & Axiomatic Set Theory

集合

集合定义：无序，无重
集合的表示
- 枚举
- 描述
集合的关系
- 集合和元素的关系
  - 属于，
- 集合和集合的关系
  - 包含，
  - 子集，超集，补集，幂集
集合和集合的运算法则
- 初级交，初级并，相对补，对称差（两个集合间）
- 广义交，广义并（N个集合间）
集合运算律（集合恒等式）
- 14
特殊集合
- 空集
  - 任何集合的子集
- 全集
有限集/无限集合
可列集（反映了集合的离散性，可以是无限集也可以是有限集）
- 可列：不重复，不遗漏地排列
  - （例）整数集Z是可列集
    - 易证
- 可列个可列集并也是可列集合
  - 对角线法则
  - （例）有理数集合Q是可列集
    - $(+\infty, -\infty)$由可列个可列集合$(n,n+1]$的并构成，只要证 $(0,1]$ 有理数全体是可列集.

有序对 /笛卡尔积（卡氏积）/笛卡尔积集合

$R^2 = R \times R$, 笛卡尔直角坐标系
$R^3 = R \times R \times R$，笛卡尔空间直角坐标系

映射

映射的定义：集合间的一种对应关系（有序对）F,（x,y）
- y:原像, x:逆像
- X: 定义域
- Y: 值域
- F: 映射规则，像的唯一性
映射的基本要素：
- D(x):定义域
  - 单值，多值，
- Z(y):值域
  - 单射，非单射（？）
  - 满射
- f:对应规则
  - 逆映射，复合映射

函数

函数的定义：（集合均为数字的一种特殊映射关系，）
- 函数命名：X元X函数（未知量个数，定义域集合）
  - （例）一元实函数
- 定义域：自变量
  - 单值函数，多值函数
    - 单叶分支
  - 自然定义域：自变量的最大取值范围
    - （例）$log_ax: D=(0, +\infty)$
- 值域：因变量
  - 单射，满射
- 对应关系：（见下“常见函数列表”）
  - 复合函数
  - 逆函数
    - 求反函数时，可以直接交换当前式子中的x和y的位置，这样的话就同时建立了一个新的坐标系，新式子满足新坐标式，但不是原坐标式中的函数；
      - 如原函数y=f(x)，此时坐标系记为x-y-1；
        
        对其直接交换x,y，有x=f(y)，此时f未变，坐标系变为x-y-2；
        
        对其进行原坐标系上的逆运算，则f变为$f^-$, $y=f^-(x)$，但坐标系未变。
- 常见函数
  - ==基本初等函数==
    - 常函数
    - 幂函数
    - 指数函数
    - 对数函数
    - 三角函数
      - https://zhuanlan.zhihu.com/p/390928056
      - 反三角函数
  - 基本初等函数的推广
    - 初等函数
      - 由基本初等函数进行有限次四则运算和复合运算产生的函数
    - 非初等函数
      - FAQ /👉 初等函数/非初等函数的划分
  - 分段函数
    - （例）整数部分函数，非负小数部分函数
    - Dirichlet 函数
      - 🔗 https://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html
    - Riemann 函数
      - 🔗 https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
  - 符号函数
    - （例）Dirichlet函数
    - （例）Sigmoid 函数
函数的表示
- 解析法
  - 显式表示（显函数）
    - $F(x) = y$
      - 基本初等函数及推广
      - 分段函数
      - 符号函数
  - 隐式表示（隐函数）
    - $F(x, y) = 0$
      - （例）Kepler方程：$y = x + \partial\sin{y}$
  - 参数表示
    - 引进参数t
      - $x = x(t), y = y(t)$
      - （例）：级坐标方程表示
      - （例）：旋轮线（摆线）
- 图像法
- 表格法
（下面的内容逻辑上应该在数列之后）
==函数的初等性质
- 有界性
  - 上界，上确界
  - 下...
- 单调性
  - 单调增加，严格单调增加
  - 减少...
- 奇偶性
  - 奇: $F(-x) = -F(x)$
    - （例）双曲正弦函数：$y=f(x)=sh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
    - （例）双曲正切函数：$y=f(x)=th(x)=\frac{sh(x)}{ch(x)}$
  - 偶: $F(-x) = F(x)$
    - （例）双曲余弦函数：$y=f(x)=ch(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
    - （例）双曲余切函数：$y=f(x)=cth(x)=\frac{ch(x)}{sh(x)}$
- 周期性
  - $x \in D, x + T \in D, F(x) = F(x+T)$
  - 最小周期T (基本周期，周期)
    - 是否周期函数都有最小周期T？
      - 否， (例) Dirichlet 周期
==重要不等式==
- 三角不等式（证）
  - $|a| - |b| \leq |a+b| \leq |a| + |b|$
- 均值不等式（证）
  - 基本不等式：$a^2+b^2\geq2ab$
    - 基本不等式变形
      - $a^2+b^2\geq2\vert{ab}\vert$
      - $(a+b)^2\geq{4ab}$
      - $(\frac{a+b}{2})^2\geq{ab}$
      - $2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2$
      - $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq{2}, \ (ab\gt{0})$
      - $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}, \ (a,b\gt0)$ (（平）均值不等式)
    - 基本不等式推广
      - $a^3+b^3+c^3\geq3abc$
      - ...
  - 调和平均：$H(n)=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$
  - 几何平均：$G(n)=\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$
  - 算术平均：$A(n)=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n}{n}$
  - 平方平均：$Q(n)=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...a_n^2}{n}}$
  - $Q(n)\geq{A(n)}\geq{G(n)}\geq{H(n)}$
  - $\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...a_n^2}{n}}\geq\frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$
- 其他重要不等式
  - $Triangle_Inequity.excalidraw|300$
==三角函数恒等式==
- http://www.math.ncu.edu.tw/~scf1204/pre/pdf/T-3.pdf
- https://math.fandom.com/zh/wiki/三角恒等式?variant=zh
- 和角公式
- 二倍角公式
- 半角公式
  - $\sin{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}$
- 积化和差公式
- 和差化积公式